13. 如图,在△ABC中,O是AB边上一点,以点O为圆心,OB为半径作⊙O,AC与⊙O相切于点E,连接OE,OC,OC平分∠BOE.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)D为边BC上一点,且OD=OA,若AE=3,CD=9,求⊙O的半径长.

13. (1)$\because AC$与$\odot O$相切于点E,
$\therefore OE⊥AC$.
$\therefore ∠ CEO=90°$.
$\because OC$平分$∠ BOE$,
$\therefore ∠ COE=∠ COB$.
在$△ COE$和$△ COB$中,
$\begin{cases} OC=OC, \\ ∠ COE=∠ COB, \\ OE=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE ≌ △ COB (\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ CBO=∠ CEO=90°$.
$\therefore OB⊥BC$.
$\because OB$是$\odot O$的半径,
$\therefore BC$是$\odot O$的切线.
(2)在$\mathrm{Rt}△ AOE$和$\mathrm{Rt}△ DOB$中,
$\begin{cases} OA=OD, \\ OE=OB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOE ≌ \mathrm{Rt}△ DOB (\mathrm{HL})$.
$\therefore DB=AE=3$.
$\therefore CB=BD+CD=12$.
$\because CB,CA$是$\odot O$的切线,
$\therefore CE=CB=12$.
$\therefore AC=AE+CE=15$.
$\therefore AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$.
设$OB=x$,则$OE=x$,$OA=9-x$.
$\because AE^2+OE^2=OA^2$,
$\therefore 3^2+x^2=(9-x)^2$.
解得$x=4$.
$\therefore \odot O$的半径长为4.

【分析】
(1)要证明BC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明OB⊥BC。已知AC是⊙O的切线可得OE⊥AC，结合OC平分∠BOE、OE=OB、OC为公共边，可证△COE≌△COB，由全等得∠CBO=∠CEO=90°，即可完成证明。
(2)先证Rt△AOE≌Rt△DOB，得到BD=AE，结合CD长度求出BC的长；再根据切线长定理得CE=BC，进而求出AC的长，用勾股定理计算AB的长度；最后设半径为x，在Rt△AOE中利用勾股定理列方程求解，即可得到半径长度。
【解析】
(1)
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠CEO=90°。
∵OC平分∠BOE，
∴∠COE=∠COB。
在△COE和△COB中，
$\begin{cases} OC=OC, \\ ∠COE=∠COB, \\ OE=OB, \end{cases}$
∴△COE≌△COB(SAS)，
∴∠CBO=∠CEO=90°，
∴OB⊥BC。
又
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线。
(2)在Rt△AOE和Rt△DOB中，
$\begin{cases} OA=OD, \\ OE=OB, \end{cases}$
∴Rt△AOE≌Rt△DOB(HL)，
∴DB=AE=3，
∴CB=BD+CD=3+9=12。
∵CB、CA都是⊙O的切线，
∴CE=CB=12，
∴AC=AE+CE=3+12=15。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$。
设⊙O的半径长为x，则OB=OE=x，OA=9-x，
在Rt△AOE中，$AE^2+OE^2=OA^2$，
代入得$3^2+x^2=(9-x)^2$，
解得$x=4$。
【答案】
(1)BC是⊙O的切线，证明见上述解析；
(2)⊙O的半径长为4。
【知识点】
切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合中档题，第一问是切线判定的常规考法，通过全等推导垂直即可求证；第二问需要结合全等、切线长定理、勾股定理梳理线段关系，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65