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7.如图,AB= CD,BC= DA,E,F是AC上的两点,且AE= CF,则图中全等三角形共有____对。
答案
3
8.(教材变式)如图,AB= CD,BC= DA,则下列结论：①AB//DC；②∠B= ∠D；③AB= BC；④∠A= ∠C。其中正确的有____(填序号)。
答案
①②④
9.(2025南昌)如图,B,C,E三点在同一条直线上,且AB= AD,AC= AE,BC= DE,若∠1+∠2+∠3= 98°,则∠3的度数为____。
答案
$ 49 ^ { \circ } $
10.(教材变式)如图,线段AC,BD相交于点E,AB= DC,AC= DB。求证：AE= DE。
答案
证明：连接 $ BC $。
在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DCB $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { AB = DC }, \\ { AC = DB }, \\ { BC = CB }, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle DCB ( SSS ) $，
$ \therefore \angle A = \angle D $。
在 $ \triangle AEB $ 和 $ \triangle DEC $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle D }, \\ { \angle AEB = \angle DEC }, \\ { AB = DC }, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle AEB \cong \triangle DEC ( AAS ) $，
$ \therefore AE = DE $。
在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DCB $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { AB = DC }, \\ { AC = DB }, \\ { BC = CB }, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle DCB ( SSS ) $，
$ \therefore \angle A = \angle D $。
在 $ \triangle AEB $ 和 $ \triangle DEC $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle D }, \\ { \angle AEB = \angle DEC }, \\ { AB = DC }, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle AEB \cong \triangle DEC ( AAS ) $，
$ \therefore AE = DE $。
11.(教材变式)如图,D在AB上,E在AC上,CD与BE交于点O,AB= AC,BO= CO。
(1)求证：∠B= ∠C；
(2)求证：AD= AE。
(1)求证：∠B= ∠C；
(2)求证：AD= AE。
答案
证明：(1)连接 $ AO $。
$ \because AB = AC $，$ BO = CO $，
$ AO = AO $。
$ \therefore \triangle ABO \cong \triangle ACO ( SSS ) $，
$ \therefore \angle B = \angle C $；
(2) $ \because \angle B = \angle C $，
$ \angle DOB = \angle EOC $，$ BO = CO $，
$ \therefore \triangle BOD \cong \triangle COE ( ASA ) $，
$ \therefore BD = CE $。
$ \because AB = AC $，
$ \therefore AB - BD = AC - CE $，
即 $ AD = AE $。
$ \because AB = AC $，$ BO = CO $，
$ AO = AO $。
$ \therefore \triangle ABO \cong \triangle ACO ( SSS ) $，
$ \therefore \angle B = \angle C $；
(2) $ \because \angle B = \angle C $，
$ \angle DOB = \angle EOC $，$ BO = CO $，
$ \therefore \triangle BOD \cong \triangle COE ( ASA ) $，
$ \therefore BD = CE $。
$ \because AB = AC $，
$ \therefore AB - BD = AC - CE $，
即 $ AD = AE $。
12.(2025原创题)如图,A为BE上一点,D为AF上一点,C为ED延长线上的一点,AB= AD,AE= AF,AF⊥BE。
(1)求证：BF= DE；
(2)若CE= BC+BF,∠ADC= 110°,求∠BCE的度数。
(1)求证：BF= DE；
(2)若CE= BC+BF,∠ADC= 110°,求∠BCE的度数。
答案
解：(1) $ \because AF \perp BE $，
$ \therefore \angle BAF = \angle DAE = 90 ^ { \circ } $。
在 $ \triangle ABF $ 与 $ \triangle ADE $ 中，$ AB = AD $，
$ \angle BAF = \angle DAE $，$ AF = AE $，
$ \therefore \triangle ABF \cong \triangle ADE ( SAS ) $，
$ \therefore BF = DE $；
(2)连接 $ AC $。
$ \because BF = DE $，$ CE = BC + BF $，
$ \therefore BC = DC $。
在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADC $ 中，
$ AB = AD $，$ AC = AC $，$ BC = DC $，
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC ( SSS ) $，
$ \therefore \angle ABC = \angle ADC = 110 ^ { \circ } $。
$ \because \angle BAC = \angle DAC = \frac { 1 } { 2 } \angle BAF = 45 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle ACB = 180 ^ { \circ } - \angle ABC - \angle BAC $
$ = 25 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle ACD = \angle ACB = 25 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle BCE = 50 ^ { \circ } $。
$ \therefore \angle BAF = \angle DAE = 90 ^ { \circ } $。
在 $ \triangle ABF $ 与 $ \triangle ADE $ 中，$ AB = AD $，
$ \angle BAF = \angle DAE $，$ AF = AE $，
$ \therefore \triangle ABF \cong \triangle ADE ( SAS ) $，
$ \therefore BF = DE $；
(2)连接 $ AC $。
$ \because BF = DE $，$ CE = BC + BF $，
$ \therefore BC = DC $。
在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADC $ 中，
$ AB = AD $，$ AC = AC $，$ BC = DC $，
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC ( SSS ) $，
$ \therefore \angle ABC = \angle ADC = 110 ^ { \circ } $。
$ \because \angle BAC = \angle DAC = \frac { 1 } { 2 } \angle BAF = 45 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle ACB = 180 ^ { \circ } - \angle ABC - \angle BAC $
$ = 25 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle ACD = \angle ACB = 25 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle BCE = 50 ^ { \circ } $。
