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【规律方法】
在实际问题中建立函数解析式的一般步骤
(1)审清题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量),并分析它们之间的关系,找出等量关系.
(2)用含一个变量的代数式表示等量关系中的相关量,从而写出用一个变量表示另一个变量的函数解析式.
(3)确定自变量的取值范围,在实际问题中,自变量的取值要符合实际意义.
变式训练
4.两个正方形的周长之和是32 cm.若以两个正方形的面积之和 y(单位:cm²)为函数,其中一个正方形的边长 x(单位:cm)为自变量,则它们之间的关系式是
知识建构
在实际问题中建立函数解析式的一般步骤
(1)审清题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量),并分析它们之间的关系,找出等量关系.
(2)用含一个变量的代数式表示等量关系中的相关量,从而写出用一个变量表示另一个变量的函数解析式.
(3)确定自变量的取值范围,在实际问题中,自变量的取值要符合实际意义.
变式训练
4.两个正方形的周长之和是32 cm.若以两个正方形的面积之和 y(单位:cm²)为函数,其中一个正方形的边长 x(单位:cm)为自变量,则它们之间的关系式是
$y=2x^2-16x+64$
.知识建构
答案
$y=2x^2-16x+64$
解析
【分析】
解题时首先梳理已知量和未知量的关系：已知两个正方形周长总和为32cm，设其中一个正方形边长为x，可先求出该正方形的周长，进而推导出另一个正方形的周长和边长，再根据“面积之和等于两个正方形面积相加”的等量关系，代入边长列式化简即可得到函数关系式。
【解析】
解：已知其中一个正方形的边长为x cm，
则该正方形的周长为4x cm，
另一个正方形的周长为：$(32 - 4x)$ cm，
因此另一个正方形的边长为：$\frac{32-4x}{4}=8-x$ cm。
根据正方形面积公式$S=a^2$（a为正方形边长），两个正方形的面积之和：
$y=x^2+(8-x)^2$
展开并整理得：
$y=x^2+64-16x+x^2$
$y=2x^2-16x+64$
（注：实际问题中自变量x的取值范围为$0＜x＜8$）
【答案】
$y=2x^2-16x+64$
【知识点】
1. 正方形周长与面积计算
2. 二次函数解析式建立
3. 整式化简
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是借助周长的数量关系表示出两个正方形的边长，再结合面积公式建立函数关系，解题时要注意完全平方公式的正确展开，避免出现计算失误，同时要注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知量和未知量的关系：已知两个正方形周长总和为32cm，设其中一个正方形边长为x，可先求出该正方形的周长，进而推导出另一个正方形的周长和边长，再根据“面积之和等于两个正方形面积相加”的等量关系，代入边长列式化简即可得到函数关系式。
【解析】
解：已知其中一个正方形的边长为x cm，
则该正方形的周长为4x cm，
另一个正方形的周长为：$(32 - 4x)$ cm，
因此另一个正方形的边长为：$\frac{32-4x}{4}=8-x$ cm。
根据正方形面积公式$S=a^2$（a为正方形边长），两个正方形的面积之和：
$y=x^2+(8-x)^2$
展开并整理得：
$y=x^2+64-16x+x^2$
$y=2x^2-16x+64$
（注：实际问题中自变量x的取值范围为$0＜x＜8$）
【答案】
$y=2x^2-16x+64$
【知识点】
1. 正方形周长与面积计算
2. 二次函数解析式建立
3. 整式化简
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是借助周长的数量关系表示出两个正方形的边长，再结合面积公式建立函数关系，解题时要注意完全平方公式的正确展开，避免出现计算失误，同时要注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
1.下列函数是二次函数的有 （
①$y=3-\sqrt{3}x^2$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=x(3-5x)$；
④$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$y=3-\sqrt{3}x^2$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=x(3-5x)$；
④$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解题的核心依据是二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足三个条件：①属于整式函数；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们只需将每个函数解析式先化简，再对照上述三个条件逐一判断即可。
【解析】
我们对4个函数逐个分析：
①$y=3-\sqrt{3}x^2$：是整式函数，自变量$x$的最高次数为2，二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
②$y=\frac{2}{x^2}$：分母含有自变量$x$，不是整式函数，不符合二次函数定义，不属于二次函数；
③$y=x(3-5x)$：展开化简得$y=-5x^2+3x$，是整式函数，自变量最高次数为2，二次项系数$-5≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
④$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$：利用平方差公式展开后合并同类项，得$y=1-4x^2+4x^2=1$，没有二次项，是常数函数，不符合二次函数定义，不属于二次函数。
