登录
11. 若－8是8a的一个平方根，则a的值是 【 】
A.－1
B.1
C.－8
D.8
A.－1
B.1
C.－8
D.8
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根。已知-8是8a的一个平方根，可根据定义建立等量关系：-8的平方等于8a，接下来先计算乘方，再解一元一次方程即可求出a的值，也可先根据被开方数为非负数排除负数选项，缩小选择范围。
【解析】
根据平方根的定义：若$x$是$m$的平方根，则$x^2=m$。
已知$-8$是$8a$的一个平方根，因此可得：
$(-8)^2=8a$
计算左侧乘方：$64=8a$
等式两边同时除以8，解得：$a=64÷8=8$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的定义
2.有理数乘方运算
3.一元一次方程求解
【点评】
本题是平方根概念的基础应用题，核心是掌握平方根与被开方数的运算关系，解题时注意负数的平方为正数，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根。已知-8是8a的一个平方根，可根据定义建立等量关系：-8的平方等于8a，接下来先计算乘方，再解一元一次方程即可求出a的值，也可先根据被开方数为非负数排除负数选项，缩小选择范围。
【解析】
根据平方根的定义：若$x$是$m$的平方根，则$x^2=m$。
已知$-8$是$8a$的一个平方根，因此可得：
$(-8)^2=8a$
计算左侧乘方：$64=8a$
等式两边同时除以8，解得：$a=64÷8=8$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的定义
2.有理数乘方运算
3.一元一次方程求解
【点评】
本题是平方根概念的基础应用题，核心是掌握平方根与被开方数的运算关系，解题时注意负数的平方为正数，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9
12. 已知$|b - 4| + (a - 1)^2 = 0$，则$\dfrac{a}{b}$的平方根是 【 】
A.$\pm \dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\pm \dfrac{1}{4}$
A.$\pm \dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\pm \dfrac{1}{4}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用非负数的性质：绝对值和平方数的结果都为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此求出a、b的值；再计算$\dfrac{a}{b}$的结果，最后根据平方根的定义求出它的平方根，对比选项选出答案即可。
【解析】
因为绝对值和偶次幂都具有非负性，即$\vert b-4\vert≥0$，$(a-1)^2≥0$，
又因为$\vert b - 4\vert + (a - 1)^2 = 0$，所以可得：
$\vert b-4\vert=0$，$(a-1)^2=0$，
即$b-4=0$，$a-1=0$，解得$a=1$，$b=4$。
代入得$\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{4}$。
根据平方根的定义：若$x^2=m$，则x叫做m的平方根，因为$(\pm\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，所以$\dfrac{1}{4}$的平方根是$\pm\dfrac{1}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对非负性的应用和平方根概念的理解，易错点是容易误将平方根当成算术平方根，漏选负的结果，学习时要注意区分平方根和算术平方根的差异。
【难度系数】
0.8
解题时先利用非负数的性质：绝对值和平方数的结果都为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此求出a、b的值；再计算$\dfrac{a}{b}$的结果，最后根据平方根的定义求出它的平方根，对比选项选出答案即可。
【解析】
因为绝对值和偶次幂都具有非负性，即$\vert b-4\vert≥0$，$(a-1)^2≥0$，
又因为$\vert b - 4\vert + (a - 1)^2 = 0$，所以可得：
$\vert b-4\vert=0$，$(a-1)^2=0$，
即$b-4=0$，$a-1=0$，解得$a=1$，$b=4$。
代入得$\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{4}$。
根据平方根的定义：若$x^2=m$，则x叫做m的平方根，因为$(\pm\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，所以$\dfrac{1}{4}$的平方根是$\pm\dfrac{1}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对非负性的应用和平方根概念的理解，易错点是容易误将平方根当成算术平方根，漏选负的结果，学习时要注意区分平方根和算术平方根的差异。
