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【观察思考】
第1个图案 第2个图案
第4个图案 …
【规律发现】
请用含$n(n≥2)$的式子填空：
(1)第$n$个图案中“※”的个数为
(2)第$n$个图案中“•”的个数为
【规律应用】
(3)结合图案中“※”和“•”的排列方式及上述规律，第几个图案中“•”的个数比“※”的个数多77？
第1个图案 第2个图案
第4个图案 …【规律发现】
请用含$n(n≥2)$的式子填空：
(1)第$n$个图案中“※”的个数为
$4n+2$
.(2)第$n$个图案中“•”的个数为
$(1+n)^2-2$
.【规律应用】
(3)结合图案中“※”和“•”的排列方式及上述规律，第几个图案中“•”的个数比“※”的个数多77？
答案
(1)$4n+2$
(2)$(1+n)^2-2$
(3)由题意,得$(1+n)^2-2-(4n+2)=77.$
解得$n_1=10,n_2=-8$(舍去).
故第10个图案中“•”的个数比“※”的个数多77.
(2)$(1+n)^2-2$
(3)由题意,得$(1+n)^2-2-(4n+2)=77.$
解得$n_1=10,n_2=-8$(舍去).
故第10个图案中“•”的个数比“※”的个数多77.
解析
【分析】
这是一道图形规律探究类问题，解题思路如下：①先分别统计前几个图案中“※”和“•”的数量，将数量与图案序号n对应，通过观察数字变化规律归纳出两种元素数量关于n的代数式；②第三问根据“•的个数比※多77”的数量关系列方程，求解一元二次方程后结合n为正整数的实际意义舍去不合理解即可。
【解析】
(1) 统计前4个图案中“※”的个数：
第1个图案：6个 = $4×1 + 2$；
第2个图案：10个 = $4×2 + 2$；
第3个图案：14个 = $4×3 + 2$；
第4个图案：18个 = $4×4 + 2$；
由此可归纳，第$n$个图案中“※”的个数为$4n+2$。
(2) 统计前4个图案中“•”的个数：
第1个图案：2个 = $(1+1)^2 - 2$；
第2个图案：7个 = $(2+1)^2 - 2$；
第3个图案：14个 = $(3+1)^2 - 2$；
第4个图案：23个 = $(4+1)^2 - 2$；
由此可归纳，第$n$个图案中“•”的个数为$(n+1)^2 - 2$。
(3) 根据题意，•的个数减去※的个数等于77，列方程得：
$(n+1)^2 - 2 - (4n+2) = 77$
整理方程：
$n^2 + 2n + 1 - 2 - 4n - 2 = 77$
$n^2 - 2n - 80 = 0$
因式分解得$(n-10)(n+8)=0$，解得$n_1=10$，$n_2=-8$。
因为图案序号$n$为正整数，故舍去$n=-8$，即$n=10$。
【答案】
(1)$4n+2$
(2)$(n+1)^2-2$
(3)第10个
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究与方程应用结合的题型，核心是通过归纳法得到元素数量的通项公式，解题时要注意观察数字与序号的对应关系，求解方程后需结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究类问题，解题思路如下：①先分别统计前几个图案中“※”和“•”的数量，将数量与图案序号n对应，通过观察数字变化规律归纳出两种元素数量关于n的代数式；②第三问根据“•的个数比※多77”的数量关系列方程，求解一元二次方程后结合n为正整数的实际意义舍去不合理解即可。
【解析】
(1) 统计前4个图案中“※”的个数：
第1个图案：6个 = $4×1 + 2$；
第2个图案：10个 = $4×2 + 2$；
第3个图案：14个 = $4×3 + 2$；
第4个图案：18个 = $4×4 + 2$；
由此可归纳，第$n$个图案中“※”的个数为$4n+2$。
(2) 统计前4个图案中“•”的个数：
第1个图案：2个 = $(1+1)^2 - 2$；
第2个图案：7个 = $(2+1)^2 - 2$；
第3个图案：14个 = $(3+1)^2 - 2$；
第4个图案：23个 = $(4+1)^2 - 2$；
由此可归纳，第$n$个图案中“•”的个数为$(n+1)^2 - 2$。
(3) 根据题意，•的个数减去※的个数等于77，列方程得：
$(n+1)^2 - 2 - (4n+2) = 77$
整理方程：
$n^2 + 2n + 1 - 2 - 4n - 2 = 77$
$n^2 - 2n - 80 = 0$
因式分解得$(n-10)(n+8)=0$，解得$n_1=10$，$n_2=-8$。
因为图案序号$n$为正整数，故舍去$n=-8$，即$n=10$。
【答案】
(1)$4n+2$
(2)$(n+1)^2-2$
(3)第10个
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究与方程应用结合的题型，核心是通过归纳法得到元素数量的通项公式，解题时要注意观察数字与序号的对应关系，求解方程后需结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
1.参加一次聚会的每两人都握手一次，所有人共握手15次，有多少个人参加聚会？
解:设有x个人参加聚会.