综上，属于二次函数的有①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题时要注意两个关键点：一是必须先将函数解析式化简为最简形式再判断，二是二次函数属于整式函数，分母含自变量的函数不属于二次函数。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足三个条件：①属于整式函数；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们只需将每个函数解析式先化简，再对照上述三个条件逐一判断即可。
【解析】
我们对4个函数逐个分析：
①$y=3-\sqrt{3}x^2$：是整式函数，自变量$x$的最高次数为2，二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
②$y=\frac{2}{x^2}$：分母含有自变量$x$，不是整式函数，不符合二次函数定义，不属于二次函数；
③$y=x(3-5x)$：展开化简得$y=-5x^2+3x$，是整式函数，自变量最高次数为2，二次项系数$-5≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
④$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$：利用平方差公式展开后合并同类项，得$y=1-4x^2+4x^2=1$，没有二次项，是常数函数，不符合二次函数定义，不属于二次函数。
综上，属于二次函数的有①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题时要注意两个关键点：一是必须先将函数解析式化简为最简形式再判断，二是二次函数属于整式函数，分母含自变量的函数不属于二次函数。
【难度系数】
0.8
2.喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（
A.$y=-10x^2+100x+2000$
B.$y=10x^2+100x+2000$
C.$y=-10x^2+200x$
D.$y=-10x^2-100x+2000$
A
）A.$y=-10x^2+100x+2000$
B.$y=10x^2+100x+2000$
C.$y=-10x^2+200x$
D.$y=-10x^2-100x+2000$
答案
A
解析
【分析】
解决这类销售利润的函数问题，首先牢记核心公式：总利润=单件商品的利润×销售数量。我们分两步找对应量：第一步算单件利润，原本售价60元、进价50元，原单件利润为10元，售价上涨x元后，单件利润变为$(60+x-50)$元；第二步算销售数量，原本每星期卖200件，每涨1元少卖10件，上涨x元后少卖10x件，销售数量变为$(200-10x)$件。最后将两个量相乘、化简，就能得到函数解析式，再匹配选项即可。
【解析】
根据总利润的计算公式：总利润=单件利润×销售量
1. 计算单件利润：
$60 + x - 50 = 10 + x$（元）
2. 计算销售数量：
售价上涨x元后，销售量为$200 - 10x$（件）
3. 列函数解析式并化简：
$y = (10 + x)(200 - 10x)$
展开得：$y = 2000 - 100x + 200x - 10x^2$
合并同类项得：$y = -10x^2 + 100x + 2000$
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算；列二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题关键是理清销售问题中各个量的对应关系，化简计算时注意符号和合并同类项的准确性即可。
【难度系数】
0.8
解决这类销售利润的函数问题，首先牢记核心公式：总利润=单件商品的利润×销售数量。我们分两步找对应量：第一步算单件利润，原本售价60元、进价50元，原单件利润为10元，售价上涨x元后，单件利润变为$(60+x-50)$元；第二步算销售数量，原本每星期卖200件，每涨1元少卖10件，上涨x元后少卖10x件，销售数量变为$(200-10x)$件。最后将两个量相乘、化简，就能得到函数解析式，再匹配选项即可。
【解析】
根据总利润的计算公式：总利润=单件利润×销售量
1. 计算单件利润：
$60 + x - 50 = 10 + x$（元）
2. 计算销售数量：
售价上涨x元后，销售量为$200 - 10x$（件）
3. 列函数解析式并化简：
$y = (10 + x)(200 - 10x)$
展开得：$y = 2000 - 100x + 200x - 10x^2$
合并同类项得：$y = -10x^2 + 100x + 2000$
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算；列二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题关键是理清销售问题中各个量的对应关系，化简计算时注意符号和合并同类项的准确性即可。
【难度系数】
0.8
3.已知函数$y=(m+2)x^{m^2 - m -4}+(m-3)x+m$是关于x的二次函数，则m的值为
3
.答案
3
解析
【分析】
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列出关于m的方程，求解出m的可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，最终得到正确的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得两个约束条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$\begin{aligned}m^2 - m - 4 &= 2 \\m^2 - m - 6 &= 0 \\(m-3)(m+2) &= 0\end{aligned}$