【难度系数】
0.8
13. 有下列关于平方根的叙述:①如果$a$存在平方根,那么$a＞0$;②如果$a$有两个不相等的平方根,那么$a＞0$;③如果$a$没有平方根,那么$a＜0$;④如果$a＞0$,那么$a$的平方根也大于0.其中,正确叙述的个数是 【 】
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
本题考查平方根的性质，解题思路为：先明确平方根的核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，再逐一判断4个叙述的正误，统计正确叙述的个数即可得到答案。
【解析】
根据平方根的性质逐个分析：
1. 分析①：若a存在平方根，则a≥0，0也有平方根（为0），因此“a＞0”的表述错误，故①错误；
2. 分析②：只有正数有两个不相等的平方根，0仅1个平方根，负数没有平方根，因此a有两个不等平方根时a＞0，故②正确；
3. 分析③：所有非负数（a≥0）都有平方根，因此a没有平方根时，必然满足a＜0，故③正确；
4. 分析④：若a＞0，它的两个平方根互为相反数，一正一负，并非都大于0，例如4的平方根为±2，故④错误。
综上，正确的叙述为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是忽略0的平方根为0、正数的平方根有正负两个这两类特殊情况，熟练掌握平方根的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根的性质，解题思路为：先明确平方根的核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，再逐一判断4个叙述的正误，统计正确叙述的个数即可得到答案。
【解析】
根据平方根的性质逐个分析：
1. 分析①：若a存在平方根，则a≥0，0也有平方根（为0），因此“a＞0”的表述错误，故①错误；
2. 分析②：只有正数有两个不相等的平方根，0仅1个平方根，负数没有平方根，因此a有两个不等平方根时a＞0，故②正确；
3. 分析③：所有非负数（a≥0）都有平方根，因此a没有平方根时，必然满足a＜0，故③正确；
4. 分析④：若a＞0，它的两个平方根互为相反数，一正一负，并非都大于0，例如4的平方根为±2，故④错误。
综上，正确的叙述为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是忽略0的平方根为0、正数的平方根有正负两个这两类特殊情况，熟练掌握平方根的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
小于或等于100的非负整数中，平方根是整数的数共有
11
个。答案
14. 11
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求：需找出同时满足两个条件的数，一是小于或等于100的非负整数，二是它的平方根为整数。我们可以转化思路：平方根是整数的数本身是完全平方数，即该数可以表示为某个非负整数的平方。我们只需要找出所有平方后结果≤100的非负整数，统计这些整数的个数即可得到答案，注意不要遗漏0这个特殊的非负整数。
【解析】
设满足条件的数的整数平方根为$ k $（$ k $为非负整数），则这个数可表示为$ k^2 $。
根据题意列不等式：$ k^2 ≤ 100 $
因为$ k $是非负整数，解不等式得：$ 0 ≤ k ≤ 10 $
$ k $的可取的值为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，共11个值，每个$ k $对应一个符合要求的数。
【答案】
11
【知识点】
平方根的定义；完全平方数的概念
【点评】
本题考查平方根相关的基础应用，解题核心是将“平方根是整数的数”转化为完全平方数求解，易错点是忽略0也是非负整数，会导致漏算而得到错误结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确题目要求：需找出同时满足两个条件的数，一是小于或等于100的非负整数，二是它的平方根为整数。我们可以转化思路：平方根是整数的数本身是完全平方数，即该数可以表示为某个非负整数的平方。我们只需要找出所有平方后结果≤100的非负整数，统计这些整数的个数即可得到答案，注意不要遗漏0这个特殊的非负整数。
【解析】
设满足条件的数的整数平方根为$ k $（$ k $为非负整数），则这个数可表示为$ k^2 $。
根据题意列不等式：$ k^2 ≤ 100 $
因为$ k $是非负整数，解不等式得：$ 0 ≤ k ≤ 10 $
$ k $的可取的值为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，共11个值，每个$ k $对应一个符合要求的数。
【答案】
11
【知识点】
平方根的定义；完全平方数的概念
【点评】
本题考查平方根相关的基础应用，解题核心是将“平方根是整数的数”转化为完全平方数求解，易错点是忽略0也是非负整数，会导致漏算而得到错误结果。
【难度系数】
0.7
