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1 公园里有一个半径 10 m 的圆形花坛，花坛的周围修了一条宽 1 m 的鹅卵石小路，小路的面积是多少平方米？
答案
外圆半径：10 + 1 = 11(m)
3.14×(11² - 10²)
= 3.14×(121 - 100)
= 3.14×21
= 65.94(平方米)
答：小路的面积是65.94平方米。
3.14×(11² - 10²)
= 3.14×(121 - 100)
= 3.14×21
= 65.94(平方米)
答：小路的面积是65.94平方米。
解析
【分析】
这道题是求环形小路的面积，首先要明确小路的形状是圆环，圆环的面积计算方法为外圆面积减去内圆面积。其中内圆是半径为10m的圆形花坛，外圆半径等于内圆半径加上小路的宽度1m，找到两个半径后代入圆环面积公式就能算出结果。
【解析】
第一步先计算外圆的半径：
外圆半径 = 花坛半径 + 小路宽度 = $10 + 1 = 11$（m）
根据圆环面积公式$S = π(R^2 - r^2)$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径），代入数值计算：
$3.14×(11^2 - 10^2)$
$= 3.14×(121 - 100)$
$= 3.14×21$
$= 65.94$（平方米）
【答案】
小路的面积是65.94平方米。
【知识点】
圆环面积计算；圆的面积应用
【点评】
本题是几何面积的实际应用类题目，解题核心是先判断所求图形为圆环，再准确找准内外圆的半径，代入对应公式计算即可，注意不要错误用半径差的平方乘π计算，要先计算两个半径的平方再求差。
【难度系数】
0.8
这道题是求环形小路的面积，首先要明确小路的形状是圆环，圆环的面积计算方法为外圆面积减去内圆面积。其中内圆是半径为10m的圆形花坛，外圆半径等于内圆半径加上小路的宽度1m，找到两个半径后代入圆环面积公式就能算出结果。
【解析】
第一步先计算外圆的半径：
外圆半径 = 花坛半径 + 小路宽度 = $10 + 1 = 11$（m）
根据圆环面积公式$S = π(R^2 - r^2)$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径），代入数值计算：
$3.14×(11^2 - 10^2)$
$= 3.14×(121 - 100)$
$= 3.14×21$
$= 65.94$（平方米）
【答案】
小路的面积是65.94平方米。
【知识点】
圆环面积计算；圆的面积应用
【点评】
本题是几何面积的实际应用类题目，解题核心是先判断所求图形为圆环，再准确找准内外圆的半径，代入对应公式计算即可，注意不要错误用半径差的平方乘π计算，要先计算两个半径的平方再求差。
【难度系数】
0.8
2 求下面各图形中涂色部分的面积。
答案
第一个图形涂色面积计算：
$3.14×[(10+6)÷2]^2 - 3.14×(10÷2)^2 - 3.14×(6÷2)^2$
$=3.14×64 - 3.14×25 - 3.14×9$
$=94.2\ (\mathrm{cm}^2)$
第二个图形涂色面积计算：
半径：$16÷2=8\ (\mathrm{cm})$
$\frac{1}{4}×3.14×8^2 - \frac{1}{2}×8×8 + 8×8 - \frac{1}{4}×3.14×8^2$
$=8×8÷2$
$=32\ (\mathrm{cm}^2)$
答：第一个图形涂色部分面积是94.2平方厘米，第二个图形涂色部分面积是32平方厘米。
$3.14×[(10+6)÷2]^2 - 3.14×(10÷2)^2 - 3.14×(6÷2)^2$
$=3.14×64 - 3.14×25 - 3.14×9$
$=94.2\ (\mathrm{cm}^2)$
第二个图形涂色面积计算：
半径：$16÷2=8\ (\mathrm{cm})$
$\frac{1}{4}×3.14×8^2 - \frac{1}{2}×8×8 + 8×8 - \frac{1}{4}×3.14×8^2$
$=8×8÷2$
$=32\ (\mathrm{cm}^2)$
答：第一个图形涂色部分面积是94.2平方厘米，第二个图形涂色部分面积是32平方厘米。
解析
【分析】
第一个图形：涂色部分面积为外部大圆面积减去内部两个小圆的面积。首先确定各圆的直径：大圆直径是两个小圆的直径之和，即10+6=16cm，两个小圆的直径分别是10cm和6cm，分别计算三个圆的面积后，用大圆面积减去两个小圆的面积即可得到涂色面积。
第二个图形：可拆分两部分涂色面积分别计算，左边涂色面积=四分之一圆面积-空白三角形面积，右边涂色面积=正方形面积-四分之一圆面积，两部分相加后两个四分之一圆的面积刚好抵消，最终涂色面积等价于边长为8cm的等腰直角三角形的面积，也可以通过割补法直接观察到两部分涂色可拼接为上述三角形，直接计算三角形面积即可。
【解析】
第一个图形计算：
1. 计算各圆半径：
大圆半径：$(10+6)÷ 2=8(\mathrm{cm})$
直径10cm的小圆半径：$10÷ 2=5(\mathrm{cm})$
直径6cm的小圆半径：$6÷ 2=3(\mathrm{cm})$
2. 计算涂色面积：
$\begin{split}\mathrm{涂色面积}&=3.14× 8^2 - 3.14×5^2 - 3.14×3^2\\&=3.14×64 - 3.14×25 - 3.14×9\\&=3.14×(64-25-9)\\&=3.14×30\\&=94.2(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
