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12. 细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题.
$( \sqrt { 1 } ) ^ { 2 } + 1 = 2$，$S _ { 1 } = \frac { \sqrt { 1 } } { 2 }$；
$( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 1 = 3$，$S _ { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$；
$( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 1 = 4$，$S _ { 3 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$.
...
(1) 请用含$n$($n$是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2) 推算出$O A _ { 10 }$的长；
(3) 求出$S _ { 1 } ^ { 2 } + S _ { 2 } ^ { 2 } + S _ { 3 } ^ { 2 } + \cdots + S _ { 10 } ^ { 2 }$的值.
$( \sqrt { 1 } ) ^ { 2 } + 1 = 2$，$S _ { 1 } = \frac { \sqrt { 1 } } { 2 }$；
$( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 1 = 3$，$S _ { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$；
$( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 1 = 4$，$S _ { 3 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$.
...
(1) 请用含$n$($n$是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2) 推算出$O A _ { 10 }$的长；
(3) 求出$S _ { 1 } ^ { 2 } + S _ { 2 } ^ { 2 } + S _ { 3 } ^ { 2 } + \cdots + S _ { 10 } ^ { 2 }$的值.
答案
(1) $ S _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { n } \cdot 1 = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { n } $ (2) $ \sqrt { 10 } $ (3) $ \frac { 55 } { 4 } $
13. 某校准备向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过$60$棵，每棵售价为$120$元；如果购买树苗超过$60$棵，每增加$1$棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低$0.50$元，但每棵树苗最低售价不得少于$100$元.该校最终向园林公司支付树苗款$8800$元，请问该校共购买了多少棵树苗？
答案
80 棵
14. 如图，$\triangle A B C$与$\triangle C D E$都是等边三角形，点$E$，$F$分别在$A C$，$B C$上，且$E F // A B$.
(1) 求证：四边形$E F C D$是菱形；
(2) 设$C D = 4$，求$D$，$F$两点间的距离.
(1) 求证：四边形$E F C D$是菱形；
(2) 设$C D = 4$，求$D$，$F$两点间的距离.
答案
(1) $ \because \triangle ABC $与$ \triangle CDE $都是等边三角形，$ \therefore ED = CD $. $ \therefore \angle A = \angle DCE = \angle BCA = \angle DEC = 60 ^ { \circ } $. $ \therefore AB // CD $，$ DE // CF $. 又$ \because EF // AB $，$ \therefore EF // CD $. $ \therefore $四边形 EFCD 是菱形 (2) 连接 DF，与 CE 相交于点 G. 由$ CD = 4 $可知$ CG = 2 $，$ DG = \sqrt { 4 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 3 } $，$ DF = 4 \sqrt { 3 } $