解得$m=3$或$m=-2$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
综上，排除不符合要求的$m=-2$，可得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制条件，直接将方程的两个解都作为最终结果，解题时要牢记定义中的所有限制条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列出关于m的方程，求解出m的可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，最终得到正确的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得两个约束条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$\begin{aligned}m^2 - m - 4 &= 2 \\m^2 - m - 6 &= 0 \\(m-3)(m+2) &= 0\end{aligned}$
解得$m=3$或$m=-2$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m+2≠0$，解得$m≠-2$。
综上，排除不符合要求的$m=-2$，可得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制条件，直接将方程的两个解都作为最终结果，解题时要牢记定义中的所有限制条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
4.将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$y=(1-2x)^2+4x$.
(2)$y=(x+1)(3-2x)-6$.
(1)$y=(1-2x)^2+4x$.
(2)$y=(x+1)(3-2x)-6$.
答案
解:(1)$y=(1-2x)^2+4x=1-4x+4x^2+4x=4x^2+1$.
二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为1.
(2)$y=(x+1)(3-2x)-6=3x-2x^2+3-2x-6=-2x^2+x-3$.
二次项系数为$-2$,一次项系数为1,常数项为$-3$.
二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为1.
(2)$y=(x+1)(3-2x)-6=3x-2x^2+3-2x-6=-2x^2+x-3$.
二次项系数为$-2$,一次项系数为1,常数项为$-3$.
解析
【分析】
首先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对给出的函数式利用完全平方公式、多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，整理为一般形式后，即可对应确定各项系数，注意若整理后某一项不存在，对应的系数为0，系数需带上本身的符号。
【解析】
(1) 先展开完全平方，再合并同类项：
$y=(1-2x)^2+4x=1-4x+4x^2+4x=4x^2+1$
因此二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1。
(2) 先计算多项式乘法，再合并同类项：
$y=(x+1)(3-2x)-6=3x-2x^2+3-2x-6=-2x^2+x-3$
因此二次项系数为$-2$，一次项系数为1，常数项为$-3$。
【答案】
(1) 一般形式为$y=4x^2+1$，二次项系数4，一次项系数0，常数项1；
(2) 一般形式为$y=-2x^2+x-3$，二次项系数$-2$，一次项系数1，常数项$-3$。
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 整式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心是掌握二次函数一般形式的结构特征，解题时需准确运用整式运算的法则，合并同类项时要注意同类项的判断，确定系数时不要遗漏符号，缺失的项对应的系数为0，避免出现漏写系数的错误。
【难度系数】
0.9
首先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对给出的函数式利用完全平方公式、多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，整理为一般形式后，即可对应确定各项系数，注意若整理后某一项不存在，对应的系数为0，系数需带上本身的符号。
【解析】
(1) 先展开完全平方，再合并同类项：
$y=(1-2x)^2+4x=1-4x+4x^2+4x=4x^2+1$
因此二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1。
(2) 先计算多项式乘法，再合并同类项：
$y=(x+1)(3-2x)-6=3x-2x^2+3-2x-6=-2x^2+x-3$
因此二次项系数为$-2$，一次项系数为1，常数项为$-3$。
【答案】
(1) 一般形式为$y=4x^2+1$，二次项系数4，一次项系数0，常数项1；
(2) 一般形式为$y=-2x^2+x-3$，二次项系数$-2$，一次项系数1，常数项$-3$。
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 整式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心是掌握二次函数一般形式的结构特征，解题时需准确运用整式运算的法则，合并同类项时要注意同类项的判断，确定系数时不要遗漏符号，缺失的项对应的系数为0，避免出现漏写系数的错误。
【难度系数】
0.9
5.已知关于$x$的函数$y=(k+1)x^{k^2+1}+(k-3)x+5$.
