15. (14 分) 如图, 点 $A(0,4), C(-2,0)$ 在直线 $l: y=k x+b$ 上, 直线 $l$ 和函数 $y=-4 x+a$ 的图象交于点 $B$.
(1) 求直线 $l$ 对应的函数表达式;
(2) 若点 $B$ 的横坐标是 1 , 求关于 $x, y$ 的方程组 $\begin{cases}y=k x+b, \\ y=-4 x+a\end{cases}$ 的解及 $a$ 的值;
(3) 在 (2) 的条件下, 若点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$, 连接 $P B, P C$, 求 $△ P B C$ 的面积.

(1) $\because$ 点 $A(0,4), C(-2,0)$ 在直线 $l$ 上,
$\therefore \begin{cases}b=4, \\-2k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2, \\b=4.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=2x+4$
(2) $\because$ 点 $B$ 在直线 $l$ 上, $\therefore$ 当 $x=1$ 时, $y=2+4=6$. $\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(1,6)$. $\because B$ 是直线 $l$ 与直线 $y=-4x+a$ 的交点, $\therefore$ 关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}y=kx+b, \\y=-4x+a\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=1, \\y=6.\end{cases}$ 把 $x=1,y=6$ 代入 $y=-4x+a$, 解得 $a=10$
(3) $\because$ 点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$,
$\therefore P(0,-4)$. $\therefore AP=4-(-4)=8$. $\therefore S_{△ PBC}=S_{△ PAB}+S_{△ PAC}=\frac{1}{2}×8×1+\frac{1}{2}×8×|-2|=4+8=12$

16. (16 分)综合与实践:数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径. 通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.
(1) 发现问题:如图①,在$△ ABC$和$△ AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,$∠ BAC=∠ EAF=30°$,连接$BE$,$CF$,延长$BE$交$CF$于点$D$,则$BE$与$CF$的数量关系为,$∠ BDC=$.
(2) 类比探究:如图②,在$△ ABC$和$△ AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,$∠ BAC=∠ EAF=120°$,连接$BE$,$CF$,延长$BE$,$FC$交于点$D$. 请猜想$BE$与$CF$的数量关系及$∠ BDC$的度数,并说明理由.

(1) $BE=CF$ $30°$ 解析:设 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$. $\because ∠ BAC = ∠ EAF = 30°, \therefore ∠ BAC + ∠ CAE = ∠ EAF + ∠ CAE$, 即 $∠ BAE = ∠ CAF$. 在 $△ ABE$ 和 $△ ACF$ 中, $\begin{cases}AB=AC, \\∠ BAE=∠ CAF, \\AE=AF,\end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACF$(SAS). $\therefore BE = CF, ∠ ABE = ∠ ACF$. $\because ∠ AOE = ∠ ABE+∠ BAC, ∠ AOE = ∠ ACF+∠ BDC, \therefore ∠ BDC = ∠ BAC=30°$.
(2) $BE = CF, ∠ BDC = 60°$ 理由: $\because ∠ BAC = ∠ EAF=120°, \therefore ∠ BAC-∠ EAC = ∠ EAF-∠ EAC$, 即 $∠ BAE = ∠ CAF$. 在 $△ ABE$ 和 $△ ACF$ 中, $\begin{cases}AB=AC, \\∠ BAE=∠ CAF, \\AE=AF,\end{cases}$ $\therefore △ ABE≌△ ACF$(SAS). $\therefore BE=CF, ∠ AEB = ∠ AFC$. $\because ∠ EAF = 120°, AE = AF, \therefore ∠ AEF = ∠ AFE = 30°$. $\therefore ∠ BDC = ∠ BEF -∠ EFD = ∠ AEB+30°-(∠ AFC-30°)=60°$.