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7. 若方程$2x - \frac{x + 7}{3} = 1$的解也是关于x的方程$2(a - 3) - 3(x - 5) = 1$的解，则a的值为（
A.$-\frac{32}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.14
D.$-1$
D
）A.$-\frac{32}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.14
D.$-1$
答案
7. D
解析
【分析】
这是一道同解方程的问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$2x - \frac{x + 7}{3} = 1$，得到x的具体值；第二步将求得的x值代入第二个含参数a的方程，把方程转化为关于a的一元一次方程，求解即可得到a的取值。
【解析】
1. 先解方程$2x - \frac{x + 7}{3} = 1$：
两边同时乘3消去分母，得：
$6x - (x + 7) = 3$
去括号，得：
$6x - x - 7 = 3$
合并同类项、移项，得：
$5x = 10$
系数化为1，得：
$x = 2$
2. 把$x=2$代入方程$2(a - 3) - 3(x - 5) = 1$，得：
$2(a - 3) - 3×(2 - 5) = 1$
计算括号内的运算，化简得：
$2(a - 3) + 9 = 1$
移项，得：
$2(a - 3) = -8$
两边同时除以2，得：
$a - 3 = -4$
解得$a = -1$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程的应用
【点评】
本题重点考察同解方程的处理逻辑，核心是先求出已知方程的解，再代入含参数的方程求解参数，掌握一元一次方程的求解步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
这是一道同解方程的问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$2x - \frac{x + 7}{3} = 1$，得到x的具体值；第二步将求得的x值代入第二个含参数a的方程，把方程转化为关于a的一元一次方程，求解即可得到a的取值。
【解析】
1. 先解方程$2x - \frac{x + 7}{3} = 1$：
两边同时乘3消去分母，得：
$6x - (x + 7) = 3$
去括号，得：
$6x - x - 7 = 3$
合并同类项、移项，得：
$5x = 10$
系数化为1，得：
$x = 2$
2. 把$x=2$代入方程$2(a - 3) - 3(x - 5) = 1$，得：
$2(a - 3) - 3×(2 - 5) = 1$
计算括号内的运算，化简得：
$2(a - 3) + 9 = 1$
移项，得：
$2(a - 3) = -8$
两边同时除以2，得：
$a - 3 = -4$
解得$a = -1$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程的应用
【点评】
本题重点考察同解方程的处理逻辑，核心是先求出已知方程的解，再代入含参数的方程求解参数，掌握一元一次方程的求解步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
8. 如图67-G-2，在长方形ABCD中，放入5个形状、大小完全相同的小长方形（空白部分），其中AB=7 cm，BC=11 cm，则阴影部分的面积为（
A.$18\ \mathrm{cm}^2$
B.$21\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$27\ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$18\ \mathrm{cm}^2$
B.$21\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$27\ \mathrm{cm}^2$
答案
8. D
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“整体减空白”的思路：先算大长方形ABCD的面积，再减去5个空白小长方形的总面积即可。首先需要求出小长方形的长和宽：我们观察图形可得两个等量关系：① 竖直方向上，小长方形的长 + 小长方形的宽 = 大长方形的宽AB=7cm；② 水平方向上，小长方形的长 + 3个小长方形的宽 = 大长方形的长BC=11cm。我们可以设小长方形的宽为y cm，用含y的式子表示小长方形的长，再列一元一次方程求解，最后计算面积差即可。
【解析】
设小长方形的宽为$ y\ \mathrm{cm} $，由竖直方向的边长关系可得，小长方形的长为$ (7-y)\ \mathrm{cm} $。
根据水平方向大长方形的边长为11cm，列方程：
$ (7-y) + 3y = 11 $
解方程：
$ 7 + 2y = 11 $
$ 2y = 4 $
$ y = 2 $
则小长方形的长为$ 7 - 2 = 5\ \mathrm{cm} $，单个小长方形的面积为$ 5 × 2 = 10\ \mathrm{cm}^2 $。
大长方形ABCD的面积为$ AB × BC = 7 × 11 = 77\ \mathrm{cm}^2 $。
5个小长方形的总面积为$ 5 × 10 = 50\ \mathrm{cm}^2 $。