第二个图形计算：
1. 计算半圆半径：$16÷ 2=8(\mathrm{cm})$，即正方形边长为8cm。
2. 计算涂色面积：
$\begin{split}\mathrm{涂色面积}&=(\frac{1}{4}×3.14×8^2 - \frac{1}{2}×8×8)+(8×8 - \frac{1}{4}×3.14×8^2)\\&=8×8 - \frac{1}{2}×8×8\\&=32(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
【答案】
第一个图形涂色部分面积是94.2平方厘米，第二个图形涂色部分面积是32平方厘米。
【知识点】
圆的面积计算，组合图形面积求解，割补法巧算面积
【点评】
本题重点考察组合图形的面积计算，解题时可先观察图形构成，灵活选择“整体减空白”“割补拼接”等方法简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.7
第一个图形：涂色部分面积为外部大圆面积减去内部两个小圆的面积。首先确定各圆的直径：大圆直径是两个小圆的直径之和，即10+6=16cm，两个小圆的直径分别是10cm和6cm，分别计算三个圆的面积后，用大圆面积减去两个小圆的面积即可得到涂色面积。
第二个图形：可拆分两部分涂色面积分别计算，左边涂色面积=四分之一圆面积-空白三角形面积，右边涂色面积=正方形面积-四分之一圆面积，两部分相加后两个四分之一圆的面积刚好抵消，最终涂色面积等价于边长为8cm的等腰直角三角形的面积，也可以通过割补法直接观察到两部分涂色可拼接为上述三角形，直接计算三角形面积即可。
【解析】
第一个图形计算：
1. 计算各圆半径：
大圆半径：$(10+6)÷ 2=8(\mathrm{cm})$
直径10cm的小圆半径：$10÷ 2=5(\mathrm{cm})$
直径6cm的小圆半径：$6÷ 2=3(\mathrm{cm})$
2. 计算涂色面积：
$\begin{split}\mathrm{涂色面积}&=3.14× 8^2 - 3.14×5^2 - 3.14×3^2\\&=3.14×64 - 3.14×25 - 3.14×9\\&=3.14×(64-25-9)\\&=3.14×30\\&=94.2(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
第二个图形计算：
1. 计算半圆半径：$16÷ 2=8(\mathrm{cm})$，即正方形边长为8cm。
2. 计算涂色面积：
$\begin{split}\mathrm{涂色面积}&=(\frac{1}{4}×3.14×8^2 - \frac{1}{2}×8×8)+(8×8 - \frac{1}{4}×3.14×8^2)\\&=8×8 - \frac{1}{2}×8×8\\&=32(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
【答案】
第一个图形涂色部分面积是94.2平方厘米，第二个图形涂色部分面积是32平方厘米。
【知识点】
圆的面积计算，组合图形面积求解，割补法巧算面积
【点评】
本题重点考察组合图形的面积计算，解题时可先观察图形构成，灵活选择“整体减空白”“割补拼接”等方法简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.7
安徽是真丝扇发源地，至今已有四百多年历史。右图是一把真丝扇展开以后的近似图，这把真丝扇展开后扇面（涂色部分）的面积是多少平方厘米？
答案
$120°÷360°=\frac{1}{3}$ $8+12=20(\mathrm{cm})$ $3.14×(20^2-8^2)×\frac{1}{3}=351.68(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
首先观察图形可知，涂色扇面是圆心角为120°的扇环，要求它的面积可以按以下思路思考：第一步，先确定该扇环面积占对应完整圆环面积的比例，圆心角120°占周角360°的几分之几，扇环面积就是圆环面积的几分之几；第二步，确定圆环的内、外半径，内半径已知为8cm，外半径等于内半径加12cm；第三步，先根据圆环面积公式算出完整圆环的面积，再乘之前得到的占比，就能求出扇面的面积。
【解析】
首先计算扇环面积占圆环面积的比例：
$120°÷360°=\frac{1}{3}$
再计算扇环的外半径：
$8+12=20(\mathrm{cm})$
根据扇环面积=圆环面积×圆心角占比，代入数值计算：
$3.14×(20^2-8^2)×\frac{1}{3}$
$=3.14×(400-64)×\frac{1}{3}$
$=3.14×336×\frac{1}{3}$
$=3.14×112$
$=351.68(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$351.68$平方厘米
【知识点】
扇环面积计算、圆环面积计算、扇形占比计算
【点评】
