16. 某文化用品商店计划同时购进一批A,B两种型号的计算器,已知A种计算器的进价比B种计算器的进价每个便宜3元,现分别购进A种计算器300个,B种计算器600个,共计12600元。
(1)求A,B两种计算器的进价；
(2)该商店老板计划购进这两种型号的计算器共1000个,而可用于购买这两种型号的计算器的总费用不超过13800元,请问至少要购买多少个A种型号的计算器？

【解析】：
(1)设$A$种计算器的进价为每个$x$元，因为$A$种计算器的进价比$B$种计算器的进价每个便宜$3$元，所以$B$种计算器的进价为每个$(x + 3)$元。
已知分别购进$A$种计算器$300$个，$B$种计算器$600$个，共计$12600$元，可列方程：
$300x+600(x + 3)=12600$
去括号得：$300x+600x+1800 = 12600$
移项得：$300x+600x=12600 - 1800$
合并同类项得：$900x=10800$
系数化为$1$得：$x = 12$
则$B$种计算器的进价为：$x + 3=12 + 3 = 15$（元）
(2)设购买$A$种型号的计算器$m$个，则购买$B$种型号的计算器$(1000 - m)$个。
已知$A$种计算器进价为$12$元，$B$种计算器进价为$15$元，且购买这两种型号的计算器的总费用不超过$13800$元，可列不等式：
$12m+15(1000 - m)\leq13800$
去括号得：$12m+15000-15m\leq13800$
移项得：$12m-15m\leq13800 - 15000$
合并同类项得：$-3m\leq - 1200$
系数化为$1$得：$m\geq400$
【答案】：(1)$A$种计算器的进价为每个$12$元，$B$种计算器的进价为每个$15$元；(2)$400$个

17. 已知不等式组$\left\{\begin{array}{l} x-3(x-2)≤4+2b\\ \frac {a+2x}{3}＞x-1\end{array} \right. 的解集为1≤x＜2$,求$a,b$的值。

【解析】：
本题可先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据已知解集建立关于$a$、$b$的方程，进而求出$a$、$b$的值。
- **步骤一：解不等式$x - 3(x - 2) \leq 4 + 2b$。**
去括号：根据乘法分配律$a(b-c)=ab-ac$，可得$x - 3x + 6 \leq 4 + 2b$。
移项：将含有$x$的项移到左边，常数项移到右边，得到$x - 3x \leq 4 + 2b - 6$。
合并同类项：计算可得$-2x \leq 2b - 2$。
系数化为$1$：不等式两边同时除以$-2$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得$x \geq 1 - b$。
- **步骤二：解不等式$\frac{a + 2x}{3} \gt x - 1$。**
去分母：不等式两边同时乘以$3$，得到$a + 2x \gt 3(x - 1)$。
去括号：根据乘法分配律，可得$a + 2x \gt 3x - 3$。
移项：将含有$x$的项移到右边，常数项移到左边，得到$a + 3 \gt 3x - 2x$。
合并同类项：计算可得$x \lt a + 3$。
- **步骤三：确定不等式组的解集。**
由上述计算可知，不等式组$\begin{cases}x - 3(x - 2) \leq 4 + 2b \\ \frac{a + 2x}{3} \gt x - 1 \end{cases}$的解集为$1 - b \leq x \lt a + 3$。
- **步骤四：根据已知解集建立关于$a$、$b$的方程并求解。**
已知不等式组的解集为$1 \leq x \lt 2$，所以可得$\begin{cases}1 - b = 1 \\ a + 3 = 2 \end{cases}$。
解$1 - b = 1$：移项可得$-b = 1 - 1$，即$-b = 0$，解得$b = 0$。
解$a + 3 = 2$：移项可得$a = 2 - 3$，解得$a = -1$。
【答案】：$a = -1$，$b = 0$

18. 已知关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+15}{2}＞x+3\\ 4x+1＞a\end{array} \right. $。
(1)当$a = 5$时，求该不等式组的解集；
(2)若该不等式组的解集是空集(无解)，求$a$的最小值；
(3)若该不等式组有且仅有$3$个整数解，则$a$的取值范围是。

【解析】：
本题可先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不同条件分别进行分析。
### 步骤一：求解不等式$\frac{x + 15}{2} \gt x + 3$的解集
不等式两边同时乘以$2$去分母得：$x + 15 \gt 2(x + 3)$
去括号得：$x + 15 \gt 2x + 6$
移项得：$x - 2x \gt 6 - 15$
合并同类项得：$-x \gt -9$
不等式两边同时除以$-1$，不等号变向得：$x \lt 9$
### 步骤二：求解不等式$4x + 1 \gt a$的解集
移项得：$4x \gt a - 1$
不等式两边同时除以$4$得：$x \gt \frac{a - 1}{4}$
所以不等式组的解集为$\frac{a - 1}{4} \lt x \lt 9$。
#### (1)当$a = 5$时，求不等式组的解集
将$a = 5$代入$\frac{a - 1}{4} \lt x \lt 9$中，可得$\frac{5 - 1}{4} \lt x \lt 9$，即$1 \lt x \lt 9$。
#### (2)若不等式组的解集是空集，求$a$的最小值
因为不等式组的解集为$\frac{a - 1}{4} \lt x \lt 9$，要使解集为空集，则$\frac{a - 1}{4} \geq 9$。
不等式两边同时乘以$4$得：$a - 1 \geq 36$
移项得：$a \geq 36 + 1$
解得：$a \geq 37$
所以$a$的最小值为$37$。
#### (3)若不等式组有且仅有$3$个整数解，求$a$的取值范围
因为$x \lt 9$，且不等式组有且仅有$3$个整数解，则这$3$个整数解为$8$，$7$，$6$。
所以$5\leqslant\frac{a - 1}{4} \lt 6$。
不等式两边同时乘以$4$得：$20\leqslant a - 1 \lt 24$
不等式两边同时加$1$得：$21\leqslant a \lt 25$。
【答案】：(1)$1 \lt x \lt 9$；(2)$37$；(3)$21\leqslant a \lt 25$