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式.
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式.
(1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式.
(2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式.
答案
解:(1)$y=-2x+5$ 或 $y=-4x+5$.
(2)$y=2x^2-2x+5$.
(2)$y=2x^2-2x+5$.
解析
【分析】
(1)要使函数为一次函数，需满足x的最高次数为1且一次项系数不为0，分两种情况讨论：①含$x^{k^2+1}$的项系数为0，剩余项为一次式；②$x^{k^2+1}$的次数为1，合并一次项后系数不为0，分别求解k后代入即可得到解析式。
(2)要使函数为二次函数，需满足x的最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解k值，代入即可得到二次函数解析式。
【解析】
(1)若函数为一次函数，分两种情况讨论：
①当$k+1=0$时，即$k=-1$，代入函数化简得：
$y=(-1-3)x+5=-4x+5$，符合一次函数定义；
②当$k^2+1=1$时，解得$k=0$，代入函数得：
$y=(0+1)x+(0-3)x+5=-2x+5$，符合一次函数定义。
综上，一次函数解析式为$y=-2x+5$或$y=-4x+5$。
(2)若函数为二次函数，需满足条件：
$\begin{cases}k^2+1=2 \\ k+1≠ 0\end{cases}$
解$k^2+1=2$得$k=\pm1$，结合$k+1≠0$即$k≠-1$，得$k=1$。
将$k=1$代入原函数得：
$y=(1+1)x^2+(1-3)x+5=2x^2-2x+5$，即为所求二次函数解析式。
【答案】
(1)$y=-2x+5$ 或 $y=-4x+5$
(2)$y=2x^2-2x+5$
【知识点】
一次函数的定义；二次函数的概念
【点评】
本题考查一次函数、二次函数定义的应用，解题时要注意分类讨论，尤其求解一次函数解析式时不要遗漏高次项系数为0的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)要使函数为一次函数，需满足x的最高次数为1且一次项系数不为0，分两种情况讨论：①含$x^{k^2+1}$的项系数为0，剩余项为一次式；②$x^{k^2+1}$的次数为1，合并一次项后系数不为0，分别求解k后代入即可得到解析式。
(2)要使函数为二次函数，需满足x的最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解k值，代入即可得到二次函数解析式。
【解析】
(1)若函数为一次函数，分两种情况讨论：
①当$k+1=0$时，即$k=-1$，代入函数化简得：
$y=(-1-3)x+5=-4x+5$，符合一次函数定义；
②当$k^2+1=1$时，解得$k=0$，代入函数得：
$y=(0+1)x+(0-3)x+5=-2x+5$，符合一次函数定义。
综上，一次函数解析式为$y=-2x+5$或$y=-4x+5$。
(2)若函数为二次函数，需满足条件：
$\begin{cases}k^2+1=2 \\ k+1≠ 0\end{cases}$
解$k^2+1=2$得$k=\pm1$，结合$k+1≠0$即$k≠-1$，得$k=1$。
将$k=1$代入原函数得：
$y=(1+1)x^2+(1-3)x+5=2x^2-2x+5$，即为所求二次函数解析式。
【答案】
(1)$y=-2x+5$ 或 $y=-4x+5$
(2)$y=2x^2-2x+5$
【知识点】
一次函数的定义；二次函数的概念
【点评】
本题考查一次函数、二次函数定义的应用，解题时要注意分类讨论，尤其求解一次函数解析式时不要遗漏高次项系数为0的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
