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一、选择题
1 [2025威海改编]如图所示为用5个大小相同的小正方体搭成的几何体，从左面看，得到的平面图形是（
1 [2025威海改编]如图所示为用5个大小相同的小正方体搭成的几何体，从左面看，得到的平面图形是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确左视图的定义：左视图是从几何体的左侧向右侧观察得到的平面图形。解题时先确定观察方向为几何体的左面，再判断观察到的小正方形的列数和每列的层数：站在几何体左侧观察，可看到共2列，左列有2层小正方形，右列只有1层小正方形，且右列的小正方形与左列下层的小正方形对齐，最后对应选项选出符合的即可。
【解析】
首先确定观察方向：站在该几何体的左面向右观察。
分析观察到的平面图形结构：
① 共观察到2列小正方形；
② 左列有2个小正方形，上下排列；
③ 右列有1个小正方形，与左列下方的小正方形水平对齐。
对比各选项，只有选项C符合上述结构。
【答案】
C
【知识点】
简单组合体的三视图；左视图识别
【点评】
本题是三视图类基础常考题，核心考查对几何体左视图的判断能力，解题的关键是找准观察方向，准确判断观察到的小正方形的排列情况，掌握三视图的基本概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确左视图的定义：左视图是从几何体的左侧向右侧观察得到的平面图形。解题时先确定观察方向为几何体的左面，再判断观察到的小正方形的列数和每列的层数：站在几何体左侧观察，可看到共2列，左列有2层小正方形，右列只有1层小正方形，且右列的小正方形与左列下层的小正方形对齐，最后对应选项选出符合的即可。
【解析】
首先确定观察方向：站在该几何体的左面向右观察。
分析观察到的平面图形结构：
① 共观察到2列小正方形；
② 左列有2个小正方形，上下排列；
③ 右列有1个小正方形，与左列下方的小正方形水平对齐。
对比各选项，只有选项C符合上述结构。
【答案】
C
【知识点】
简单组合体的三视图；左视图识别
【点评】
本题是三视图类基础常考题，核心考查对几何体左视图的判断能力，解题的关键是找准观察方向，准确判断观察到的小正方形的排列情况，掌握三视图的基本概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
2 [2025云南改编]如图所示为从三个不同方向看某几何体所得到的平面图形，则这个几何体是（
A.正方体
B.长方体
C.圆锥
D.圆柱
D
）A.正方体
B.长方体
C.圆锥
D.圆柱
答案
2.D
解析
【分析】
本题要求根据三视图还原对应的几何体，解题思路如下：首先回忆常见几何体的三视图特征，再逐一分析每个选项的三视图是否与题干给出的三视图匹配，通过排除法选出正确答案。
【解析】
我们依次分析各选项的三视图特点：
A. 正方体的主视图、左视图、俯视图均为正方形，不符合题意，排除；
B. 长方体的三个视图均为长方形（或正方形），不会出现圆形的视图，不符合题意，排除；
C. 圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，不符合题意，排除；
D. 圆柱的主视图和左视图为长方形，俯视图为圆，与题干给出的三视图特征一致，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 三视图的识别
2. 常见几何体的三视图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对常见几何体三视图的掌握情况，熟记各类常见几何体的三视图特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题要求根据三视图还原对应的几何体，解题思路如下：首先回忆常见几何体的三视图特征，再逐一分析每个选项的三视图是否与题干给出的三视图匹配，通过排除法选出正确答案。
【解析】
我们依次分析各选项的三视图特点：
A. 正方体的主视图、左视图、俯视图均为正方形，不符合题意，排除；
B. 长方体的三个视图均为长方形（或正方形），不会出现圆形的视图，不符合题意，排除；
C. 圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，不符合题意，排除；
