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9 如图，在一条笔直的马路(直线$ l $)两侧各有一个居民小区(点$ M,N $).如果要在这条马路旁建一个购物中心，使购物中心到这两个居民小区的距离之和最小，那么购物中心应建在线段$ MN $与直线$ l $的交点$ P $处，这样做的依据是
两点之间，线段最短
。答案
9. 两点之间，线段最短
解析
【分析】
要解决在直线l上找一点使得到M、N两点的距离之和最小的问题，我们可以用对比法思考：首先任意在直线l上取一个不是P的点P'，连接P'M和P'N，此时P'到M、N的距离之和是P'M+P'N；再看交点P的情况，P在线段MN上，所以PM+PN=MN。根据线段的性质，两点之间的所有连线中线段是最短的，所以P'M+P'N一定大于MN，因此只有P点能满足距离之和最小，依据就是线段的这个性质。
【解析】
假设在直线l上取任意异于点P的一点P'，连接P'M、P'N。根据“两点之间，线段最短”，可得P'M + P'N ＞ MN。
而当所选点为线段MN与直线l的交点P时，PM + PN = MN，此时到两个居民小区的距离之和最小。
因此这样做的依据是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的应用，解题的关键是理解两点之间线段最短的性质，能够结合实际场景判断最短路径的选址，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.9
要解决在直线l上找一点使得到M、N两点的距离之和最小的问题，我们可以用对比法思考：首先任意在直线l上取一个不是P的点P'，连接P'M和P'N，此时P'到M、N的距离之和是P'M+P'N；再看交点P的情况，P在线段MN上，所以PM+PN=MN。根据线段的性质，两点之间的所有连线中线段是最短的，所以P'M+P'N一定大于MN，因此只有P点能满足距离之和最小，依据就是线段的这个性质。
【解析】
假设在直线l上取任意异于点P的一点P'，连接P'M、P'N。根据“两点之间，线段最短”，可得P'M + P'N ＞ MN。
而当所选点为线段MN与直线l的交点P时，PM + PN = MN，此时到两个居民小区的距离之和最小。
因此这样做的依据是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的应用，解题的关键是理解两点之间线段最短的性质，能够结合实际场景判断最短路径的选址，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.9
10 如图,点C在线段AB上,AC=2,AC=$\frac{1}{5}$AB.如果D是BC的中点,那么CD=
4
.答案
10. 4
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先根据AC的长度以及AC与AB的数量关系，求出线段AB的总长度；再利用线段的和差关系，计算出BC的长度；最后结合D是BC中点的条件，根据线段中点的定义，CD为BC长度的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知AC=2，且AC=$\frac{1}{5}$AB，
则AB=5AC=5×2=10，
根据线段和差关系可得：BC=AB - AC=10 - 2=8，
又
∵D是BC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
4
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题，主要考查对线段和差关系、线段中点性质的运用，解题核心是先求出AB的总长度，再逐步推导所求线段的长度，侧重基础概念的掌握。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件出发：首先根据AC的长度以及AC与AB的数量关系，求出线段AB的总长度；再利用线段的和差关系，计算出BC的长度；最后结合D是BC中点的条件，根据线段中点的定义，CD为BC长度的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知AC=2，且AC=$\frac{1}{5}$AB，
则AB=5AC=5×2=10，
根据线段和差关系可得：BC=AB - AC=10 - 2=8，
又
∵D是BC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
4
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题，主要考查对线段和差关系、线段中点性质的运用，解题核心是先求出AB的总长度，再逐步推导所求线段的长度，侧重基础概念的掌握。
【难度系数】
0.85
三、解答题
11 每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2.
（1）求如图①所示的正方体看不见的三个面上的数的积；
（2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图②），求所有看不见的七个面上所写的数之和.
11 每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2.
（1）求如图①所示的正方体看不见的三个面上的数的积；
（2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图②），求所有看不见的七个面上所写的数之和.
