8. △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点的坐标分别为A(-3，2)、B(-1，3)、C(-2，1)，请按要求完成任务：
（1）以坐标原点为位似中心，位似比为2：1，在x轴下方将△ABC放大得到△A'B'C'.
（2）在（1）中，点A'的坐标为.
（3）在（1）中，若点P、Q分别是线段AB、AC的中点，则线段PQ在△A'B'C'中的对应线段P'Q'的长为.

8. (1) 作图略. 提示:由题意知,$△A'B'C'$三个顶点的坐标分别为$A'(6, -4)$、$B'(2, -6)$、$C'(4, -2)$,依次连结三个顶点即可得$△A'B'C'$ (2) $A'(6, -4)$ (3) $\sqrt{5}$

【分析】
解决本题可按以下思路逐步推导：
1. 位似作图：首先回忆以原点为位似中心的坐标变换规则，若位似比为k，且位似图形与原图形在原点两侧，则对应点坐标为原坐标乘以-k。本题要求在x轴下方放大，位似比为2:1，因此变换后坐标为原坐标乘-2，求出三个对应点坐标后依次连接即可完成作图。
2. 求A'坐标：直接将A点坐标代入上述位似坐标变换规则计算即可。
3. 求P'Q'长度：先根据中位线性质得PQ长度为BC的一半，再结合位似图形对应线段比等于位似比，可知P'Q'=BC，最后用两点间距离公式计算BC长度即可得结果。
【解析】
（1）作图步骤：
根据位似变换规则，以原点为位似中心，位似比2:1、在x轴下方的位似图形对应点坐标为原坐标×(-2)：
A(-3,2)对应$A'(-3×(-2),2×(-2))=(6,-4)$
B(-1,3)对应$B'(-1×(-2),3×(-2))=(2,-6)$
C(-2,1)对应$C'(-2×(-2),1×(-2))=(4,-2)$
在坐标系中描出三个点后依次连接，即可得到$△ A'B'C'$，作图略。
（2）由上述计算可得A'的坐标为(6,-4)。
（3）
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PQ是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线性质：$PQ=\frac{1}{2}BC$。
又
∵$△ A'B'C'$与$△ ABC$的位似比为2:1，位似图形对应线段的比等于位似比，
∴$P'Q'=2PQ=BC$。
用两点间距离公式计算BC的长度：
B(-1,3)，C(-2,1)，则$BC=\sqrt{(-1-(-2))^2+(3-1)^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，因此$P'Q'=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）作图略；（2）$(6,-4)$；（3）$\sqrt{5}$
【知识点】
位似图形的坐标变换；三角形中位线定理；两点间距离公式
【点评】
本题综合考查位似变换的作图、坐标计算及位似性质的应用，核心是熟练掌握以原点为位似中心的坐标变化规律，结合中位线和距离公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

9.（日照期末）若点P关于x轴的对称点为$P_1(2a + b, -a + 1)$，关于y轴的对称点为$P_2(4 - b, b + 2)$，则点P的坐标为 【 】

A.$(9, 3)$
B.$(-9, 3)$
C.$(9, -3)$
D.$(-9, -3)$

D

【分析】
要确定点P的坐标，首先需回忆点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。我们可以先分别用$P_1$、$P_2$的坐标表示出点P的两个坐标表达式，再根据同一个点的横、纵坐标分别相等列出二元一次方程组，求解得到a、b的值后代入即可求出P的坐标。
【解析】
∵ 点P关于x轴的对称点为$P_1(2a + b, -a + 1)$，根据关于x轴对称的点的坐标特征，得点P的坐标为$\boldsymbol{(2a + b, a - 1)}$；
又
∵ 点P关于y轴的对称点为$P_2(4 - b, b + 2)$，根据关于y轴对称的点的坐标特征，得点P的坐标为$\boldsymbol{(b - 4, b + 2)}$；
∵ 两个表达式均为点P的坐标，对应横、纵坐标相等，可列方程组：
$\begin{cases}2a + b = b - 4\\a - 1 = b + 2\end{cases}$
解第一个方程：两边消去b，得$2a = -4$，解得$a = -2$；
将$a = -2$代入第二个方程，得$-2 - 1 = b + 2$，解得$b = -5$；
把$a=-2$、$b=-5$代入$P(2a + b, a - 1)$，得：
横坐标：$2×(-2) + (-5) = -9$，纵坐标：$-2 - 1 = -3$，
即点P的坐标为$(-9, -3)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题考查坐标轴对称点的坐标规律应用，解题的核心是通过对称关系推导出原点点P的两个坐标表达式，利用坐标相等建立方程求解，只要熟练掌握对称点的坐标变化规律就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

