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5. 如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=2.5 m. 小朋友在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=1.5 m，点A到地面的距离AE=1.5 m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求点A'到BD的距离.
答案
5. 解：作A'F⊥BD，垂足为F.
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°. 在 Rt△A'FB 中，
∴∠1+∠3=90°，又
∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2=90°.
∴∠2=∠3. 在△ACB 和△BFA' 中，$\begin{cases}∠ACB=∠A'FB,\\∠2=∠3,\\AB=A'B,\end{cases}$
∴△ACB ≌ △BFA'（AAS），
∴A'F=BC.
∵AC//DE 且 CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.5 m.
∴BC=BD-CD=2.5-1.5=1（m），
∴A'F=1（m），即点A'到BD的距离是1 m.
解析
【分析】
要求点A'到BD的距离，首先过A'作BD的垂线A'F，将问题转化为求线段A'F的长度。首先观察到秋千摆动过程中绳长不变，即AB=A'B，结合已知的垂直关系，可通过“同角的余角相等”得到两组对应角相等，进而证明△ACB和△BFA'全等，可得A'F=BC。接下来求BC的长度：由AC⊥BD、BD垂直地面、AE垂直地面，可知四边形ACDE是矩形，因此CD=AE，再用BD减去CD即可得到BC的长度，也就得到了A'到BD的距离。
【解析】
作A'F⊥BD，垂足为F。
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°。
在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°，
又
∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3。
在△ACB和△BFA'中，
$\begin{cases}∠ACB=∠A'FB, \\∠2=∠3, \\AB=A'B,\end{cases}$
∴△ACB ≌ △BFA'（AAS），
∴A'F=BC。
∵AC//DE，CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.5 m，
∴BC=BD-CD=2.5-1.5=1（m），
∴A'F=1 m。
【答案】
点A'到BD的距离是1 m。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、矩形的性质
【点评】
本题以荡秋千的生活场景为背景，将实际问题转化为几何问题求解，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是合理作出辅助线，挖掘“秋千绳长不变”这一隐含条件构造全等三角形，同时结合矩形的性质求解线段长度，能有效提升学生的几何建模能力。
【难度系数】
0.7
要求点A'到BD的距离，首先过A'作BD的垂线A'F，将问题转化为求线段A'F的长度。首先观察到秋千摆动过程中绳长不变，即AB=A'B，结合已知的垂直关系，可通过“同角的余角相等”得到两组对应角相等，进而证明△ACB和△BFA'全等，可得A'F=BC。接下来求BC的长度：由AC⊥BD、BD垂直地面、AE垂直地面，可知四边形ACDE是矩形，因此CD=AE，再用BD减去CD即可得到BC的长度，也就得到了A'到BD的距离。
【解析】
作A'F⊥BD，垂足为F。
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°。
在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°，
又
∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3。
在△ACB和△BFA'中，
$\begin{cases}∠ACB=∠A'FB, \\∠2=∠3, \\AB=A'B,\end{cases}$
∴△ACB ≌ △BFA'（AAS），
∴A'F=BC。
∵AC//DE，CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.5 m，
∴BC=BD-CD=2.5-1.5=1（m），
∴A'F=1 m。
【答案】
点A'到BD的距离是1 m。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、矩形的性质
【点评】
本题以荡秋千的生活场景为背景，将实际问题转化为几何问题求解，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是合理作出辅助线，挖掘“秋千绳长不变”这一隐含条件构造全等三角形，同时结合矩形的性质求解线段长度，能有效提升学生的几何建模能力。
【难度系数】
0.7
6. (2025·镇江) 如图，已知$△ ABC ≌ △ DEF$，边BC与EF，DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，OB=OE. 求证：$△ MOF ≌ △ NOC.$
答案
6. 证明：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠F=∠C，
∵OB=OE，
∴BC-OB=EF-OE，即 OC=OF，在△MOF 和△NOC 中，$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OC=OF,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴△MOF≌△NOC（ASA）.
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠F=∠C，
∵OB=OE，
∴BC-OB=EF-OE，即 OC=OF，在△MOF 和△NOC 中，$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OC=OF,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴△MOF≌△NOC（ASA）.
解析
【分析】
要证明△MOF≌△NOC，需先找到两个三角形对应相等的边和角：①首先根据已知△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可得对应边BC=EF、对应角∠F=∠C；②结合已知OB=OE，通过等式性质可推出OC=OF；③再根据图形特征得到对顶角∠MOF=∠NOC，三个条件刚好满足角边角的全等判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠F=∠C，
∵OB=OE，
∴BC-OB=EF-OE，即OC=OF，
在△MOF和△NOC中，
$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OF=OC,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴△MOF≌△NOC（ASA）。
【答案】
证明：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠F=∠C，
∵OB=OE，
∴BC-OB=EF-OE，即 OC=OF，在△MOF 和△NOC 中，$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OC=OF,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴△MOF≌△NOC（ASA）.