第1个人分别与
第2个人分别与
……
依此类推,共有x个人,共握手
但此时每两人之间都是按握手两次进行计算
的,因此,x个人每两人之间握手一次共握了
解:设有x个人参加聚会.
第1个人分别与
$(x-1)$
个人握手,第2个人分别与
$(x-1)$
个人握手,……
依此类推,共有x个人,共握手
$x(x-1)$
次,但此时每两人之间都是按握手两次进行计算
的,因此,x个人每两人之间握手一次共握了
$\frac{1}{2}x(x-1)$
次,得到方程:$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
.答案
1. $(x-1)\ \ \ (x-1)\ \ \ x(x-1)\ \ \ \frac{1}{2}x(x-1)\ \ \ \frac{1}{2}x(x-1)=15$
解析
【分析】
这是典型的单循环握手类问题，解题思路如下：首先，每个人不会和自己握手，因此单人的握手次数为总人数减1；若直接将所有人的握手次数相加，每一次握手会被握手的双方各统计1次，也就是总计数是实际握手次数的2倍，需要除以2修正重复计数的问题；最后结合题干给出的总握手次数，列出对应的方程即可。
【解析】
设有x个人参加聚会：
1. 第1个人不能和自己握手，所以要和剩余的$(x-1)$个人握手，第一个空填$(x-1)$；
2. 第2个人同样不会和自己握手，不考虑重复统计的前提下，也需要和除自己外的$(x-1)$个人握手，第二个空填$(x-1)$；
3. 依此类推，x个人的握手次数累加后总计数为$x(x-1)$次，第三个空填$x(x-1)$；
4. 由于每两人之间的握手被重复统计了2次，因此实际握手次数为总计数的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$次，第四个空填$\frac{1}{2}x(x-1)$；
5. 已知所有人共握手15次，因此可列方程$\frac{1}{2}x(x-1)=15$，第五个空填$\frac{1}{2}x(x-1)=15$。
【答案】
$(x-1)\ \ \ (x-1)\ \ \ x(x-1)\ \ \ \frac{1}{2}x(x-1)\ \ \ \frac{1}{2}x(x-1)=15$
【知识点】
单循环问题、一元二次方程应用、重复计数修正
【点评】
本题是单循环类实际应用的基础题型，核心考点是理解直接累加单人计数会产生重复统计的问题，修正重复部分后即可得到正确等量关系列方程，掌握该逻辑可轻松解决比赛场次、互通电话等同类型问题。
【难度系数】
0.8
这是典型的单循环握手类问题，解题思路如下：首先，每个人不会和自己握手，因此单人的握手次数为总人数减1；若直接将所有人的握手次数相加，每一次握手会被握手的双方各统计1次，也就是总计数是实际握手次数的2倍，需要除以2修正重复计数的问题；最后结合题干给出的总握手次数，列出对应的方程即可。
【解析】
设有x个人参加聚会：
1. 第1个人不能和自己握手，所以要和剩余的$(x-1)$个人握手，第一个空填$(x-1)$；
2. 第2个人同样不会和自己握手，不考虑重复统计的前提下，也需要和除自己外的$(x-1)$个人握手，第二个空填$(x-1)$；
3. 依此类推，x个人的握手次数累加后总计数为$x(x-1)$次，第三个空填$x(x-1)$；
4. 由于每两人之间的握手被重复统计了2次，因此实际握手次数为总计数的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$次，第四个空填$\frac{1}{2}x(x-1)$；
5. 已知所有人共握手15次，因此可列方程$\frac{1}{2}x(x-1)=15$，第五个空填$\frac{1}{2}x(x-1)=15$。
【答案】
$(x-1)\ \ \ (x-1)\ \ \ x(x-1)\ \ \ \frac{1}{2}x(x-1)\ \ \ \frac{1}{2}x(x-1)=15$
【知识点】
单循环问题、一元二次方程应用、重复计数修正
【点评】
本题是单循环类实际应用的基础题型，核心考点是理解直接累加单人计数会产生重复统计的问题，修正重复部分后即可得到正确等量关系列方程，掌握该逻辑可轻松解决比赛场次、互通电话等同类型问题。
【难度系数】
0.8
2. 某次女子冰壶比赛有若干支队伍参赛，采用单循环赛制，共进行了36场比赛，设有x支队伍参赛，则可列方程为 (
A.$x(x-1)=36$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
D.$x(x+1)=36$
B
)A.$x(x-1)=36$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
D.$x(x+1)=36$
答案
2. B
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的规则：每两支队伍之间只进行1场比赛。解题时先分析单支队伍的比赛场次，再考虑场次重复统计的问题，最终结合总比赛场数列方程。第一步，每支队伍要和除自身外的其他所有队伍比赛，因此单支队伍比赛场次为$(x-1)$场；第二步，$x$支队伍如果直接将单支队伍场次相加，每场比赛会被两支队伍各统计1次，存在重复计数，因此实际总场次要除以2；第三步，结合已知总场次为36，即可列出对应方程，匹配选项即可。
【解析】
单循环赛制的含义是每两支参赛队伍之间仅进行1场比赛：