10. 如图，若将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$后得到$△ A'B'C'$，则点$A$的对应点$A'$的坐标是 【 】

A.$(-3,-2)$
B.$(2,2)$
C.$(3,0)$
D.$(2,1)$

C

【分析】
解题时首先要从平面直角坐标系中读取旋转中心C和点A的坐标，再结合顺时针旋转90°的坐标变换规律，或者通过网格数格作图的方式，即可求出点A旋转后的对应点A'的坐标。第一步先确定A、C两点坐标，第二步计算A相对于C的位置偏移量，第三步将偏移量按顺时针旋转90°的规则变换后，结合C的坐标算出A'坐标。
【解析】
首先从图中读取坐标：点$A$的坐标为$(-1,2)$，旋转中心点$C$的坐标为$(0,-1)$。
计算向量$\overrightarrow{CA}$：$\overrightarrow{CA}=(-1-0,2-(-1))=(-1,3)$，即点A在点C的左侧1格、上方3格的位置。
根据顺时针旋转90°的坐标变换规则：向量$(x,y)$顺时针旋转90°后变为$(y,-x)$，因此旋转后的向量$\overrightarrow{CA'}=(3,1)$，即旋转后A'在点C的右侧3格、上方1格的位置。
因此$A'$的坐标为：$0+3=3$，$-1+1=0$，即$A'(3,0)$。
【答案】
C
【知识点】
坐标与图形变化-旋转；平面直角坐标系坐标读取
【点评】
本题属于旋转坐标变换的基础题，既可以用坐标变换公式求解，也可以直接在网格中通过作图数格得到结果，解题关键是准确读取初始坐标、牢记旋转90°的坐标变化规律。
【难度系数】
0.7

11.（安阳期末）在平面直角坐标系中，已知点$A(-3,2)$，$B(-4,5)$，以原点$O$为位似中心，作$△ A'OB'$，使它与$△ AOB$的相似比为2，则点$B$的对应点$B'$的坐标是。
↑y

11. (-8, 10)或(8, -10)

【分析】
解题时首先明确位似中心是原点，相似比为2，回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：原图形上点$(x,y)$的对应点坐标有两种可能，分别是$(kx,ky)$（两图形在位似中心同侧）和$(-kx,-ky)$（两图形在位似中心异侧），其中$k$为位似比。接下来只需将点B的横、纵坐标分别乘以2和-2，即可得到对应点$B'$的两个可能坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点$O$为位似中心，$△ A'OB'$与$△ AOB$的相似比为2，即位似比$k=2$，
∴ 原图形上的点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$或$(-kx,-ky)$，
已知点$B$的坐标为$(-4,5)$，
当两图形位于原点同侧时，$B'$的坐标为$(-4×2, 5×2)=(-8,10)$；
当两图形位于原点异侧时，$B'$的坐标为$(-4×(-2), 5×(-2))=(8,-10)$。
综上，点$B$的对应点$B'$的坐标为$(-8,10)$或$(8,-10)$。
【答案】
$(-8, 10)$或$(8, -10)$
【知识点】
1.位似变换的坐标性质 2.分类讨论思想
【点评】
本题重点考查以原点为位似中心的位似图形坐标变化规律，易错点是容易忽略位似图形可位于位似中心的两侧，漏写其中一个坐标，解题时需注意考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.7

12.（烟台期末）如图，在$△ ABC$中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是$(1,0)$，以点C为位似中心，在x轴的下方作$△ ABC$的位似图形，并把$△ ABC$的边长放大到原来的2倍得到$△ A'B'C$.设点B的横坐标是$m$，则点B的对应点$B'$的横坐标是。

