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14.（大连期末）对于平面直角坐标系$xOy$中的图形$G$和图形$G$上的任意点$P(x,y)$，给出如下定义：将点$P(x,y)$平移到$P'(x+t,y-t)$称为将点$P$进行“$t$型平移”，点$P'$称为将点$P$进行“$t$型平移”的对应点；将图形$G$上的所有点进行“$t$型平移”称为将图形$G$进行“$t$型平移”。例如，将点$P(x,y)$平移到$P'(x+1,y-1)$称为将点$P$进行“1型平移”，将点$P(x,y)$平移到$P'(x-2,y+2)$称为将点$P$进行“$-2$型平移”。已知点$A(1,1)$和$B(5,1)$。
（1）将点$A(1,1)$进行“1型平移”后的对应点$A'$的坐标为
（2）① 将线段$AB$进行“$-1$型平移”后得到线段$A'B'$，点$P_1(3,2)$、$P_2(2,3)$、$P_3(3,0)$中，在线段$A'B'$上的点是
② 若线段$AB$进行“$t$型平移”后与$y$轴有公共点，则$t$的取值范围是
（3）已知点$P(4,4)$，将线段$AB$进行“$t$型平移”后得到线段$A'B'$，若$△ PA'B'$的面积$S_{△ PA'B'}=2$，求$t$的值。
（1）将点$A(1,1)$进行“1型平移”后的对应点$A'$的坐标为
(2, 0)
。（2）① 将线段$AB$进行“$-1$型平移”后得到线段$A'B'$，点$P_1(3,2)$、$P_2(2,3)$、$P_3(3,0)$中，在线段$A'B'$上的点是
$P_1$
；② 若线段$AB$进行“$t$型平移”后与$y$轴有公共点，则$t$的取值范围是
$-5≤ t≤ -1$
。（3）已知点$P(4,4)$，将线段$AB$进行“$t$型平移”后得到线段$A'B'$，若$△ PA'B'$的面积$S_{△ PA'B'}=2$，求$t$的值。
答案
14. (1) (2, 0) (2) ① $P_1$ ② $-5≤ t≤ -1$ (3) $\because A'(1+t, 1-t)$, $B'(5+t, 1-t)$, $\therefore A'B'=4$. $\because S_{△ PA'B'}=2$, $\therefore \frac{1}{2}× 4× |1-t-4|=2$. 解得 $t=-4$ 或 $t=-2$
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“t型平移”的规则：点$P(x,y)$经t型平移后对应点为$(x+t, y-t)$，再结合坐标性质、线段特点、三角形面积公式分步求解：
1. 第(1)问直接代入$t=1$到平移规则计算即可得$A'$坐标；
2. 第(2)①问先算出线段AB经-1型平移后两个端点的坐标，得到平移后线段的解析式和x的取值范围，再逐一验证三个点是否符合即可；
3. 第(2)②问先写出平移后线段两个端点的x坐标，线段要和y轴（$x=0$）有公共点，即0要落在平移后线段的x取值区间内，列不等式求解即可；
4. 第(3)问先得出平移后线段$A'B'$的长度，以及$A'B'$是水平线段的特点，三角形的高为点P到线段$A'B'$的垂直距离，结合面积公式列含绝对值的方程求解即可。
【解析】
(1) 根据“t型平移”规则，点$A(1,1)$进行“1型平移”即$t=1$，对应点$A'$的横坐标为$1+1=2$，纵坐标为$1-1=0$，故$A'(2,0)$。
(2) ① 线段AB进行“-1型平移”即$t=-1$：
点$A(1,1)$平移后得$A'(1+(-1),1-(-1))=(0,2)$，
点$B(5,1)$平移后得$B'(5+(-1),1-(-1))=(4,2)$，
即线段$A'B'$是$y=2$，x取值范围为$0≤ x≤4$的水平线段。
验证三个点：
$P_1(3,2)$：$y=2$，$x=3$在$[0,4]$内，在线段$A'B'$上；
$P_2(2,3)$：$y=3≠2$，不在线段上；
$P_3(3,0)$：$y=0≠2$，不在线段上；
故在线段$A'B'$上的点是$P_1$。
② 线段AB进行“t型平移”后，$A'(1+t,1-t)$，$B'(5+t,1-t)$，线段$A'B'$的x取值范围为$1+t≤ x≤5+t$，y恒为$1-t$。
线段与y轴（$x=0$）有公共点，即0在x的取值区间内，列不等式：
$\begin{cases}1+t≤0 \\5+t≥0 \end{cases}$
解得：$-5≤ t≤-1$。
(3) 平移后$A'(1+t,1-t)$，$B'(5+t,1-t)$，$A'B'$的长度为$(5+t)-(1+t)=4$，且线段$A'B'$为水平线段，纵坐标恒为$1-t$。
