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13. 阅读后解答问题.
解方程：$2x^2 - 3x - 2 = 0$.
解:拆项,分组,得 $(2x^2 - 4x)+(x - 2)=0$.
提公因式,得 $2x(x - 2)+(x - 2)=0$.
再提公因式,得 $(x - 2)(2x + 1)=0$.
$\therefore x - 2=0$ 或 $2x + 1=0$.
$\therefore x_1=2$, $x_2=-\frac{1}{2}$.
运用以上因式分解法解方程: $6x^2 + 7x - 3=0$.
解方程：$2x^2 - 3x - 2 = 0$.
解:拆项,分组,得 $(2x^2 - 4x)+(x - 2)=0$.
提公因式,得 $2x(x - 2)+(x - 2)=0$.
再提公因式,得 $(x - 2)(2x + 1)=0$.
$\therefore x - 2=0$ 或 $2x + 1=0$.
$\therefore x_1=2$, $x_2=-\frac{1}{2}$.
运用以上因式分解法解方程: $6x^2 + 7x - 3=0$.
答案
13. 拆项,分组,得$(6x^2 + 9x) - (2x + 3) = 0$. 提公因式,得$3x(2x + 3) - (2x + 3) = 0$. 再提公因式,得$(2x + 3)(3x - 1) = 0. \therefore 2x + 3 = 0$ 或 $3x - 1 = 0. \therefore x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = \frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题要求模仿示例用拆项分组的因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，将一次项拆分为两个项，使得拆分后两组多项式分别提公因式后，存在公共的多项式因式；之后两次提取公因式，将方程左边转化为两个一次因式乘积的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：拆项，分组，得$(6x^2 + 9x) - (2x + 3) = 0$。
提公因式，得$3x(2x + 3) - (2x + 3) = 0$。
再提公因式，得$(2x + 3)(3x - 1) = 0$。
$\therefore 2x + 3 = 0$ 或 $3x - 1 = 0$。
分别解两个一元一次方程，得$x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = \frac{1}{3}$。
【答案】
$x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = \frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；分组分解法因式分解；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于方法迁移类题目，核心是掌握拆项分组的技巧，通过合理拆分一次项，实现两次提公因式将二次多项式因式分解，进而转化为一元一次方程求解，熟练掌握分组分解的规律后可以快速解题。
【难度系数】
0.7
本题要求模仿示例用拆项分组的因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，将一次项拆分为两个项，使得拆分后两组多项式分别提公因式后，存在公共的多项式因式；之后两次提取公因式，将方程左边转化为两个一次因式乘积的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：拆项，分组，得$(6x^2 + 9x) - (2x + 3) = 0$。
提公因式，得$3x(2x + 3) - (2x + 3) = 0$。
再提公因式，得$(2x + 3)(3x - 1) = 0$。
$\therefore 2x + 3 = 0$ 或 $3x - 1 = 0$。
分别解两个一元一次方程，得$x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = \frac{1}{3}$。
【答案】
$x_1 = -\frac{3}{2}, x_2 = \frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；分组分解法因式分解；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于方法迁移类题目，核心是掌握拆项分组的技巧，通过合理拆分一次项，实现两次提公因式将二次多项式因式分解，进而转化为一元一次方程求解，熟练掌握分组分解的规律后可以快速解题。
【难度系数】
0.7
14. 阅读下列材料：
将$x^2 + 2x - 35$分解因式时，我们可以按下面的方法解答.
解：竖分二次项与常数项，得$x^2 = x · x$，$-35 = (-5) × (+7)$.
交叉相乘，验中项，得
，$7x - 5x = 2x$.
横向写出两因式，得$x^2 + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7)$.
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
乘法原理为：若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$.
试用上述方法和乘法原理解下列方程：
(1) $x^2 + 5x + 4 = 0$；(2) $x^2 - 6x -7 = 0$；(3) $x^2 -6x +8 =0$；(4) $2x^2 +x -6 =0$.
将$x^2 + 2x - 35$分解因式时，我们可以按下面的方法解答.
解：竖分二次项与常数项，得$x^2 = x · x$，$-35 = (-5) × (+7)$.
交叉相乘，验中项，得
，$7x - 5x = 2x$.横向写出两因式，得$x^2 + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7)$.
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
乘法原理为：若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$.
试用上述方法和乘法原理解下列方程：
(1) $x^2 + 5x + 4 = 0$；(2) $x^2 - 6x -7 = 0$；(3) $x^2 -6x +8 =0$；(4) $2x^2 +x -6 =0$.