答案
11.（1）因为每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2,所以易得题图①中正方体下底面的数是1,后面的数是4,左面的数是-1.所以它们的积是$1×4×(-1)=-4$
（2）因为每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2,所以易得题图②中左边的正方体下底面的数是1,后面的数是$\frac{1}{3}$,左右两面的数的和是2,右边的正方体下底面的数是6,左面的数是-1,后面的数是0.所以它们的和是$1+\frac{1}{3}+2+6-1+0=8\frac{1}{3}$
（2）因为每个正方体相对两个面上写的数之和都等于2,所以易得题图②中左边的正方体下底面的数是1,后面的数是$\frac{1}{3}$,左右两面的数的和是2,右边的正方体下底面的数是6,左面的数是-1,后面的数是0.所以它们的和是$1+\frac{1}{3}+2+6-1+0=8\frac{1}{3}$
解析
【分析】
（1）解题思路：根据题目给出的“正方体相对两个面上的数之和等于2”的条件，先找到图①中已给出的3个可见面的对面（即看不见的面）对应的数值，再将这三个数值相乘即可得到结果。
（2）解题思路：先分别分析两个正方体的可见面，利用相对面和为2的条件，逐个求出各自看不见的面的数值，注意两个正方体黏合处的两个面都属于看不见的面，最后将所有看不见的面的数值相加即可。
【解析】
（1）已知正方体相对两个面上的数之和为2：
图①中，上面的数为1，故下底面的数为$2 - 1 = 1$；
前面的数为$-2$，故后面的数为$2 - (-2) = 4$；
右面的数为3，故左面的数为$2 - 3 = -1$。
三个看不见的面的数的积为$1 × 4 × (-1) = -4$。
（2）分别分析两个正方体：
左边正方体：上面数为1，下底面数为$2 - 1 = 1$；前面数为$\frac{5}{3}$，后面数为$2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$；左右两个面为相对面，和为2，且右面部与右边正方体左面黏合，均不可见。
右边正方体：上面数为$-4$，下底面数为$2 - (-4) = 6$；前面数为2，后面数为$2 - 2 = 0$；右面数为3，故左面（黏合面）数为$2 - 3 = -1$。
所有看不见的面的数之和为$1 + \frac{1}{3} + 2 + 6 + (-1) + 0 = 8\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{-4}$
（2）$\boxed{8\frac{1}{3}}$
【知识点】
正方体相对面性质，有理数乘法运算，有理数加法运算
【点评】
本题结合正方体的结构特征考查有理数的基础运算，解题核心是紧扣“相对面数字和为2”的条件求出未知面的数值，拼接类问题需注意重合的两个面均为不可见面，避免漏算。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：根据题目给出的“正方体相对两个面上的数之和等于2”的条件，先找到图①中已给出的3个可见面的对面（即看不见的面）对应的数值，再将这三个数值相乘即可得到结果。
（2）解题思路：先分别分析两个正方体的可见面，利用相对面和为2的条件，逐个求出各自看不见的面的数值，注意两个正方体黏合处的两个面都属于看不见的面，最后将所有看不见的面的数值相加即可。
【解析】
（1）已知正方体相对两个面上的数之和为2：
图①中，上面的数为1，故下底面的数为$2 - 1 = 1$；
前面的数为$-2$，故后面的数为$2 - (-2) = 4$；
右面的数为3，故左面的数为$2 - 3 = -1$。
三个看不见的面的数的积为$1 × 4 × (-1) = -4$。
（2）分别分析两个正方体：
左边正方体：上面数为1，下底面数为$2 - 1 = 1$；前面数为$\frac{5}{3}$，后面数为$2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$；左右两个面为相对面，和为2，且右面部与右边正方体左面黏合，均不可见。
右边正方体：上面数为$-4$，下底面数为$2 - (-4) = 6$；前面数为2，后面数为$2 - 2 = 0$；右面数为3，故左面（黏合面）数为$2 - 3 = -1$。
所有看不见的面的数之和为$1 + \frac{1}{3} + 2 + 6 + (-1) + 0 = 8\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{-4}$
（2）$\boxed{8\frac{1}{3}}$
【知识点】
正方体相对面性质，有理数乘法运算，有理数加法运算
【点评】