D. 圆柱的主视图和左视图为长方形，俯视图为圆，与题干给出的三视图特征一致，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 三视图的识别
2. 常见几何体的三视图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对常见几何体三视图的掌握情况，熟记各类常见几何体的三视图特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3 [2025 内江]为正方体的展开图，与“共”字所在面相对的面上的字是 （
A.“安”
B.“全”
C.“校”
D.“园”
B
）A.“安”
B.“全”
C.“校”
D.“园”
答案
3.B
解析
【分析】
要解决正方体展开图找相对面的问题，首先回忆正方体展开图相对面的判定规律：相对的面在展开图中一定不相邻，通用判定口诀为“相间、Z端是对面”，即同一行/同一列中间间隔1个正方形的两个面是相对面；若为Z字形结构，Z字两端的面是相对面。我们只需要用这个规律对应找到“共”字对面的面即可。
【解析】
根据正方体展开图相对面的判定规则：相对面互不相邻，同一行或同一列间隔一个面的两个面为相对面，Z字形两端的面为相对面。观察本题展开图可得，“共”字所在面和“全”字所在面属于同一行间隔一个面的情况，二者为相对面。因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体展开图特征
2. 相对面判定
【点评】
本题是正方体展开图的常规基础题，核心考查展开图相对面规律的应用，熟练掌握判定口诀即可快速准确得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决正方体展开图找相对面的问题，首先回忆正方体展开图相对面的判定规律：相对的面在展开图中一定不相邻，通用判定口诀为“相间、Z端是对面”，即同一行/同一列中间间隔1个正方形的两个面是相对面；若为Z字形结构，Z字两端的面是相对面。我们只需要用这个规律对应找到“共”字对面的面即可。
【解析】
根据正方体展开图相对面的判定规则：相对面互不相邻，同一行或同一列间隔一个面的两个面为相对面，Z字形两端的面为相对面。观察本题展开图可得，“共”字所在面和“全”字所在面属于同一行间隔一个面的情况，二者为相对面。因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体展开图特征
2. 相对面判定
【点评】
本题是正方体展开图的常规基础题，核心考查展开图相对面规律的应用，熟练掌握判定口诀即可快速准确得出答案。
【难度系数】
0.8
4 如图，D是线段AB的中点，延长线段AB至点C，使得$BC=AB$。有下列结论：①$AB=2AD$；②$AC=2BC$；③$AD=BD=\frac{1}{3}AC$；④$BC=\frac{1}{3}AC$；⑤$BD=\frac{1}{2}BC$；⑥$AC=4BD$。其中，正确的有（
A.①③④⑥
B.①②⑤⑥
C.①②③④
D.②③⑤⑥
B
）A.①③④⑥
B.①②⑤⑥
C.①②③④
D.②③⑤⑥
答案
4.B
解析
【分析】
我们可以通过设参数表示各线段长度的方法来解题，先根据D是AB的中点设出AD、BD的长度，进而得到AB的长度，再结合BC=AB得到BC的长度，算出总线段AC的长度，最后逐一验证6个结论是否成立即可。
【解析】
设AD的长度为x，
∵D是线段AB的中点，
∴AD=BD=x，AB=AD+BD=2x，
又
∵BC=AB，
∴BC=2x，
∴AC=AB+BC=2x+2x=4x。
逐一判断结论：
①AB=2AD：左边AB=2x，右边2AD=2x，等式成立，结论正确；
②AC=2BC：左边AC=4x，右边2BC=2×2x=4x，等式成立，结论正确；
③$AD=BD=\frac{1}{3}AC$：$\frac{1}{3}AC=\frac{4x}{3}≠x$，等式不成立，结论错误；
④$BC=\frac{1}{3}AC$：$BC=2x$，$\frac{1}{3}AC=\frac{4x}{3}≠2x$，等式不成立，结论错误；
⑤$BD=\frac{1}{2}BC$：左边BD=x，右边$\frac{1}{2}BC=2x÷2=x$，等式成立，结论正确；
⑥AC=4BD：左边AC=4x，右边4BD=4×x=4x，等式成立，结论正确。
综上，正确的结论为①②⑤⑥，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题考查线段的比例与计算问题，通过设参数将线段长度具体化是解题的常用方法，能有效降低判断结论正误的难度，要注意熟练掌握线段中点的性质和线段和差的运算规则。