答案
14. (1) 分解因式，得$(x + 1)(x + 4) = 0. \therefore x + 1 = 0$ 或 $x + 4 = 0. \therefore x_1 = -1, x_2 = -4$
(2) 分解因式，得$(x + 1)(x - 7) = 0. \therefore x + 1 = 0$ 或 $x - 7 = 0. \therefore x_1 = -1, x_2 = 7$
(3) 分解因式，得$(x - 2)(x - 4) = 0. \therefore x - 2 = 0$ 或 $x - 4 = 0. \therefore x_1 = 2, x_2 = 4$
(4) 分解因式，得$(2x - 3)(x + 2) = 0. \therefore 2x - 3 = 0$ 或 $x + 2 = 0. \therefore x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -2$
(2) 分解因式，得$(x + 1)(x - 7) = 0. \therefore x + 1 = 0$ 或 $x - 7 = 0. \therefore x_1 = -1, x_2 = 7$
(3) 分解因式，得$(x - 2)(x - 4) = 0. \therefore x - 2 = 0$ 或 $x - 4 = 0. \therefore x_1 = 2, x_2 = 4$
(4) 分解因式，得$(2x - 3)(x + 2) = 0. \therefore 2x - 3 = 0$ 或 $x + 2 = 0. \therefore x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -2$
解析
【分析】
解题思路如下：首先掌握十字相乘法分解二次三项式的步骤：①竖分二次项和常数项，将二次项拆成两个一次项的乘积，常数项拆成两个常数的乘积；②交叉相乘求和，验证结果是否等于一次项，若相等则拆分正确；③横向写出两个一次因式的乘积，完成因式分解。再利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 对$x^2+5x+4$用十字相乘法分解：二次项$x^2=x· x$，常数项$4=1×4$，交叉相乘得$4x + x = 5x$，符合一次项，因此分解得$(x+1)(x+4)=0$。
根据零乘积原理，得$x+1=0$或$x+4=0$，分别解得$x_1=-1$，$x_2=-4$。
(2) 对$x^2-6x-7$用十字相乘法分解：二次项$x^2=x· x$，常数项$-7=1×(-7)$，交叉相乘得$-7x + x = -6x$，符合一次项，因此分解得$(x+1)(x-7)=0$。
根据零乘积原理，得$x+1=0$或$x-7=0$，分别解得$x_1=-1$，$x_2=7$。
(3) 对$x^2-6x+8$用十字相乘法分解：二次项$x^2=x· x$，常数项$8=(-2)×(-4)$，交叉相乘得$-4x + (-2x) = -6x$，符合一次项，因此分解得$(x-2)(x-4)=0$。
根据零乘积原理，得$x-2=0$或$x-4=0$，分别解得$x_1=2$，$x_2=4$。
(4) 对$2x^2+x-6$用十字相乘法分解：二次项$2x^2=2x· x$，常数项$-6=(-3)×2$，交叉相乘得$2x×2 + x×(-3)=4x-3x=x$，符合一次项，因此分解得$(2x-3)(x+2)=0$。
根据零乘积原理，得$2x-3=0$或$x+2=0$，分别解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=-1, x_2=-4$
(2) $x_1=-1, x_2=7$
(3) $x_1=2, x_2=4$
(4) $x_1=\frac{3}{2}, x_2=-2$
【知识点】
十字相乘法，因式分解法解一元二次方程，零乘积原理
【点评】
本题重点考查十字相乘法的运用，通过因式分解将一元二次方程降次为一元一次方程求解，是解一元二次方程的简便方法，熟练掌握十字相乘法拆分二次项和常数项的技巧，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先掌握十字相乘法分解二次三项式的步骤：①竖分二次项和常数项，将二次项拆成两个一次项的乘积，常数项拆成两个常数的乘积；②交叉相乘求和，验证结果是否等于一次项，若相等则拆分正确；③横向写出两个一次因式的乘积，完成因式分解。再利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 对$x^2+5x+4$用十字相乘法分解：二次项$x^2=x· x$，常数项$4=1×4$，交叉相乘得$4x + x = 5x$，符合一次项，因此分解得$(x+1)(x+4)=0$。
根据零乘积原理，得$x+1=0$或$x+4=0$，分别解得$x_1=-1$，$x_2=-4$。
(2) 对$x^2-6x-7$用十字相乘法分解：二次项$x^2=x· x$，常数项$-7=1×(-7)$，交叉相乘得$-7x + x = -6x$，符合一次项，因此分解得$(x+1)(x-7)=0$。
根据零乘积原理，得$x+1=0$或$x-7=0$，分别解得$x_1=-1$，$x_2=7$。
(3) 对$x^2-6x+8$用十字相乘法分解：二次项$x^2=x· x$，常数项$8=(-2)×(-4)$，交叉相乘得$-4x + (-2x) = -6x$，符合一次项，因此分解得$(x-2)(x-4)=0$。
根据零乘积原理，得$x-2=0$或$x-4=0$，分别解得$x_1=2$，$x_2=4$。
(4) 对$2x^2+x-6$用十字相乘法分解：二次项$2x^2=2x· x$，常数项$-6=(-3)×2$，交叉相乘得$2x×2 + x×(-3)=4x-3x=x$，符合一次项，因此分解得$(2x-3)(x+2)=0$。
根据零乘积原理，得$2x-3=0$或$x+2=0$，分别解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=-1, x_2=-4$
(2) $x_1=-1, x_2=7$
(3) $x_1=2, x_2=4$
(4) $x_1=\frac{3}{2}, x_2=-2$
【知识点】
十字相乘法，因式分解法解一元二次方程，零乘积原理
【点评】
本题重点考查十字相乘法的运用，通过因式分解将一元二次方程降次为一元一次方程求解，是解一元二次方程的简便方法，熟练掌握十字相乘法拆分二次项和常数项的技巧，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
