三、解答题(共52分)
9.(24分)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC为$\odot O$的直径,DB平分$∠ ADC$.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并给出证明；
(2)若$AB=\sqrt{3}$,$AD=1$,求CD的长度；
(3)在(2)的条件下,求点D到AC的距离.

9.解:(1)$△ ABC$为等腰直角三角形.
证明:$\because AC$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ABC=90°$.
$\because DB$平分$∠ ADC,\therefore ∠ ADB=∠ CDB$.
$\because ∠ ADB=∠ ACB,∠ CDB=∠ CAB$,
$\therefore ∠ ACB=∠ CAB,\therefore AB=CB$,
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形.
(2)由(1)得$△ ABC$为等腰直角三角形,$\because AB=\sqrt{3}$,
$\therefore CB=\sqrt{3}$,由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2+CB^2}=$$\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$.
$\because AC$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADC=90°$.
由勾股定理,得 $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-1^2}=\sqrt{5}$.
(3)如答图,过点 $D$ 作 $DE⊥ AC$ 于点 $E$.

$\because S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}AC· DE$,
$\therefore 1×\sqrt{5}=\sqrt{6}DE$,解得 $DE=\frac{\sqrt{30}}{6}$,
即点 $D$ 到 $AC$ 的距离为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$.

10. (28 分) 如图, 在锐角三角形 $A B C$ 中, 以 $A C$ 边为直径的 $\odot O$ 交 $B C$ 于点 $D(B D＞C D)$, 过点 $B$作 $B G ⊥ A C$ 于点 $G$, 交 $\odot O$ 于点 $E$, 延长 $B G$ 交 $\odot O$ 于点 $H$, 连接 $C E, D E$.
(1)求证: $∠ E B C=∠ D E C$;
(2)若 $∠ A B C=45°, A C=5, B C=7$, 求 $△ A B C$ 的面积.

10.(1)证明:如答图,连接 $AD$. $\because AC$ 为 $\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ ADC = 90°, \therefore ∠ ADB = 90°. \because BH ⊥ AC$,
$\therefore ∠ BGC= 90°, \therefore ∠ DAC + ∠ ACD = ∠ GBC + ∠ ACD= 90°, \therefore ∠ DAC = ∠ GBC$. 又 $\because ∠ DAC = ∠ DEC,\therefore ∠ EBC=∠ DEC$.

(2)解:$\because ∠ ABC=45°,∠ ADB=90°,\therefore △ ABD$ 是等腰直角三角形,$\therefore BD=AD,\therefore AD+DC=BD+DC=BC=7.\because ∠ ADC=90°,AC=5,\therefore AD^2+DC^2=AC^2$,即$(7-DC)^2+DC^2=5^2$,解得 $DC=4$ 或 $DC=3.\because BD＞CD,\therefore AD＞DC,\therefore DC=3,AD=4,\therefore △ ABC$ 的面积为$\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×7×4=14$.