1.通过观察、归纳，在横线上分别写出下面每一列数中的后两项.
(1)2,4,6,8,10,12,,;
(2)1,2,4,8,16,32,,;
(3)1,-2,3,-4,5,-6,,;
(4)1,4,9,16,25,36,,;

(5)2,5,10,17,26,37,,.

(1)14;16 (2)64;128 (3)7;-8 (4)49;64 (5)50;65

【分析】
解决数列找规律问题，首先观察数列的变化特征：可先计算相邻两项的差、商，判断是否存在固定的运算关系；也可对比每一项和它的序号（第1项、第2项……第n项）的对应关系，同时注意是否存在符号交替变化的规律，总结出通用规律后即可推导后续的项。
【解析】
(1) 观察数列可知，每一项比前一项大2，均为连续偶数，因此第7项为12+2=14，第8项为14+2=16；
(2) 观察数列可知，后一项是前一项的2倍，因此第7项为32×2=64，第8项为64×2=128；
(3) 观察数列可知，数字部分为连续正整数，符号规律为奇数项为正、偶数项为负，因此第7项为7，第8项为-8；
(4) 观察数列可知，第n项为n的平方：1=1²，4=2²，9=3²……，因此第7项为7²=49，第8项为8²=64；
(5) 观察数列可知，第n项为n的平方加1：2=1²+1，5=2²+1，10=3²+1……，因此第7项为7²+1=50，第8项为8²+1=65。
【答案】
(1)14;16 (2)64;128 (3)7;-8 (4)49;64 (5)50;65
【知识点】
数字规律探究，有理数运算，代数式规律
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，解题核心是通过观察总结项与项、项与序号之间的运算关系，熟练掌握此类题型可有效提升逻辑观察能力，为复杂规律探究问题的学习打下基础。
【难度系数】
0.8

【变式1·一般化】已知一列数：1，$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{9}$，$\frac{7}{16}$，$\frac{9}{25}$，…，用式子表示第n个数，则第n个数是。

$\frac{2n-1}{n^2}$

【分析】
遇到分数型数列找规律的题目，通常采用分子分母拆分分析的思路：第一步先给每个数标注对应序号n（第1个数对应n=1，第2个数对应n=2，以此类推）；第二步分别找分子、分母和序号n的对应关系：先看分子，给出的分子1、3、5、7、9是连续奇数，第n个奇数的通用表示为2n-1，代入序号验证完全匹配；再看分母，给出的分母1、4、9、16、25是对应序号的平方，通用表示为n²，代入序号验证也完全匹配；最后将分子分母的表达式组合即可得到第n个数的式子。
【解析】
我们将各数与序号n一一对应分析：
当n=1时，第1个数：$1=\frac{2×1-1}{1^2}$
当n=2时，第2个数：$\frac{3}{4}=\frac{2×2-1}{2^2}$
当n=3时，第3个数：$\frac{5}{9}=\frac{2×3-1}{3^2}$
当n=4时，第4个数：$\frac{7}{16}=\frac{2×4-1}{4^2}$
当n=5时，第5个数：$\frac{9}{25}=\frac{2×5-1}{5^2}$
观察可得，分子为序号的2倍减1，分母为序号的平方，因此第n个数为$\frac{2n-1}{n^2}$。
【答案】
$\frac{2n-1}{n^2}$
【知识点】
数列规律探究、奇数的表示、乘方的意义
【点评】
本题是分式类数列规律探究的基础题型，解题核心是将分子、分母拆分后分别寻找与序号的对应关系，掌握拆分分析的方法后可以快速解决同类规律题。
【难度系数】
0.7

【变式2·实践应用】如图，这是一只手的示意图，在相邻的手指间标记字母A,B,C,D.请按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方向)从A开始数连续的正整数1,2,3,4,5,…,请你寻找规律,指出当字母B第2 031次出现时,恰好数到的数为()

