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1.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限内的图象与一次函数$y=-x+b$的图象如图所示，则函数$y=x^2 -bx +k -1$的图象可能为(
A
B
C
D
A
)A
B
C
D
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先联立反比例函数与一次函数的解析式，得到一元二次方程，结合两函数在第一象限有两个交点的特征，推导得出b、k的取值关系与判别式关系；再根据二次函数的性质，从开口方向、对称轴位置、与x轴交点个数、根的正负这几个维度逐一分析目标二次函数的图象特征，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 联立反比例函数$y=\frac{k}{x}$和一次函数$y=-x+b$的解析式：
令$\frac{k}{x}=-x+b$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2 -bx +k=0$。
∵两函数在第一象限有两个不同交点，
∴该方程有两个不相等的正实数根，根据一元二次方程的性质可得：
判别式$\Delta = b^2 -4k＞0$，两根之和$b＞0$，两根之积$k＞0$。
2. 分析二次函数$y=x^2 -bx +k -1$的图象特征：
① 二次项系数为$1＞0$，因此图象开口向上，可排除开口向下的选项；
② 对称轴为$x=\frac{b}{2}＞0$，因此对称轴在y轴右侧，可排除对称轴在y轴左侧的选项；
③ 该二次函数对应一元二次方程的判别式$\Delta' = (-b)^2 -4×1×(k-1)=b^2-4k +4$，结合$b^2-4k＞0$可得$\Delta'＞4＞0$，因此图象与x轴有两个不同的交点；
④ 令$y=0$得方程$x^2 -bx +k-1=0$，两根之和为$b＞0$，结合原方程的根均为正，可知该方程的两个根也均为正，即图象与x轴的两个交点都在x轴正半轴。
综上，只有选项A符合上述特征。
【答案】
A
【知识点】
函数交点问题，二次函数图象性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的函数图象综合题，将三类函数的图象性质与一元二次方程的知识相结合，核心突破口是通过已知的两个函数交点推导参数的关系，进而分析目标函数的图象特征，能有效考查对函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先联立反比例函数与一次函数的解析式，得到一元二次方程，结合两函数在第一象限有两个交点的特征，推导得出b、k的取值关系与判别式关系；再根据二次函数的性质，从开口方向、对称轴位置、与x轴交点个数、根的正负这几个维度逐一分析目标二次函数的图象特征，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 联立反比例函数$y=\frac{k}{x}$和一次函数$y=-x+b$的解析式：
令$\frac{k}{x}=-x+b$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2 -bx +k=0$。
∵两函数在第一象限有两个不同交点，
∴该方程有两个不相等的正实数根，根据一元二次方程的性质可得：
判别式$\Delta = b^2 -4k＞0$，两根之和$b＞0$，两根之积$k＞0$。
2. 分析二次函数$y=x^2 -bx +k -1$的图象特征：
① 二次项系数为$1＞0$，因此图象开口向上，可排除开口向下的选项；
② 对称轴为$x=\frac{b}{2}＞0$，因此对称轴在y轴右侧，可排除对称轴在y轴左侧的选项；
③ 该二次函数对应一元二次方程的判别式$\Delta' = (-b)^2 -4×1×(k-1)=b^2-4k +4$，结合$b^2-4k＞0$可得$\Delta'＞4＞0$，因此图象与x轴有两个不同的交点；
④ 令$y=0$得方程$x^2 -bx +k-1=0$，两根之和为$b＞0$，结合原方程的根均为正，可知该方程的两个根也均为正，即图象与x轴的两个交点都在x轴正半轴。
综上，只有选项A符合上述特征。
【答案】
A
【知识点】
函数交点问题，二次函数图象性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是典型的函数图象综合题，将三类函数的图象性质与一元二次方程的知识相结合，核心突破口是通过已知的两个函数交点推导参数的关系，进而分析目标函数的图象特征，能有效考查对函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2.二次函数$y=ax^2 + c$与反比例函数$y=\frac{ac}{x}$（$ac≠0$）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
D
）答案
2.D
解析
【分析】
解决这类同一坐标系下多函数图象判断的问题，采用“逐个验证法”：先根据二次函数$y=ax^2+c$的图象特征推导a、c的符号，计算出$ac$的符号后，再验证反比例函数$y=\frac{ac}{x}$的图象所在象限是否与$ac$的符号匹配，排除矛盾的选项即可得到正确答案。其中：二次函数开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；二次函数与y轴交点在正半轴则$c＞0$，在负半轴则$c＜0$；反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k＞0$时图象在一、三象限，$k＜0$时图象在二、四象限。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：二次函数开口向上，得$a＞0$；与y轴交于负半轴，得$c＜0$，因此$ac＜0$，反比例函数图象应在二、四象限，但选项中反比例函数在一、三象限，矛盾，排除A。