本题结合正方体的结构特征考查有理数的基础运算，解题核心是紧扣“相对面数字和为2”的条件求出未知面的数值，拼接类问题需注意重合的两个面均为不可见面，避免漏算。
【难度系数】
0.7
12 如图，线段$AC=6\ \mathrm{cm}$，线段$AB=21\ \mathrm{cm}$，$M$是$AC$的中点，在$BC$上取一点$N$，使得$CN:NB=1:2$，求$MN$的长。
（第12题）
（第12题）答案
12. 因为M是AC的中点,$AC=6\ \mathrm{cm}$,所以$MC=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$.因为$AC=6\ \mathrm{cm}$,$AB=21\ \mathrm{cm}$,所以$BC=AB-AC=15\ \mathrm{cm}$.因为$CN:NB=1:2$,所以$CN=15×\frac{1}{3}=5(\mathrm{cm})$.所以$MN=MC+CN=3+5=8(\mathrm{cm})$.所以MN的长为8 cm
解析
【分析】
要求MN的长度，观察图形可知MN由MC和CN两段组成，因此只需要分别求出MC、CN的长度再相加即可。第一步，根据M是AC中点的条件，结合已知AC的长度，利用中点的性质求出MC的长度；第二步，先通过AB和AC的长度差算出BC的长度，再根据CN:NB=1:2的比例关系，求出CN的长度；最后将MC和CN相加即可得到MN的长度。
【解析】
解：因为M是AC的中点，$AC=6\ \mathrm{cm}$，
所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
因为$AC=6\ \mathrm{cm}$，$AB=21\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=AB-AC=21-6=15\ \mathrm{cm}$。
因为$CN:NB=1:2$，所以CN占BC总长的$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
所以$CN=15×\frac{1}{3}=5\ \mathrm{cm}$。
所以$MN=MC+CN=3+5=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
MN的长为8 cm
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；比例线段计算
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题关键是结合图形拆分所求线段，理清各线段间的数量关系，结合中点性质和比例关系分别计算对应线段长度后求和即可。
【难度系数】
0.8
要求MN的长度，观察图形可知MN由MC和CN两段组成，因此只需要分别求出MC、CN的长度再相加即可。第一步，根据M是AC中点的条件，结合已知AC的长度，利用中点的性质求出MC的长度；第二步，先通过AB和AC的长度差算出BC的长度，再根据CN:NB=1:2的比例关系，求出CN的长度；最后将MC和CN相加即可得到MN的长度。
【解析】
解：因为M是AC的中点，$AC=6\ \mathrm{cm}$，
所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
因为$AC=6\ \mathrm{cm}$，$AB=21\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=AB-AC=21-6=15\ \mathrm{cm}$。
因为$CN:NB=1:2$，所以CN占BC总长的$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
所以$CN=15×\frac{1}{3}=5\ \mathrm{cm}$。
所以$MN=MC+CN=3+5=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
MN的长为8 cm
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；比例线段计算
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题关键是结合图形拆分所求线段，理清各线段间的数量关系，结合中点性质和比例关系分别计算对应线段长度后求和即可。
【难度系数】
0.8
13 [2025 通州期末改编]如图，小丽和小红相约爬山(山脚 A，B 两处在同一水平线上).她们从南坡山脚 A 处出发上行，在南坡的 E 处休息片刻后，继续登山到达坡顶 C 处观光游玩，之后沿北坡下山，至北坡山脚 B 处.已知南北两坡的长度不相等，可以分别看作线段 AC，BC，E 为 AC 的中点，且 EC=200 m，点 D 平分南北两坡总长，且 CD=20 m，求北坡 BC 的长.