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形的判定；对顶角相等
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，重点考查全等三角形性质与判定的综合运用，解题的关键是准确从已知全等三角形中提取所需的边角条件，结合等式性质和对顶角性质凑齐全等判定的条件，注意书写证明过程时要保证边角对应关系正确。
【难度系数】
0.7
要证明△MOF≌△NOC，需先找到两个三角形对应相等的边和角：①首先根据已知△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可得对应边BC=EF、对应角∠F=∠C；②结合已知OB=OE，通过等式性质可推出OC=OF；③再根据图形特征得到对顶角∠MOF=∠NOC，三个条件刚好满足角边角的全等判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠F=∠C，
∵OB=OE，
∴BC-OB=EF-OE，即OC=OF，
在△MOF和△NOC中，
$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OF=OC,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴△MOF≌△NOC（ASA）。
【答案】
证明：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠F=∠C，
∵OB=OE，
∴BC-OB=EF-OE，即 OC=OF，在△MOF 和△NOC 中，$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OC=OF,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴△MOF≌△NOC（ASA）.
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形的判定；对顶角相等
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，重点考查全等三角形性质与判定的综合运用，解题的关键是准确从已知全等三角形中提取所需的边角条件，结合等式性质和对顶角性质凑齐全等判定的条件，注意书写证明过程时要保证边角对应关系正确。
【难度系数】
0.7
7. (2025·内江) 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB//DE.
(1) 求证：△ABC≌△DEF.
(2) 若BF=4，FC=3，求BE的长.
(1) 求证：△ABC≌△DEF.
(2) 若BF=4，FC=3，求BE的长.
答案
7. （1）证明：
∵AB//DE，
∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}∠B=∠E,\\∠A=∠D,\\AC=DF,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
（2）解：由（1）可知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+CF=EC+CF，
∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+FC+EC=4+3+4=11.
∵AB//DE，
∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}∠B=∠E,\\∠A=∠D,\\AC=DF,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
（2）解：由（1）可知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+CF=EC+CF，
∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+FC+EC=4+3+4=11.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DEF，已知∠A=∠D、AC=DF，还缺一组对应角或边相等的条件，结合AB//DE的条件，可利用平行线的性质得到∠B=∠E，刚好满足AAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) 要求BE的长，已知BF和FC的长度，仅需先求出EC的长度。利用(1)中全等三角形对应边相等的性质可得BC=EF，对等式变形可推出BF=EC，代入已知数值后将BF、FC、EC三段长度相加即可得到BE的总长。
【解析】
(1) 证明：
∵AB//DE，
∴∠B=∠E（两直线平行，内错角相等），
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}∠B=∠E,\\∠A=∠D,\\AC=DF,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（AAS）。
(2) 解：
由(1)可知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF（全等三角形对应边相等），
∵BC=BF+FC，EF=EC+FC，
∴BF+FC=EC+FC，
等式两边同时减去FC可得：BF=EC，
已知BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+FC+EC=4+3+4=11。
【答案】
(1) 已证△ABC≌△DEF；(2) BE的长为11。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题目，结合了平行线性质与全等三角形的判定、性质考察，解题时熟练掌握相关基础定理，按逻辑逐步推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ABC≌△DEF，已知∠A=∠D、AC=DF，还缺一组对应角或边相等的条件，结合AB//DE的条件，可利用平行线的性质得到∠B=∠E，刚好满足AAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) 要求BE的长，已知BF和FC的长度，仅需先求出EC的长度。利用(1)中全等三角形对应边相等的性质可得BC=EF，对等式变形可推出BF=EC，代入已知数值后将BF、FC、EC三段长度相加即可得到BE的总长。
【解析】
(1) 证明：
∵AB//DE，
∴∠B=∠E（两直线平行，内错角相等），
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}∠B=∠E,\\∠A=∠D,\\AC=DF,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（AAS）。
(2) 解：
由(1)可知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF（全等三角形对应边相等），
∵BC=BF+FC，EF=EC+FC，
∴BF+FC=EC+FC，
等式两边同时减去FC可得：BF=EC，
已知BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+FC+EC=4+3+4=11。
【答案】
(1) 已证△ABC≌△DEF；(2) BE的长为11。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题目，结合了平行线性质与全等三角形的判定、性质考察，解题时熟练掌握相关基础定理，按逻辑逐步推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