若$a$是16的平方根，$b=-2^2$，则$a+b$的值为
0或-8
.答案
15. 0或-8
解析
【分析】
解题时按照“先求a的取值→再求b的值→分情况计算a+b”的思路推导：首先回忆平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，所以16的平方根有两个，即可得到a的两个可能值；然后计算b的值，注意运算优先级，先算乘方再带负号；最后把a的两个取值分别和b相加，得到两个结果，避免漏解。
【解析】
解：
∵a是16的平方根，且$(±4)^2=16$
∴$a=4$或$a=-4$
∵$b=-2^2$，先计算乘方得$2^2=4$
∴$b=-4$
分两种情况计算$a+b$：
①当$a=4$时，$a+b=4+(-4)=0$
②当$a=-4$时，$a+b=-4+(-4)=-8$
因此$a+b$的值为0或-8。
【答案】
0或-8
【知识点】
平方根的定义、有理数乘方运算、有理数加法运算
【点评】
本题属于基础易错题，易错点有两处：一是容易忽略正数有两个平方根，漏算$a=-4$的情况；二是计算b时混淆$-2^2$和$(-2)^2$的区别，要注意乘方运算优先级高于负号运算，掌握平方根的性质和有理数运算顺序即可正确解题。
【难度系数】
0.6
解题时按照“先求a的取值→再求b的值→分情况计算a+b”的思路推导：首先回忆平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，所以16的平方根有两个，即可得到a的两个可能值；然后计算b的值，注意运算优先级，先算乘方再带负号；最后把a的两个取值分别和b相加，得到两个结果，避免漏解。
【解析】
解：
∵a是16的平方根，且$(±4)^2=16$
∴$a=4$或$a=-4$
∵$b=-2^2$，先计算乘方得$2^2=4$
∴$b=-4$
分两种情况计算$a+b$：
①当$a=4$时，$a+b=4+(-4)=0$
②当$a=-4$时，$a+b=-4+(-4)=-8$
因此$a+b$的值为0或-8。
【答案】
0或-8
【知识点】
平方根的定义、有理数乘方运算、有理数加法运算
【点评】
本题属于基础易错题，易错点有两处：一是容易忽略正数有两个平方根，漏算$a=-4$的情况；二是计算b时混淆$-2^2$和$(-2)^2$的区别，要注意乘方运算优先级高于负号运算，掌握平方根的性质和有理数运算顺序即可正确解题。
【难度系数】
0.6
16. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ 9x^2 - 25 = 0 $;
(2) $ 4(2x - 1)^2 = 36 $.
(1) $ 9x^2 - 25 = 0 $;
(2) $ 4(2x - 1)^2 = 36 $.
答案
(1) $x=\dfrac{5}{3}$,或$x=-\dfrac{5}{3}$ (2) $x=2$,或$x=-1$
解析
【分析】
这两道题都可以利用平方根的定义，用直接开平方法求解。解题思路是先将式子变形为“含未知数的代数式的平方=非负数”的形式，再开平方转化为一元一次方程求解，注意开平方时结果有正负两个，不要漏解。
(1)题先移项将常数项移到等号右侧，再将$x^2$的系数化为1，最后开平方求$x$即可；
(2)题先将$(2x-1)$看作整体，两边同时除以4将整体的平方的系数化为1，再开平方得到关于$x$的一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 解：$9x^2 - 25 = 0$
移项，得 $9x^2 = 25$
系数化为1，得 $x^2 = \dfrac{25}{9}$
开平方，得 $x = \pm \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \pm \dfrac{5}{3}$
即 $x=\dfrac{5}{3}$，或$x=-\dfrac{5}{3}$
(2) 解：$4(2x - 1)^2 = 36$
两边同时除以4，得 $(2x - 1)^2 = 9$
开平方，得 $2x - 1 = \pm 3$
当$2x - 1 = 3$时，解得 $x = 2$
当$2x - 1 = -3$时，解得 $x = -1$
即$x=2$，或$x=-1$
【答案】
(1) $x=\dfrac{5}{3}$，或$x=-\dfrac{5}{3}$
(2) $x=2$，或$x=-1$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题是直接开平方法解方程的基础应用，解题的核心是先将含未知数的平方项单独分离出来，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
这两道题都可以利用平方根的定义，用直接开平方法求解。解题思路是先将式子变形为“含未知数的代数式的平方=非负数”的形式，再开平方转化为一元一次方程求解，注意开平方时结果有正负两个，不要漏解。
(1)题先移项将常数项移到等号右侧，再将$x^2$的系数化为1，最后开平方求$x$即可；
(2)题先将$(2x-1)$看作整体，两边同时除以4将整体的平方的系数化为1，再开平方得到关于$x$的一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 解：$9x^2 - 25 = 0$