【难度系数】
0.8
我们可以通过设参数表示各线段长度的方法来解题，先根据D是AB的中点设出AD、BD的长度，进而得到AB的长度，再结合BC=AB得到BC的长度，算出总线段AC的长度，最后逐一验证6个结论是否成立即可。
【解析】
设AD的长度为x，
∵D是线段AB的中点，
∴AD=BD=x，AB=AD+BD=2x，
又
∵BC=AB，
∴BC=2x，
∴AC=AB+BC=2x+2x=4x。
逐一判断结论：
①AB=2AD：左边AB=2x，右边2AD=2x，等式成立，结论正确；
②AC=2BC：左边AC=4x，右边2BC=2×2x=4x，等式成立，结论正确；
③$AD=BD=\frac{1}{3}AC$：$\frac{1}{3}AC=\frac{4x}{3}≠x$，等式不成立，结论错误；
④$BC=\frac{1}{3}AC$：$BC=2x$，$\frac{1}{3}AC=\frac{4x}{3}≠2x$，等式不成立，结论错误；
⑤$BD=\frac{1}{2}BC$：左边BD=x，右边$\frac{1}{2}BC=2x÷2=x$，等式成立，结论正确；
⑥AC=4BD：左边AC=4x，右边4BD=4×x=4x，等式成立，结论正确。
综上，正确的结论为①②⑤⑥，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题考查线段的比例与计算问题，通过设参数将线段长度具体化是解题的常用方法，能有效降低判断结论正误的难度，要注意熟练掌握线段中点的性质和线段和差的运算规则。
【难度系数】
0.8
5 已知线段$AB=8$，在线段$AB$上取点$C$，使得$AC:CB=1:3$，延长$CA$至点$D$，使得$AD=2AC$，$E$是线段$CB$的中点，则线段$ED$的长为（
A.5
B.9
C.10
D.16
B
）A.5
B.9
C.10
D.16
答案
5.B
解析
【分析】
这是线段长度计算类题型，解题思路如下：第一步先根据线段AB的总长度和AC与CB的比例关系，分别求出AC、CB的长度；第二步根据AD与AC的数量关系求出AD的长度，再结合线段中点的定义求出CE的长度；第三步明确各点的排列顺序，将组成ED的各段线段长度相加，即可得到ED的总长度。
【解析】
已知线段$AB=8$，$AC:CB=1:3$，则线段AB总共被分为$1+3=4$份，每份长度为$8÷4=2$。
因此$AC=1×2=2$，$CB=3×2=6$。
由$AD=2AC$，可得$AD=2×2=4$；
因为E是线段CB的中点，所以$CE=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6=3$。
根据题意，各点从左到右的顺序为D、A、C、E、B，因此$ED=AD+AC+CE=4+2+3=9$。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差计算，比例线段，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础线段计算类题目，解题的核心是理清各线段之间的数量关系，准确判断各点的排列顺序，避免因位置判断错误出现计算偏差。
【难度系数】
0.8
这是线段长度计算类题型，解题思路如下：第一步先根据线段AB的总长度和AC与CB的比例关系，分别求出AC、CB的长度；第二步根据AD与AC的数量关系求出AD的长度，再结合线段中点的定义求出CE的长度；第三步明确各点的排列顺序，将组成ED的各段线段长度相加，即可得到ED的总长度。
【解析】
已知线段$AB=8$，$AC:CB=1:3$，则线段AB总共被分为$1+3=4$份，每份长度为$8÷4=2$。
因此$AC=1×2=2$，$CB=3×2=6$。
由$AD=2AC$，可得$AD=2×2=4$；
因为E是线段CB的中点，所以$CE=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6=3$。
根据题意，各点从左到右的顺序为D、A、C、E、B，因此$ED=AD+AC+CE=4+2+3=9$。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差计算，比例线段，线段中点的定义
【点评】
本题属于基础线段计算类题目，解题的核心是理清各线段之间的数量关系，准确判断各点的排列顺序，避免因位置判断错误出现计算偏差。
【难度系数】
0.8
6 用棱长为1 cm的小正方体搭成如图所示的几何体，则它的表面积为