A.6 080
B.6 082
C.6 084
D.6 092

D

【分析】
解决本题首先要观察字母的排列顺序，找到循环周期：先列出前几个数对应的字母，可发现每6个字母为一个循环，每个循环内B会出现2次。接下来先计算出现2030次B需要多少个完整周期，得到对应数之后，再按顺序往后数找到第2031次B对应的数即可。
【解析】
观察字母排列规律：数1对应A，2对应B，3对应C，4对应D，5对应C，6对应B，7对应A，8对应B……，可知每6个数为一个循环周期，周期内字母顺序为：A、B、C、D、C、B，每个周期中字母B出现2次。
第2030次出现B时，刚好经过完整周期的个数为：$2030÷2=1015$（个）
1015个完整周期对应的数为：$1015×6=6090$，此时数到6090，正好是第2030次出现B。
按顺序继续数：6091对应A，6092对应B，即第2031次出现B时，数到的数是6092。
【答案】
D
【知识点】
周期规律探究，整数四则运算
【点评】
本题是规律探究类的常考题型，核心是通过观察归纳出周期特征，再结合所求的出现次数定位对应数值，主要考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.65

2.观察下列三行数：
-3,9,-27,81,…;①
1,-3,9,-27,…;②
-2,10,-26,82,….③
(1)第①②③行的第5个数分别为，，.
(2)第①行中的数可以看成按什么规律得到的？
(3)第②③行的数与第①行的数之间分别有什么关系？
(4)设x,y,z分别为第①②③行的第2030个数,求x+6y+z的值.

解：(1)-243;81;-242
(2)后面一个数是由与它相邻的前面一个数乘-3得到的.
(3)第②行的每一个数是由第①行相应的数除以-3得到的，第③行的每一个数是由第①行相应的数加1得到的.
(4)因为x,y,z分别为第①②③行的第2 030个数，
所以由规律可得 $y=\frac{x}{-3}=-\frac{1}{3}x$,$z=x+1$,
所以 $x+6y+z=x+6×(-\frac{1}{3}x)+x+1=x-2x+x+1=1$.

【分析】
1. 解决第(1)问：先观察第①行已知数的特征，发现后一个数是前一个数乘-3，据此算出第①行第5个数；再对比第②、③行和第①行对应位置的数，找到两行数的关联，分别算出第②、③行的第5个数。
2. 解决第(2)问：观察第①行相邻两个数的运算关系，即可总结出规律。
3. 解决第(3)问：将第②、③行每个位置的数和第①行同位置的数做运算对比，就能找到两行数和第①行的关系。
4. 解决第(4)问：根据第(3)问得到的关系，用第①行的第2030个数x表示出y和z，再代入x+6y+z的代数式化简，无需计算高次幂就能得到结果。
【解析】
(1) 第①行的数依次为$-3,(-3)×(-3)=9,9×(-3)=-27,-27×(-3)=81$，因此第5个数为$81×(-3)=-243$；
第②行对应位置的数是第①行的数除以-3，因此第5个数为$-243÷(-3)=81$；
第③行对应位置的数是第①行的数加1，因此第5个数为$-243+1=-242$。
(2) 观察第①行相邻数：$9÷(-3)=-3,-27÷9=-3,81÷(-27)=-3$，可得规律：后面一个数是由与它相邻的前面一个数乘-3得到的。
(3) 对比每行对应位置的数：$1=-3÷(-3),-3=9÷(-3)\dots$，因此第②行的每一个数是由第①行相应的数除以-3得到的；$-2=-3+1,10=9+1\dots$，因此第③行的每一个数是由第①行相应的数加1得到的。
(4) 因为x,y,z分别为第①②③行的第2030个数，根据上述规律可得：$y=\frac{x}{-3}=-\frac{1}{3}x$，$z=x+1$。
代入代数式计算：
$x+6y+z=x+6×(-\frac{1}{3}x)+x+1=x-2x+x+1=1$
【答案】
(1) -243；81；-242
(2) 后面一个数是由与它相邻的前面一个数乘-3得到的。
(3) 第②行的每一个数是由第①行相应的数除以-3得到的，第③行的每一个数是由第①行相应的数加1得到的。
(4) 1
【知识点】
数字规律探究，代数式化简，有理数乘方
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，侧重考查观察归纳能力与代数式运算能力，解题核心是先找到单个数列的变化规律，再梳理不同数列间的数量关系，最后一问通过代换化简避免高次幂计算，体现了整体代入的思想。
【难度系数】
0.7

3.如图，这是由一些火柴搭成的“美”字的图案.图①中用了9根火柴，图②中用了17根火柴，图③中用了25根火柴……按照此规律，图ⓝ中用了根火柴(用含n的代数式表示).