选项B：二次函数开口向下，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，因此$ac＜0$，反比例函数图象应在二、四象限，但选项中反比例函数在一、三象限，矛盾，排除B。
选项C：二次函数开口向上，得$a＞0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，因此$ac＞0$，反比例函数图象应在一、三象限，但选项中反比例函数在二、四象限，矛盾，排除C。
选项D：二次函数开口向下，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，因此$ac＜0$，反比例函数图象在二、四象限，两者匹配，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；反比例函数图象性质；符号推理判断
【点评】
本题是函数图象类基础题型，核心考查函数系数与图象特征的对应关系，解题时要注意两个函数的公共系数符号保持一致，用排除法可快速得到结果，能有效训练学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这类同一坐标系下多函数图象判断的问题，采用“逐个验证法”：先根据二次函数$y=ax^2+c$的图象特征推导a、c的符号，计算出$ac$的符号后，再验证反比例函数$y=\frac{ac}{x}$的图象所在象限是否与$ac$的符号匹配，排除矛盾的选项即可得到正确答案。其中：二次函数开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$；二次函数与y轴交点在正半轴则$c＞0$，在负半轴则$c＜0$；反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k＞0$时图象在一、三象限，$k＜0$时图象在二、四象限。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：二次函数开口向上，得$a＞0$；与y轴交于负半轴，得$c＜0$，因此$ac＜0$，反比例函数图象应在二、四象限，但选项中反比例函数在一、三象限，矛盾，排除A。
选项B：二次函数开口向下，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，因此$ac＜0$，反比例函数图象应在二、四象限，但选项中反比例函数在一、三象限，矛盾，排除B。
选项C：二次函数开口向上，得$a＞0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，因此$ac＞0$，反比例函数图象应在一、三象限，但选项中反比例函数在二、四象限，矛盾，排除C。
选项D：二次函数开口向下，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，因此$ac＜0$，反比例函数图象在二、四象限，两者匹配，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；反比例函数图象性质；符号推理判断
【点评】
本题是函数图象类基础题型，核心考查函数系数与图象特征的对应关系，解题时要注意两个函数的公共系数符号保持一致，用排除法可快速得到结果，能有效训练学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
3. [2026六安期末]如图,一个边长为2的菱形$ABCD$,$∠ DAB = 60°$,过点$A$作直线$l ⊥ AB$,将直线$l$沿线段$AB$向右平移,直至$l$经过点$C$时停止.在平移的过程中,若菱形在直线$l$左边的部分面积为$y$,则$y$与直线$l$平移的距离$x$之间的函数图象大致为 (
A
)答案
3.A
解析
【分析】
解决本题需分阶段分析直线l平移过程中菱形左侧部分的图形形状，再结合不同图形的面积公式判断函数类型及图象趋势：首先根据菱形的边长和内角算出各关键点的水平位置，确定分段讨论的x的取值范围；再分别求出各段的面积函数表达式，根据一次函数、二次函数的图象特征匹配选项即可。
【解析】
已知菱形ABCD边长为2，∠DAB=60°，则：
菱形的高为$2×\sin60°=\sqrt{3}$，菱形总面积为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；
点D到点A的水平距离为$2×\cos60°=1$，点C到点A的水平距离为$2+2×\cos60°=3$，因此平移过程分3个阶段：
1. 当$0≤ x≤1$时，直线l左侧为直角三角形，两条直角边分别为$x$和$\sqrt{3}x$，因此面积$y=\frac{1}{2}× x×\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$，属于开口向上的二次函数，图象为曲线，y随x增大增长速度越来越快；
2. 当$1＜x≤2$时，直线l左侧为直角梯形，面积$y=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}(x-1)=\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}$，属于一次函数，图象为倾斜直线，增长速度不变；