22
cm².答案
6. 22
解析
【分析】
要计算该组合几何体的表面积，首先明确棱长为1cm的小正方体每个面的面积为1cm²。我们可以采用“方向计数法”，分别从前、后、左、右、上、下6个方向观察几何体，相对方向能看到的正方形面的数量相等，数出每个方向的面数后求和，再乘单个面的面积即可得到总表面积，这种方法可以避免重复计数或漏算。
【解析】
步骤1：计算单个小正方形面的面积
小正方体棱长为1cm，单个面的面积为：$1×1=1(\mathrm{cm}^2)$
步骤2：分方向计数可见面数
前后方向：从正面观察可见4个面，背面和正面可见面数相同，前后共$4×2=8$个面；
左右方向：从左面观察可见3个面，右面和左面可见面数相同，左右共$3×2=6$个面；
上下方向：从上面观察可见4个面，下面和上面可见面数相同，上下共$4×2=8$个面。
步骤3：计算总表面积
总可见面数为$8+6+8=22$个，总表面积为$22×1=22(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
22
【知识点】
组合体表面积计算，三视图应用
【点评】
本题考查组合几何体表面积的求解，按不同方向有序计数可见面是解题的关键，这种方法能有效降低计数错误率，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
要计算该组合几何体的表面积，首先明确棱长为1cm的小正方体每个面的面积为1cm²。我们可以采用“方向计数法”，分别从前、后、左、右、上、下6个方向观察几何体，相对方向能看到的正方形面的数量相等，数出每个方向的面数后求和，再乘单个面的面积即可得到总表面积，这种方法可以避免重复计数或漏算。
【解析】
步骤1：计算单个小正方形面的面积
小正方体棱长为1cm，单个面的面积为：$1×1=1(\mathrm{cm}^2)$
步骤2：分方向计数可见面数
前后方向：从正面观察可见4个面，背面和正面可见面数相同，前后共$4×2=8$个面；
左右方向：从左面观察可见3个面，右面和左面可见面数相同，左右共$3×2=6$个面；
上下方向：从上面观察可见4个面，下面和上面可见面数相同，上下共$4×2=8$个面。
步骤3：计算总表面积
总可见面数为$8+6+8=22$个，总表面积为$22×1=22(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
22
【知识点】
组合体表面积计算，三视图应用
【点评】
本题考查组合几何体表面积的求解，按不同方向有序计数可见面是解题的关键，这种方法能有效降低计数错误率，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
7 如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数。若相对的两个面上所标的数之和相等，则这六个数的和为
81
。答案
7. 81
解析
【分析】
解题首先要根据已知的三个数11、14、15确定六个连续整数的两种可能范围，再结合“正方体相对的面互不相邻”的性质排除不符合的情况，最终计算正确的六个数总和。第一步：列举可能的连续整数组，已知出现11、14、15，六个数要么是10~15，要么是11~16；第二步：验证第一组，若为10~15，相对面和为25，此时11的对面应为14，和图中二者相邻矛盾，排除；第三步：验证第二组11~16，相对面和为27，11对16、14对13、15对12，和已知相邻关系无冲突，计算总和即可。
【解析】
解：
∵正方体六个面上是六个连续的整数，已知三个面上的数为11、14、15
∴六个连续整数有两种可能情况：
① 六个数为10、11、12、13、14、15
此时六个数总和为$10+11+12+13+14+15=75$，相对面的和为$75÷3=25$
可得11的对面为$25-11=14$，但图中11和14是相邻面，不可能为对面，该情况不成立。
② 六个数为11、12、13、14、15、16
此时六个数总和为$11+12+13+14+15+16=81$，相对面的和为$81÷3=27$
对应对面为11和16、14和13、15和12，三个已知数均为相邻面，和图示不冲突，该情况成立。
综上，这六个数的和为81。
【答案】
81
【知识点】
正方体相对面性质、连续整数运算
【点评】
