1. (2023·锦州)若关于x的一元二次方程$kx^{2}-2x+3=0$有两个实数根,则k的取值范围是()

A.$k＜\frac {1}{3}$
B.$k≤\frac {1}{3}$
C.$k＜\frac {1}{3}$且$k≠0$
D.$k≤\frac {1}{3}$且$k≠0$

1. D

因为方程是一元二次方程，所以$k \neq 0$。
方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × 3 \geq 0$，即$4 - 12k \geq 0$，解得$k \leq \frac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$k \leq \frac{1}{3}$且$k \neq 0$。
D

2. 若关于x的方程$(a+2)x^{|a|}+2x-5=0$是一元二次方程,则a的值为.

2. 2

因为方程$(a + 2)x^{|a|} + 2x - 5 = 0$是一元二次方程，所以$\begin{cases}|a| = 2 \\a + 2 \neq 0\end{cases}$，解得$a = 2$。

3. 若关于x的方程$ax^{2}+2(a+2)x+a=0$有实数根,则实数a的取值范围是.

3. $ a \geqslant - 1 $

当$a = 0$时，方程化为$4x = 0$，解得$x = 0$，有实数根；
当$a \neq 0$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = [2(a + 2)]^2 - 4a · a = 16a + 16$，
由$\Delta \geq 0$得$16a + 16 \geq 0$，解得$a \geq -1$，
综上，$a$的取值范围是$a \geq -1$。

4. 方程$(x-1)(x+2)=3(x+2)$的根为.

4. $ x _ { 1 } = - 2 $，$ x _ { 2 } = 4 $

解：移项得$(x - 1)(x + 2) - 3(x + 2) = 0$，
提取公因式$(x + 2)$得$(x + 2)[(x - 1) - 3] = 0$，
化简得$(x + 2)(x - 4) = 0$，
则$x + 2 = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_1 = -2$，$x_2 = 4$。

5. 已知关于x的方程$(x+\frac {1}{x})^{2}-3(x+\frac {1}{x})-4=0$,则$x+\frac {1}{x}$的值为.

5. 4

设$t = x + \frac{1}{x}$，则原方程可化为$t^2 - 3t - 4 = 0$。
因式分解得$(t - 4)(t + 1) = 0$，解得$t_1 = 4$，$t_2 = -1$。
当$t = -1$时，$x + \frac{1}{x} = -1$，即$x^2 + x + 1 = 0$，此时$\Delta = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，方程无实数根，舍去。
当$t = 4$时，$x + \frac{1}{x} = 4$，即$x^2 - 4x + 1 = 0$，$\Delta = 16 - 4 = 12 ＞ 0$，方程有实数根。
综上，$x + \frac{1}{x}$的值为$4$。

6. 下列方程中,两个实数根的和等于2的方程是()

A.$2x^{2}-4x+3=0$
B.$2x^{2}-2x-3=0$
C.$2y^{2}+4y-3=0$
D.$2t^{2}-4t-3=0$

6. D

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。
选项A：方程$2x^2 - 4x + 3 = 0$，$a=2$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{2}=2$，但$\Delta=(-4)^2 - 4×2×3=16 - 24=-8＜0$，无实数根。
选项B：方程$2x^2 - 2x - 3 = 0$，$a=2$，$b=-2$，两根之和为$-\frac{-2}{2}=1\neq2$。
选项C：方程$2y^2 + 4y - 3 = 0$，$a=2$，$b=4$，两根之和为$-\frac{4}{2}=-2\neq2$。
选项D：方程$2t^2 - 4t - 3 = 0$，$a=2$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{2}=2$，且$\Delta=(-4)^2 - 4×2×(-3)=16 + 24=40＞0$，有两个实数根。
D

7. 已知关于x的方程$x^{2}-(k+1)x+\frac {1}{4}k^{2}+1=0$的两个根是一个矩形两邻边的长,且矩形的对角线的长为$\sqrt {5}$,求k的值.

7. 设矩形两邻边的长分别为 $ x _ { 1 } $、$ x _ { 2 } $。由根与系数的关系，可知 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = k + 1 $，$ x _ { 1 } x _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } k ^ { 2 } + 1 $。由方程有两个根，可知 $ b ^ { 2 } - $$ 4 a c = [ - ( k + 1 ) ] ^ { 2 } - 4 \left( \frac { 1 } { 4 } k ^ { 2 } + 1 \right) = 2 k - 3 \geqslant 0 $，解得 $ k \geqslant \frac { 3 } { 2 } $。又 $ \because $ 矩形的对角线的长为 $ \sqrt { 5 } $，$ \therefore $ 由勾股定理，得 $ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } $，即 $ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } = 5 $，$ \therefore ( k + 1 ) ^ { 2 } - 2 \left( \frac { 1 } { 4 } k ^ { 2 } + 1 \right) = 5 $。整理，得 $ k ^ { 2 } + 4 k - 12 = 0 $，解得 $ k _ { 1 } = 2 $，$ k _ { 2 } = - 6 $（不合题意，舍去）。$ \therefore k $ 的值为 2

8. 某商户购进的某种电子产品的进价是每个50元,根据市场调研发现,当销售单价是80元时,每周可卖出160个.若销售单价每降低2元,则每周可多卖出20个.设销售单价降低x元.
(1) 每周可卖出个(用含x的代数式表示);
(2) 要使该商户每周销售该电子产品的利润达到5280元,且更有利于减少库存,则销售单价应降低多少元?

8. （1）$ ( 10 x + 160 ) $ （2）根据题意，得 $ ( 80 - x - 50 ) ( 10 x + 160 ) = 5280 $，解得 $ x _ { 1 } = 6 $，$ x _ { 2 } = 8 $。$ \because $ 要更有利于减少库存，$ \therefore x = 8 $。答：销售单价应降低 8 元

（1）$10x + 160$
（2）根据题意，得$(80 - x - 50)(10x + 160) = 5280$，
整理得$(30 - x)(10x + 160) = 5280$，
展开得$300x + 4800 - 10x^2 - 160x = 5280$，
化简得$-10x^2 + 140x + 4800 = 5280$，
移项得$-10x^2 + 140x - 480 = 0$，
两边同时除以$-10$得$x^2 - 14x + 48 = 0$，
因式分解得$(x - 6)(x - 8) = 0$，
解得$x_1 = 6$，$x_2 = 8$。
$\because$要更有利于减少库存，
$\therefore x = 8$。
答：销售单价应降低$8$元。