3. 当$2＜x≤3$时，直线l右侧为直角三角形，两条直角边为$3-x$和$\sqrt{3}(3-x)$，因此左侧面积$y=2\sqrt{3}-\frac{1}{2}×(3-x)×\sqrt{3}(3-x)=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}(3-x)^2$，属于开口向下的二次函数，图象为曲线，y随x增大增长速度越来越慢。
综上，只有选项A的图象符合上述特征。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，分段函数，二次函数图象
【点评】
本题属于动态几何与函数图象结合的典型题型，解题核心是合理分段，结合几何图形的面积公式得到不同阶段的函数解析式，再根据函数性质判断图象走势，要注意区分线性增长和非线性增长的图象差异。
【难度系数】
0.6
解决本题需分阶段分析直线l平移过程中菱形左侧部分的图形形状，再结合不同图形的面积公式判断函数类型及图象趋势：首先根据菱形的边长和内角算出各关键点的水平位置，确定分段讨论的x的取值范围；再分别求出各段的面积函数表达式，根据一次函数、二次函数的图象特征匹配选项即可。
【解析】
已知菱形ABCD边长为2，∠DAB=60°，则：
菱形的高为$2×\sin60°=\sqrt{3}$，菱形总面积为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；
点D到点A的水平距离为$2×\cos60°=1$，点C到点A的水平距离为$2+2×\cos60°=3$，因此平移过程分3个阶段：
1. 当$0≤ x≤1$时，直线l左侧为直角三角形，两条直角边分别为$x$和$\sqrt{3}x$，因此面积$y=\frac{1}{2}× x×\sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$，属于开口向上的二次函数，图象为曲线，y随x增大增长速度越来越快；
2. 当$1＜x≤2$时，直线l左侧为直角梯形，面积$y=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}(x-1)=\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}$，属于一次函数，图象为倾斜直线，增长速度不变；
3. 当$2＜x≤3$时，直线l右侧为直角三角形，两条直角边为$3-x$和$\sqrt{3}(3-x)$，因此左侧面积$y=2\sqrt{3}-\frac{1}{2}×(3-x)×\sqrt{3}(3-x)=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}(3-x)^2$，属于开口向下的二次函数，图象为曲线，y随x增大增长速度越来越慢。
综上，只有选项A的图象符合上述特征。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，分段函数，二次函数图象
【点评】
本题属于动态几何与函数图象结合的典型题型，解题核心是合理分段，结合几何图形的面积公式得到不同阶段的函数解析式，再根据函数性质判断图象走势，要注意区分线性增长和非线性增长的图象差异。
【难度系数】
0.6
4.如图，O为正方形ABCD的对角线的交点，E，F分别为BC，CD的中点，AB＝4，点P从点A出发沿A→B→E方向匀速运动，同时点Q从点D出发沿D→F→O→E方向匀速运动，两点运动速度相等，当点P运动到点E时，两点同时停止运动。设点P运动的路程为x，$△ APQ$的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（
B
）答案
4.B
解析
【分析】
这是动态几何与函数图象结合的题型，解题核心是根据点的运动路径确定分段讨论的分界点，再分别计算各段内△APQ的面积，得到对应函数解析式，最后根据函数类型、增减性判断图象。首先明确P、Q运动速度相等（运动路程均为x），先确定各分段节点：①Q在DF上，对应$0≤ x≤2$；②Q在FO上，对应$2＜x≤4$；③Q在OE上，对应$4＜x≤6$，分三段分别求面积函数即可。
【解析】
建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,4)$，$D(0,4)$，则正方形对角线交点$O(2,2)$，BC中点$E(4,2)$，CD中点$F(2,4)$，分三段讨论：
1. 当$0 ≤ x ≤ 2$时：
P在AB上，坐标为$(x,0)$；Q在DF上，坐标为$(x,4)$。
△APQ的底$AP=x$，高为Q点纵坐标4，因此面积：
$y=\frac{1}{2} × x × 4 = 2x$，为斜率为正的递增直线。
2. 当$2 ＜ x ≤ 4$时：
P仍在AB上，坐标为$(x,0)$；Q在FO上，FO段运动路程为$x-2$，Q点坐标为$(2,6-x)$。
△APQ的底$AP=x$，高为Q点纵坐标$6-x$，因此面积：
$y=\frac{1}{2} × x × (6-x) = -\frac{1}{2}x^2 +3x$，为开口向下的二次函数，对称轴为$x=3$，此区间内函数先增后减。
3. 当$4 ＜ x ≤ 6$时：
P在BE上，BE段运动路程为$x-4$，P点坐标为$(4,x-4)$；Q在OE上，OE段运动路程为$x-4$，Q点坐标为$(x-2,2)$。
代入三角形坐标面积公式得：
$y=\frac{1}{2} × |4 × 2 - (x-4)(x-2)| = -\frac{1}{2}x^2 +3x$，为开口向下的二次函数，在对称轴$x=3$右侧，函数单调递减，且$x=6$时$y=0$。