1. 每支队伍需要和其余$(x-1)$支队伍各赛1场，若不考虑重复，$x$支队伍的总计数场次为$x(x-1)$场；
2. 由于每场比赛会被两支参赛队伍各统计1次，因此实际总比赛场次为总计数场次的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 已知共进行36场比赛，因此可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=36$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单循环问题 2. 一元二次方程应用
【点评】
本题是比赛类问题的基础题型，解题核心是准确理解单循环赛制的规则，注意避免重复计算比赛场次。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环赛制的规则：每两支队伍之间只进行1场比赛。解题时先分析单支队伍的比赛场次，再考虑场次重复统计的问题，最终结合总比赛场数列方程。第一步，每支队伍要和除自身外的其他所有队伍比赛，因此单支队伍比赛场次为$(x-1)$场；第二步，$x$支队伍如果直接将单支队伍场次相加，每场比赛会被两支队伍各统计1次，存在重复计数，因此实际总场次要除以2；第三步，结合已知总场次为36，即可列出对应方程，匹配选项即可。
【解析】
单循环赛制的含义是每两支参赛队伍之间仅进行1场比赛：
1. 每支队伍需要和其余$(x-1)$支队伍各赛1场，若不考虑重复，$x$支队伍的总计数场次为$x(x-1)$场；
2. 由于每场比赛会被两支参赛队伍各统计1次，因此实际总比赛场次为总计数场次的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 已知共进行36场比赛，因此可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=36$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单循环问题 2. 一元二次方程应用
【点评】
本题是比赛类问题的基础题型，解题核心是准确理解单循环赛制的规则，注意避免重复计算比赛场次。
【难度系数】
0.7
3. 在某个商品交易会上,参会的每两家公司之间都只签订了一份合同,所有公司共签订55份合同,则参加交易会的公司有多少家？
答案
3. 设参加交易会的公司有x家,依题意,得
$\frac{1}{2}x(x-1)=55.$
整理,得$x^2-x-110=0.$
解得$x_1=11,x_2=-10$(不符合题意,舍去).
答:参加交易会的公司有11家.
$\frac{1}{2}x(x-1)=55.$
整理,得$x^2-x-110=0.$
解得$x_1=11,x_2=-10$(不符合题意,舍去).
答:参加交易会的公司有11家.
解析
【分析】
这是典型的单循环类实际应用问题，解题思路如下：①明确计数规则：每两家公司仅签1份合同，即任意两家公司的合作仅计数1次；②设公司数量为x，每家公司要和其余(x-1)家公司签合同，若直接计算x(x-1)会把每份合同重复计算2次，因此总合同数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$；③根据总合同数为55的等量关系列一元二次方程；④解方程后，结合公司数量为正整数的实际意义舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
设参加交易会的公司有x家，依题意，得
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理，得$x^2 - x - 110 = 0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）。
答：参加交易会的公司有11家。
【答案】
11家
【知识点】
一元二次方程应用；单循环计数；一元二次方程求解
【点评】
本题是常见的一元二次方程实际应用题，解题的核心是理解单循环计数的逻辑，避免重复计算，同时要注意结合实际问题的取值范围，对求解出的方程根进行筛选。
【难度系数】
0.7
这是典型的单循环类实际应用问题，解题思路如下：①明确计数规则：每两家公司仅签1份合同，即任意两家公司的合作仅计数1次；②设公司数量为x，每家公司要和其余(x-1)家公司签合同，若直接计算x(x-1)会把每份合同重复计算2次，因此总合同数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$；③根据总合同数为55的等量关系列一元二次方程；④解方程后，结合公司数量为正整数的实际意义舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
设参加交易会的公司有x家，依题意，得
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理，得$x^2 - x - 110 = 0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）。
答：参加交易会的公司有11家。
【答案】
11家
【知识点】
一元二次方程应用；单循环计数；一元二次方程求解
【点评】
本题是常见的一元二次方程实际应用题，解题的核心是理解单循环计数的逻辑，避免重复计算，同时要注意结合实际问题的取值范围，对求解出的方程根进行筛选。
【难度系数】
0.7