本题需要结合空间几何特征和逻辑推理解题，关键是先枚举所有可能的连续整数组，再利用正方体相邻面不可能为相对面的性质排除错误情况，考察空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解题首先要根据已知的三个数11、14、15确定六个连续整数的两种可能范围，再结合“正方体相对的面互不相邻”的性质排除不符合的情况，最终计算正确的六个数总和。第一步：列举可能的连续整数组，已知出现11、14、15，六个数要么是10~15，要么是11~16；第二步：验证第一组，若为10~15，相对面和为25，此时11的对面应为14，和图中二者相邻矛盾，排除；第三步：验证第二组11~16，相对面和为27，11对16、14对13、15对12，和已知相邻关系无冲突，计算总和即可。
【解析】
解：
∵正方体六个面上是六个连续的整数，已知三个面上的数为11、14、15
∴六个连续整数有两种可能情况：
① 六个数为10、11、12、13、14、15
此时六个数总和为$10+11+12+13+14+15=75$，相对面的和为$75÷3=25$
可得11的对面为$25-11=14$，但图中11和14是相邻面，不可能为对面，该情况不成立。
② 六个数为11、12、13、14、15、16
此时六个数总和为$11+12+13+14+15+16=81$，相对面的和为$81÷3=27$
对应对面为11和16、14和13、15和12，三个已知数均为相邻面，和图示不冲突，该情况成立。
综上，这六个数的和为81。
【答案】
81
【知识点】
正方体相对面性质、连续整数运算
【点评】
本题需要结合空间几何特征和逻辑推理解题，关键是先枚举所有可能的连续整数组，再利用正方体相邻面不可能为相对面的性质排除错误情况，考察空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
8 如图,在每个小正方形的边长都是1的$3×3$方格纸中,3个白色的小正方形已被剪掉,现需在编号为①~⑥的小正方形(涂色部分)中,再剪掉一个小正方形,从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体,则需要再剪掉的小正方形是
①或②或③
(填序号).答案
8. ①或②或③
解析
【分析】
解题核心是掌握无盖正方体展开图的特征：无盖正方体共5个面，展开图中不能出现“田”字形的4个小正方形组合，且折叠后无重叠的面。我们可以通过逐一排除法，判断剪掉每个编号小正方形后剩余图形是否符合折叠要求，最终得到正确结论。
【解析】
我们对剪掉每个小正方形的情况逐一分析：
1. 若剪掉④：剩余小正方形为①②③⑤⑥，折叠时会出现面重叠，无法折成无盖正方体；
2. 若剪掉⑤或⑥：剩余小正方形都包含①②③④组成的“田”字形结构，存在“田”字的展开图无法折成正方体；
3. 若剪掉①：剩余小正方形为②③④⑤⑥，符合无盖正方体展开图特征，可顺利折叠成无盖正方体；
4. 若剪掉②：剩余小正方形为①③④⑤⑥，符合无盖正方体展开图特征，可顺利折叠成无盖正方体；
5. 若剪掉③：剩余小正方形为①②④⑤⑥，符合无盖正方体展开图特征，可顺利折叠成无盖正方体。
因此需要剪掉的小正方形为①、②或③。
【答案】
①或②或③
【知识点】
正方体展开图、图形的折叠
【点评】
本题重点考查对正方体展开图的识别能力和空间想象能力，牢记展开图中“田”字结构无法折叠成正方体是快速解题的关键，也可以通过动手裁剪折叠的方式验证结果，加深对展开图的理解。
【难度系数】
0.65
解题核心是掌握无盖正方体展开图的特征：无盖正方体共5个面，展开图中不能出现“田”字形的4个小正方形组合，且折叠后无重叠的面。我们可以通过逐一排除法，判断剪掉每个编号小正方形后剩余图形是否符合折叠要求，最终得到正确结论。
【解析】
我们对剪掉每个小正方形的情况逐一分析：
1. 若剪掉④：剩余小正方形为①②③⑤⑥，折叠时会出现面重叠，无法折成无盖正方体；
2. 若剪掉⑤或⑥：剩余小正方形都包含①②③④组成的“田”字形结构，存在“田”字的展开图无法折成正方体；
3. 若剪掉①：剩余小正方形为②③④⑤⑥，符合无盖正方体展开图特征，可顺利折叠成无盖正方体；
4. 若剪掉②：剩余小正方形为①③④⑤⑥，符合无盖正方体展开图特征，可顺利折叠成无盖正方体；
5. 若剪掉③：剩余小正方形为①②④⑤⑥，符合无盖正方体展开图特征，可顺利折叠成无盖正方体。
因此需要剪掉的小正方形为①、②或③。
【答案】
①或②或③
【知识点】
正方体展开图、图形的折叠
【点评】
本题重点考查对正方体展开图的识别能力和空间想象能力，牢记展开图中“田”字结构无法折叠成正方体是快速解题的关键，也可以通过动手裁剪折叠的方式验证结果，加深对展开图的理解。
【难度系数】
0.65