点$P(4,4)$到线段$A'B'$的垂直距离为$|1-t -4|=|t+3|$。
由$S_{△ PA'B'}=2$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × A'B' × 高 =2$
代入得：$\frac{1}{2} × 4 × |t+3| =2$
化简得：$2|t+3|=2$，即$|t+3|=1$
则$t+3=1$或$t+3=-1$，解得$t=-2$或$t=-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$
(2) ① $\boldsymbol{P_1}$；② $\boldsymbol{-5≤ t≤ -1}$
(3) $\boldsymbol{t=-4}$或$\boldsymbol{t=-2}$
【知识点】
新定义平移，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题以新定义平移为背景，考查了坐标变化规律、线段与坐标轴的交点判断、三角形面积公式的应用，解题关键是读懂新定义规则，结合几何图形的性质列方程或不等式求解，注意绝对值的取值不要漏解。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“t型平移”的规则：点$P(x,y)$经t型平移后对应点为$(x+t, y-t)$，再结合坐标性质、线段特点、三角形面积公式分步求解：
1. 第(1)问直接代入$t=1$到平移规则计算即可得$A'$坐标；
2. 第(2)①问先算出线段AB经-1型平移后两个端点的坐标，得到平移后线段的解析式和x的取值范围，再逐一验证三个点是否符合即可；
3. 第(2)②问先写出平移后线段两个端点的x坐标，线段要和y轴（$x=0$）有公共点，即0要落在平移后线段的x取值区间内，列不等式求解即可；
4. 第(3)问先得出平移后线段$A'B'$的长度，以及$A'B'$是水平线段的特点，三角形的高为点P到线段$A'B'$的垂直距离，结合面积公式列含绝对值的方程求解即可。
【解析】
(1) 根据“t型平移”规则，点$A(1,1)$进行“1型平移”即$t=1$，对应点$A'$的横坐标为$1+1=2$，纵坐标为$1-1=0$，故$A'(2,0)$。
(2) ① 线段AB进行“-1型平移”即$t=-1$：
点$A(1,1)$平移后得$A'(1+(-1),1-(-1))=(0,2)$，
点$B(5,1)$平移后得$B'(5+(-1),1-(-1))=(4,2)$，
即线段$A'B'$是$y=2$，x取值范围为$0≤ x≤4$的水平线段。
验证三个点：
$P_1(3,2)$：$y=2$，$x=3$在$[0,4]$内，在线段$A'B'$上；
$P_2(2,3)$：$y=3≠2$，不在线段上；
$P_3(3,0)$：$y=0≠2$，不在线段上；
故在线段$A'B'$上的点是$P_1$。
② 线段AB进行“t型平移”后，$A'(1+t,1-t)$，$B'(5+t,1-t)$，线段$A'B'$的x取值范围为$1+t≤ x≤5+t$，y恒为$1-t$。
线段与y轴（$x=0$）有公共点，即0在x的取值区间内，列不等式：
$\begin{cases}1+t≤0 \\5+t≥0 \end{cases}$
解得：$-5≤ t≤-1$。
(3) 平移后$A'(1+t,1-t)$，$B'(5+t,1-t)$，$A'B'$的长度为$(5+t)-(1+t)=4$，且线段$A'B'$为水平线段，纵坐标恒为$1-t$。
点$P(4,4)$到线段$A'B'$的垂直距离为$|1-t -4|=|t+3|$。
由$S_{△ PA'B'}=2$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × A'B' × 高 =2$
代入得：$\frac{1}{2} × 4 × |t+3| =2$
化简得：$2|t+3|=2$，即$|t+3|=1$
则$t+3=1$或$t+3=-1$，解得$t=-2$或$t=-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$
(2) ① $\boldsymbol{P_1}$；② $\boldsymbol{-5≤ t≤ -1}$
(3) $\boldsymbol{t=-4}$或$\boldsymbol{t=-2}$
【知识点】
新定义平移，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题以新定义平移为背景，考查了坐标变化规律、线段与坐标轴的交点判断、三角形面积公式的应用，解题关键是读懂新定义规则，结合几何图形的性质列方程或不等式求解，注意绝对值的取值不要漏解。
【难度系数】
0.6