答案
13. 如图①,当点D在线段AC上时,因为E为AC的中点,且$EC=200\ \mathrm{m}$,所以$AC=400\ \mathrm{m}$.因为$CD=20\ \mathrm{m}$,所以$AD=380\ \mathrm{m}$.因为点D平分南北两坡总长,所以$BC+CD=AD=380\ \mathrm{m}$.所以$BC=380-20=360(\mathrm{m})$.如图②,当点D在线段BC上时,因为E为AC的中点,且$EC=200\ \mathrm{m}$,所以$AC=400\ \mathrm{m}$.因为$CD=20\ \mathrm{m}$,所以$AC+CD=420\ \mathrm{m}$.因为点D平分南北两坡总长,所以$BD=AC+CD=420\ \mathrm{m}$.所以$BC=420+20=440(\mathrm{m})$.综上所述,北坡BC的长为360 m或440 m
解析
【分析】
解题时先从已知的线段中点条件入手：E是AC中点，EC=200m，可先求出AC的总长度。接下来注意“点D平分南北两坡总长”的条件，由于D的位置没有明确给出，结合南北坡长度不等的条件，需分两种情况讨论：①点D在线段AC上；②点D在线段BC上。再结合CD=20m的条件，利用线段和差关系、D为总路程中点的性质分别计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AC上时（如图①）
∵ E为AC的中点，$EC=200\ \mathrm{m}$
∴ $AC=2EC=2×200=400\ \mathrm{m}$
∵ $CD=20\ \mathrm{m}$
∴ $AD=AC-CD=400-20=380\ \mathrm{m}$
∵ 点D平分南北两坡总长，即$AC+BC=2AD$
∴ $BC+CD=AD=380\ \mathrm{m}$
∴ $BC=380-CD=380-20=360\ \mathrm{m}$
2. 当点D在线段BC上时（如图②）
∵ E为AC的中点，$EC=200\ \mathrm{m}$
∴ $AC=2EC=400\ \mathrm{m}$
∵ $CD=20\ \mathrm{m}$
∴ $AC+CD=400+20=420\ \mathrm{m}$
∵ 点D平分南北两坡总长，即$BD=AC+CD=420\ \mathrm{m}$
∴ $BC=BD+CD=420+20=440\ \mathrm{m}$
【答案】
北坡BC的长为360 m或440 m
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确点D的位置存在两种可能，避免漏解，结合线段中点的性质和线段的和差关系即可逐步求出结果。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的线段中点条件入手：E是AC中点，EC=200m，可先求出AC的总长度。接下来注意“点D平分南北两坡总长”的条件，由于D的位置没有明确给出，结合南北坡长度不等的条件，需分两种情况讨论：①点D在线段AC上；②点D在线段BC上。再结合CD=20m的条件，利用线段和差关系、D为总路程中点的性质分别计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AC上时（如图①）
∵ E为AC的中点，$EC=200\ \mathrm{m}$
∴ $AC=2EC=2×200=400\ \mathrm{m}$
∵ $CD=20\ \mathrm{m}$
∴ $AD=AC-CD=400-20=380\ \mathrm{m}$
∵ 点D平分南北两坡总长，即$AC+BC=2AD$
∴ $BC+CD=AD=380\ \mathrm{m}$
∴ $BC=380-CD=380-20=360\ \mathrm{m}$
2. 当点D在线段BC上时（如图②）
∵ E为AC的中点，$EC=200\ \mathrm{m}$
∴ $AC=2EC=400\ \mathrm{m}$
∵ $CD=20\ \mathrm{m}$
∴ $AC+CD=400+20=420\ \mathrm{m}$
∵ 点D平分南北两坡总长，即$BD=AC+CD=420\ \mathrm{m}$
∴ $BC=BD+CD=420+20=440\ \mathrm{m}$
【答案】
北坡BC的长为360 m或440 m
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确点D的位置存在两种可能，避免漏解，结合线段中点的性质和线段的和差关系即可逐步求出结果。
【难度系数】
0.6