$8n+1$

【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：首先整理已知的前3个“美”字图案对应的火柴数量：图①9根、图②17根、图③25根。接下来观察相邻两个图案的火柴数量差，发现17-9=8，25-17=8，也就是每往后一个图案，火柴数量固定增加8根。接下来推导图ⓝ的火柴数：第1个图案有9根，第n个图案比第1个多了(n-1)个8根，因此总数为9 + 8(n-1)，化简后得到表达式，最后代入n=1、n=2、n=3验证，结果符合已知条件即可确认规律正确。
【解析】
解：观察已知图案的火柴数量：
当n=1时，火柴根数为9 = 8×1 + 1；
当n=2时，火柴根数为17 = 8×2 + 1；
当n=3时，火柴根数为25 = 8×3 + 1；
可以发现，每增加1个图案，火柴数量固定增加8根，
因此图ⓝ的火柴根数为$8n+1$。
【答案】
$8n+1$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、整式化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察相邻图形的数量变化找到固定差值，再结合初始图形的数量推导通用表达式，最后代入前几个数值验证可有效避免出错，能较好地锻炼学生的观察与归纳能力。
【难度系数】
0.7

4.将长为40 cm、宽为15 cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽度为5 cm，则n张白纸黏合的总长度为cm.

$35n+5$

【分析】
解题时可从两个思路入手：一是通过少量纸张黏合的长度找规律，推导n张的总长度；二是先算n张纸不重叠的总长度，再减去黏合重叠部分的总长度。需要明确：n张白纸黏合时，相邻两张间有1个重叠处，总共有$(n-1)$个黏合重叠部分，每个重叠部分宽5cm，结合这个数量关系列式化简即可得到结果。
【解析】
首先计算n张白纸不黏合的总长度为$40n\ \mathrm{cm}$。
n张纸黏合时，共有$(n-1)$个黏合部分，每个黏合部分重叠$5\ \mathrm{cm}$，总共重叠的长度为$5(n-1)\ \mathrm{cm}$。
因此黏合后的总长度 = 不黏合总长度 - 重叠总长度，列式为：
$\begin{aligned}&40n - 5(n-1)\\=&40n - 5n + 5\\=&35n + 5\end{aligned}$
可代入小数值验证：n=1时，总长度为40cm，代入式子得$35×1+5=40$，符合；n=2时，总长度为$40+35=75\ \mathrm{cm}$，代入式子得$35×2+5=75$，符合，推导正确。
【答案】
$35n+5$
【知识点】
代数式规律探究，列代数式，整式化简
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是找准黏合时重叠部分的数量规律：重叠次数 = 纸张数-1，避免将重叠次数错算为纸张数，通过从特殊到一般的推导方法就能快速得到正确规律。
【难度系数】
0.7

5.一张长方形桌子可坐6人，按图中方式将桌子拼在一起.
(1)2张桌子拼在一起可坐8人，4张桌子拼在一起可坐人，n张桌子拼在一起可坐人；
(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按图中方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成张大桌子，共可坐人.

(1)12;$(4+2n)$ (2)8;112

【分析】
这是一道图形类规律探究题，解题思路如下：
(1) 先观察已知的桌子数量与对应可坐人数的关系：1张桌子坐6人，2张桌子坐8人，可发现每增加1张桌子，可坐人数增加2人。据此可先算出4张桌子的可坐人数，再通过归纳推导得到n张桌子对应的可坐人数的代数式。
(2) 先计算40张桌子按每5张拼1张大桌子，可拼成的大桌子数量；再将n=5代入第一问得到的代数式，算出1张大桌子的可坐人数，最后乘大桌子总数得到总可坐人数。
【解析】
解：(1) 由题意可知，每多拼1张桌子，可坐人数增加2人。
3张桌子可坐人数：$8+2=10$（人）
4张桌子可坐人数：$10+2=12$（人）
推导n张桌子的可坐人数：观察规律，1张：$6=4+2×1$，2张：$8=4+2×2$，3张：$10=4+2×3$，因此n张桌子可坐$(4+2n)$人。
(2) 可拼成的大桌子数量：$40÷5=8$（张）
1张由5张小桌子拼成的大桌子可坐人数：把$n=5$代入$4+2n$，得$4+2×5=14$（人）
总可坐人数：$8×14=112$（人）
【答案】
(1)12；$(4+2n)$ (2)8；112
【知识点】
规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于典型的图形规律类应用题，核心是从已知条件中提炼出数量变化的通用规律，再结合代数式的运算即可快速求解，熟练掌握规律探究的常用方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8