综上三段函数图象特征，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
动态几何函数图象，分段函数，三角形面积计算
【点评】
本题解题关键是准确找到运动过程的分段节点，通过建立坐标系简化各点坐标的表示，再结合函数性质判断图象，需注意二次函数的增减性由对称轴和开口方向决定。
【难度系数】
0.6
这是动态几何与函数图象结合的题型，解题核心是根据点的运动路径确定分段讨论的分界点，再分别计算各段内△APQ的面积，得到对应函数解析式，最后根据函数类型、增减性判断图象。首先明确P、Q运动速度相等（运动路程均为x），先确定各分段节点：①Q在DF上，对应$0≤ x≤2$；②Q在FO上，对应$2＜x≤4$；③Q在OE上，对应$4＜x≤6$，分三段分别求面积函数即可。
【解析】
建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,4)$，$D(0,4)$，则正方形对角线交点$O(2,2)$，BC中点$E(4,2)$，CD中点$F(2,4)$，分三段讨论：
1. 当$0 ≤ x ≤ 2$时：
P在AB上，坐标为$(x,0)$；Q在DF上，坐标为$(x,4)$。
△APQ的底$AP=x$，高为Q点纵坐标4，因此面积：
$y=\frac{1}{2} × x × 4 = 2x$，为斜率为正的递增直线。
2. 当$2 ＜ x ≤ 4$时：
P仍在AB上，坐标为$(x,0)$；Q在FO上，FO段运动路程为$x-2$，Q点坐标为$(2,6-x)$。
△APQ的底$AP=x$，高为Q点纵坐标$6-x$，因此面积：
$y=\frac{1}{2} × x × (6-x) = -\frac{1}{2}x^2 +3x$，为开口向下的二次函数，对称轴为$x=3$，此区间内函数先增后减。
3. 当$4 ＜ x ≤ 6$时：
P在BE上，BE段运动路程为$x-4$，P点坐标为$(4,x-4)$；Q在OE上，OE段运动路程为$x-4$，Q点坐标为$(x-2,2)$。
代入三角形坐标面积公式得：
$y=\frac{1}{2} × |4 × 2 - (x-4)(x-2)| = -\frac{1}{2}x^2 +3x$，为开口向下的二次函数，在对称轴$x=3$右侧，函数单调递减，且$x=6$时$y=0$。
综上三段函数图象特征，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
动态几何函数图象，分段函数，三角形面积计算
【点评】
本题解题关键是准确找到运动过程的分段节点，通过建立坐标系简化各点坐标的表示，再结合函数性质判断图象，需注意二次函数的增减性由对称轴和开口方向决定。
【难度系数】
0.6
5.如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合。现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动。在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（
A
）答案
5.A
解析
【分析】解决本题需将三角形移动的全过程分为两个阶段分析：第一阶段为点C从与E重合到与F重合（移动距离$0≤ x≤2$），第二阶段为点C越过F后直到点B与F重合（移动距离$2＜x≤4$）。两个阶段的重叠部分均为等边三角形，分别推导两个阶段$y$与$x$的函数关系式，再结合函数性质判断对应图象即可。
【解析】解：分两种情况讨论重叠部分面积：
1. 当$0≤ x≤2$时，重叠部分是边长为$x$的等边三角形，根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），可得：
$y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$
该段是开口向上的抛物线的一部分，$y$随$x$增大而增大，当$x=2$时，$y$取最大值$\sqrt{3}$。
2. 当$2＜x≤4$时，重叠部分是边长为$4-x$的等边三角形，同理可得：
$y=\frac{\sqrt{3}}{4}(4-x)^2$
该段是开口向上的抛物线的一部分，$y$随$x$增大而减小，当$x=4$时，$y=0$。
综上，函数图象先为上升的抛物线段，后为下降的抛物线段，对应选项A。
【答案】A
【知识点】动点函数图象；等边三角形性质；二次函数图象
【点评】本题核心是分阶段确定重叠图形的形状，结合几何图形面积公式得到函数解析式，再根据解析式匹配图象，需要具备一定的动态分析能力。
【难度系数】0.65
【解析】解：分两种情况讨论重叠部分面积：
1. 当$0≤ x≤2$时，重叠部分是边长为$x$的等边三角形，根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），可得：
$y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$
该段是开口向上的抛物线的一部分，$y$随$x$增大而增大，当$x=2$时，$y$取最大值$\sqrt{3}$。
2. 当$2＜x≤4$时，重叠部分是边长为$4-x$的等边三角形，同理可得：
$y=\frac{\sqrt{3}}{4}(4-x)^2$
该段是开口向上的抛物线的一部分，$y$随$x$增大而减小，当$x=4$时，$y=0$。
综上，函数图象先为上升的抛物线段，后为下降的抛物线段，对应选项A。
【答案】A
【知识点】动点函数图象；等边三角形性质；二次函数图象
【点评】本题核心是分阶段确定重叠图形的形状，结合几何图形面积公式得到函数解析式，再根据解析式匹配图象，需要具备一定的动态分析能力。
【难度系数】0.65