12. $-2m+3$

【分析】
本题考查位似变换下的坐标计算，解题思路如下：首先明确位似中心是点$ C(1,0) $，位似比为2，且变换后的图形与原图形位于位似中心的两侧；其次先计算点$ B $到位似中心$ C $的水平距离，再结合位似比和方向求出点$ B' $到点$ C $的水平距离；最后用位似中心的横坐标加上该距离，即可得到$ B' $的横坐标。
【解析】
设点$ B' $的横坐标为$ x $。
已知点$ C $的坐标是$ (1,0) $，点$ B $的横坐标是$ m $，则点$ B $与点$ C $的横坐标差为$ m-1 $。
因为$ △ A'B'C $是$ △ ABC $以$ C $为位似中心放大到原来2倍的位似图形，且两个图形位于位似中心两侧，所以位似比为$ -2 $，因此点$ B' $与点$ C $的横坐标差为$ -2(m-1) $，可得方程：
$ x - 1 = -2(m - 1) $
展开计算：
$ x - 1 = -2m + 2 $
移项得：
$ x = -2m + 3 $
【答案】
$ -2m+3 $
【知识点】
位似变换的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题属于位似变换的基础应用题型，解题核心是准确把握位似中心的位置、位似比的大小以及对应点与位似中心的位置关系，易错点是忽略两侧位似时位似比的符号，导致结果符号错误。
【难度系数】
0.7

13. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3, -1)、B(3, 3)、C(1, -2).
(1) 把△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，作出平移后的△A₁B₁C₁；
(2) 作出△ABC关于x轴对称的△A₂B₂C₂；
(3) 作出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A₃B₃C₃，使得△ABC与△A₃B₃C₃的位似比为1：2，且分别在y轴的两侧并写出△A₃B₃C₃各顶点的坐标.

(1) 略 (2) 略 (3) 作图略. $△A_3B_3C_3$各顶点的坐标分别为:$A_3(-6, 2)$, $B_3(-6, -6)$, $C_3(-2, 4)$

【分析】
本题考查平面直角坐标系中图形的三类变换，解题思路如下：
(1) 平移变换：根据平移坐标规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，先算出平移后三个顶点的坐标，再描点连线即可得到平移后的三角形；
(2) 轴对称变换：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，先算出对称后三个顶点的坐标，再描点连线即可得到轴对称的三角形；
(3) 位似变换：位似中心为原点，位似比为1:2且图形在y轴两侧，说明位似变换的比例系数为-2，将原三角形各顶点的横、纵坐标都乘-2，即可得到位似图形的顶点坐标，描点连线即可完成作图。
【解析】
(1) 平移规则：向左平移4个单位，横坐标减4；向下平移5个单位，纵坐标减5。
计算得：$A_1(3-4,-1-5)=(-1,-6)$，$B_1(3-4,3-5)=(-1,-2)$，$C_1(1-4,-2-5)=(-3,-7)$，在坐标系中依次描出$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标取相反数。
计算得：$A_2(3,1)$，$B_2(3,-3)$，$C_2(1,2)$，在坐标系中依次描出$A_2$、$B_2$、$C_2$，顺次连接即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 位似中心为原点，位似比为1:2且图形在y轴两侧，因此变换比例系数为$-2$，将原三角形各顶点横、纵坐标均乘$-2$：
$A_3(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$，$B_3(3×(-2), 3×(-2))=(-6,-6)$，$C_3(1×(-2), -2×(-2))=(-2,4)$，在坐标系中依次描出$A_3$、$B_3$、$C_3$，顺次连接即可得到$△ A_3B_3C_3$。
【答案】
(1) 略 (2) 略 (3) 作图略. $△ A_3B_3C_3$各顶点的坐标分别为:$A_3(-6, 2)$, $B_3(-6, -6)$, $C_3(-2, 4)$
【知识点】
坐标与平移变换；坐标与轴对称变换；坐标与位似变换
【点评】
本题属于坐标变换的基础题，核心是熟练掌握不同图形变换对应的坐标变化规律，作图时先确定对应顶点坐标再描点连线即可，易错点是位似变换中要注意图形所在侧对比例系数符号的影响。
【难度系数】
0.8