本题结合生活中的真丝扇场景考查几何图形面积计算，解题核心是准确识别扇环的内外半径和圆心角占比，熟练运用圆环、扇环的面积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，涂色扇面是圆心角为120°的扇环，要求它的面积可以按以下思路思考：第一步，先确定该扇环面积占对应完整圆环面积的比例，圆心角120°占周角360°的几分之几，扇环面积就是圆环面积的几分之几；第二步，确定圆环的内、外半径，内半径已知为8cm，外半径等于内半径加12cm；第三步，先根据圆环面积公式算出完整圆环的面积，再乘之前得到的占比，就能求出扇面的面积。
【解析】
首先计算扇环面积占圆环面积的比例：
$120°÷360°=\frac{1}{3}$
再计算扇环的外半径：
$8+12=20(\mathrm{cm})$
根据扇环面积=圆环面积×圆心角占比，代入数值计算：
$3.14×(20^2-8^2)×\frac{1}{3}$
$=3.14×(400-64)×\frac{1}{3}$
$=3.14×336×\frac{1}{3}$
$=3.14×112$
$=351.68(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$351.68$平方厘米
【知识点】
扇环面积计算、圆环面积计算、扇形占比计算
【点评】
本题结合生活中的真丝扇场景考查几何图形面积计算，解题核心是准确识别扇环的内外半径和圆心角占比，熟练运用圆环、扇环的面积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
我国古代数学名著《九章算术》方田章中记载了一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步。”意思是：用外圆和内圆的周长的平均数乘圆环的宽度就可以得到环形的面积。
试一试用这种方法求出下面圆环的面积，再检验一下是否正确。
试一试用这种方法求出下面圆环的面积，再检验一下是否正确。
答案
$(3.14×8×2+3.14×5×2)÷2=40.82(\mathrm{cm})$ $8-5=3(\mathrm{cm})$
$40.82×3=122.46(\mathrm{cm}^2)$ 检验:$3.14×(8^2-5^2)=122.46(\mathrm{cm}^2)$
$40.82×3=122.46(\mathrm{cm}^2)$ 检验:$3.14×(8^2-5^2)=122.46(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解题时先明确题目给出的圆环面积计算规则：先求外圆、内圆周长的平均数，再乘圆环的宽度就能得到圆环面积。首先根据已知的外圆半径8cm、内圆半径5cm，分别计算外圆和内圆的周长，再求两个周长的平均数；接着计算圆环的宽度，也就是外半径减内半径的差，将周长平均数和环宽相乘得到面积；最后用常规的“外圆面积减内圆面积”的圆环面积公式检验结果是否一致即可。
【解析】
方法一：用《九章算术》记载的方法计算
1. 先算外圆和内圆的周长：
外圆周长：$3.14×8×2=50.24(\mathrm{cm})$
内圆周长：$3.14×5×2=31.4(\mathrm{cm})$
2. 求内外圆周长的平均数：
$(50.24+31.4)÷2=40.82(\mathrm{cm})$
3. 计算圆环的宽度：
$8-5=3(\mathrm{cm})$
4. 计算圆环面积：
$40.82×3=122.46(\mathrm{cm}^2)$
检验
用常规圆环面积公式计算：
$3.14×(8^2-5^2)=3.14×(64-25)=3.14×39=122.46(\mathrm{cm}^2)$
两种方法结果一致，计算正确。
【答案】
$122.46\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的周长计算，圆环面积计算
【点评】
本题结合传统数学记载的方法考查圆环面积的求解，既拓展了知识视野，也能通过不同方法的对比加深对圆环面积计算逻辑的理解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目给出的圆环面积计算规则：先求外圆、内圆周长的平均数，再乘圆环的宽度就能得到圆环面积。首先根据已知的外圆半径8cm、内圆半径5cm，分别计算外圆和内圆的周长，再求两个周长的平均数；接着计算圆环的宽度，也就是外半径减内半径的差，将周长平均数和环宽相乘得到面积；最后用常规的“外圆面积减内圆面积”的圆环面积公式检验结果是否一致即可。
【解析】
方法一：用《九章算术》记载的方法计算
1. 先算外圆和内圆的周长：
外圆周长：$3.14×8×2=50.24(\mathrm{cm})$
内圆周长：$3.14×5×2=31.4(\mathrm{cm})$
2. 求内外圆周长的平均数：
$(50.24+31.4)÷2=40.82(\mathrm{cm})$
3. 计算圆环的宽度：
$8-5=3(\mathrm{cm})$
4. 计算圆环面积：
$40.82×3=122.46(\mathrm{cm}^2)$
检验
用常规圆环面积公式计算：
$3.14×(8^2-5^2)=3.14×(64-25)=3.14×39=122.46(\mathrm{cm}^2)$
两种方法结果一致，计算正确。
【答案】
$122.46\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的周长计算，圆环面积计算
【点评】
本题结合传统数学记载的方法考查圆环面积的求解，既拓展了知识视野，也能通过不同方法的对比加深对圆环面积计算逻辑的理解。
【难度系数】
0.7
