活动1 月历中的奥秘(续)
如图,是某月的月历.
(1)选择其中所示的灰框蓝字部分,将每个灰框蓝字部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,能得出什么结论?请再选择几个类似的部分试一试,看一看是否符合这个规律.
(2)换一个月的月历试一试,是否有同样的规律?
(3)请利用整式的运算对以上的规律加以证明.
(4)你还能发现其他规律吗?

活动1题图

(1)7×13−6×14=7,17×23−16×24=7,差为7,符合.
(2)有同样的规律.
(3)利用字母表示数,通过整式运算推导出一般结论.设方框中左上角的数为a,则其他3个数为a+1,a+7,a+8,则有(a+1)(a+7)−a(a+8)=7.
(4)可以尝试从改变方框的形状与大小考虑.

活动2 和为定值的两数积的规律
活动目标
1. 通过计算和观察,发现“和为定值的两数积”的规律,并运用整式乘法的相关知识解释规律;
2. 应用规律解决实际问题,提升数学建模能力.
活动导引
(1)计算:①$30×30=$,$35×25=$,$43×17=$,$52×8=$;
②$50×50=$,$53×47=$,$74×26=$,$91×9=$.
发现规律:.
内容探究
(2)用所学知识解释你发现的规律.
解决问题
利用你发现的规律解决下面的问题:
(3)用10 m长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是多少? 此时长方形的两条邻边有什么关系?

(1)①900,875,731,416;
②2500,2491,1924,819
两数越接近中间值(和为定值的一半),积越大,两数相等时积最大(说法不唯一,合理即可)
(2)设两数分别为a和b,
且$a=\frac{k}{2}+t,b=\frac{k}{2}-t$,则a+b=k,
$\therefore ab=(\frac{k}{2}+t)(\frac{k}{2}-t)=(\frac{k}{2})^2 - t^2$,
$\because t^2\ge0$,$\therefore$ 当且仅当t=0时,ab达到最大值$\frac{k^2}{4}$,
此时$a=b=\frac{k}{2}$,即两数相等.
(3)由题可知,$k=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{m})$,
$\therefore$ 长方形面积最大为$\frac{k^2}{4}=\frac{5^2}{4}=6.25(\mathrm{m}^2)$,
此时长方形的两条邻边相等.