移项，得 $9x^2 = 25$
系数化为1，得 $x^2 = \dfrac{25}{9}$
开平方，得 $x = \pm \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \pm \dfrac{5}{3}$
即 $x=\dfrac{5}{3}$，或$x=-\dfrac{5}{3}$
(2) 解：$4(2x - 1)^2 = 36$
两边同时除以4，得 $(2x - 1)^2 = 9$
开平方，得 $2x - 1 = \pm 3$
当$2x - 1 = 3$时，解得 $x = 2$
当$2x - 1 = -3$时，解得 $x = -1$
即$x=2$，或$x=-1$
【答案】
(1) $x=\dfrac{5}{3}$，或$x=-\dfrac{5}{3}$
(2) $x=2$，或$x=-1$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题是直接开平方法解方程的基础应用，解题的核心是先将含未知数的平方项单独分离出来，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
17. 已知一个正数 $ m $ 的两个不相等的平方根是 $ a + 6 $ 与 $ 2a - 9 $.求：
(1) $ a $ 的值；
(2) 这个正数 $ m $；
(3) 关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 - a = 8 $ 的解.
(1) $ a $ 的值；
(2) 这个正数 $ m $；
(3) 关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 - a = 8 $ 的解.
答案
(1) 由题意,得$a+6+2a-9=0$,解得$a=1$ (2) $\because a=1,\therefore m=(1+6)^2=49$ (3) 由(1)(2),得$49x^2-1=8$,解得$x=\pm\dfrac{3}{7}$
解析
【分析】
本题可根据平方根的性质逐步求解：
1. 求a的值：正数的两个不相等平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此列一元一次方程即可求出a；
2. 求正数m：将求出的a值代入其中一个平方根，再对其平方即可得到原正数m；
3. 解方程：将求得的m和a的值代入关于x的方程，通过移项、系数化为1后，直接开平方即可得到方程的解，注意开平方时有正负两个根。
【解析】
(1) 根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$a + 6 + 2a - 9 = 0$
合并同类项，得 $3a - 3 = 0$
解得 $a = 1$
(2) 将$a=1$代入$a+6$，得其中一个平方根为$1+6=7$
因此正数$m = 7^2 = 49$
(3) 将$m=49$，$a=1$代入方程$mx^2 - a = 8$，得：
$49x^2 - 1 = 8$
移项，得 $49x^2 = 9$
系数化为1，得 $x^2 = \frac{9}{49}$
开平方，得 $x = \pm \frac{3}{7}$
【答案】
(1) $a=1$；(2) $m=49$；(3) $x=\pm\dfrac{3}{7}$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，后续代入求值、解方程均为常规运算，解题时要注意正数开平方存在两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题可根据平方根的性质逐步求解：
1. 求a的值：正数的两个不相等平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此列一元一次方程即可求出a；
2. 求正数m：将求出的a值代入其中一个平方根，再对其平方即可得到原正数m；
3. 解方程：将求得的m和a的值代入关于x的方程，通过移项、系数化为1后，直接开平方即可得到方程的解，注意开平方时有正负两个根。
【解析】
(1) 根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$a + 6 + 2a - 9 = 0$
合并同类项，得 $3a - 3 = 0$
解得 $a = 1$
(2) 将$a=1$代入$a+6$，得其中一个平方根为$1+6=7$
因此正数$m = 7^2 = 49$
(3) 将$m=49$，$a=1$代入方程$mx^2 - a = 8$，得：
$49x^2 - 1 = 8$
移项，得 $49x^2 = 9$
系数化为1，得 $x^2 = \frac{9}{49}$
开平方，得 $x = \pm \frac{3}{7}$
【答案】
(1) $a=1$；(2) $m=49$；(3) $x=\pm\dfrac{3}{7}$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，后续代入求值、解方程均为常规运算，解题时要注意正数开平方存在两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