因此阴影部分的面积为$ 77 - 50 = 27\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型应用题，解题的核心是从图形中准确挖掘出边长之间的等量关系，将几何问题转化为方程问题求解，掌握“整体减空白”求阴影面积的常用思路很重要。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，可采用“整体减空白”的思路：先算大长方形ABCD的面积，再减去5个空白小长方形的总面积即可。首先需要求出小长方形的长和宽：我们观察图形可得两个等量关系：① 竖直方向上，小长方形的长 + 小长方形的宽 = 大长方形的宽AB=7cm；② 水平方向上，小长方形的长 + 3个小长方形的宽 = 大长方形的长BC=11cm。我们可以设小长方形的宽为y cm，用含y的式子表示小长方形的长，再列一元一次方程求解，最后计算面积差即可。
【解析】
设小长方形的宽为$ y\ \mathrm{cm} $，由竖直方向的边长关系可得，小长方形的长为$ (7-y)\ \mathrm{cm} $。
根据水平方向大长方形的边长为11cm，列方程：
$ (7-y) + 3y = 11 $
解方程：
$ 7 + 2y = 11 $
$ 2y = 4 $
$ y = 2 $
则小长方形的长为$ 7 - 2 = 5\ \mathrm{cm} $，单个小长方形的面积为$ 5 × 2 = 10\ \mathrm{cm}^2 $。
大长方形ABCD的面积为$ AB × BC = 7 × 11 = 77\ \mathrm{cm}^2 $。
5个小长方形的总面积为$ 5 × 10 = 50\ \mathrm{cm}^2 $。
因此阴影部分的面积为$ 77 - 50 = 27\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型应用题，解题的核心是从图形中准确挖掘出边长之间的等量关系，将几何问题转化为方程问题求解，掌握“整体减空白”求阴影面积的常用思路很重要。
【难度系数】
0.6
9. 某超市推出如下优惠方案：
(1)购物款不超过200元不享受优惠；
(2)购物款超过200元但不超过600元，一律享受9折优惠；
(3)购物款超过600元，一律享受8折优惠.
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元.若小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（
A. 522.80元
B. 560.40元
C. 510.40元
D. 472.80元
(1)购物款不超过200元不享受优惠；
(2)购物款超过200元但不超过600元，一律享受9折优惠；
(3)购物款超过600元，一律享受8折优惠.
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元.若小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（
C
）A. 522.80元
B. 560.40元
C. 510.40元
D. 472.80元
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先要明确付款金额不等于商品原价，需要先按照优惠规则反推两次购物的原价，再合并原价按对应优惠计算应付款：第一步先判断第一次付款168元的优惠情况，200元打9折后为180元，168元小于180元，说明第一次没有享受优惠，原价就是168元；第二步判断第二次付款423元的优惠情况，600元打9折后为540元，423元小于540元，说明第二次享受9折优惠，用付款金额除以折扣就能得到原价；第三步把两次原价相加，总金额超过600元，按8折计算即可得到最终应付款。
【解析】
解：①计算两次购物的商品原价：
第一次购物付款168元：
购物满200元打9折的金额为 $200 × 0.9 = 180$ 元，$168 ＜ 180$，说明第一次未享受优惠，商品原价为168元。
第二次购物付款423元：
购物满600元打9折的金额为 $600 × 0.9 = 540$ 元，$423 ＜ 540$，说明第二次享受9折优惠，商品原价为 $423 ÷ 0.9 = 470$ 元。
②两次商品原价总和：$168 + 470 = 638$ 元。
③因为 $638 ＞ 600$，符合8折优惠规则，所以应付款为 $638 × 0.8 = 510.40$ 元。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
分段计费问题，折扣计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中常见的购物优惠场景命题，解题关键是根据不同优惠档位的临界值，由实际付款金额反推商品原价，再合并计算优惠后的总金额，需要注意不要直接将两次付款金额相加计算优惠，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确付款金额不等于商品原价，需要先按照优惠规则反推两次购物的原价，再合并原价按对应优惠计算应付款：第一步先判断第一次付款168元的优惠情况，200元打9折后为180元，168元小于180元，说明第一次没有享受优惠，原价就是168元；第二步判断第二次付款423元的优惠情况，600元打9折后为540元，423元小于540元，说明第二次享受9折优惠，用付款金额除以折扣就能得到原价；第三步把两次原价相加，总金额超过600元，按8折计算即可得到最终应付款。
【解析】
解：①计算两次购物的商品原价：
第一次购物付款168元：
购物满200元打9折的金额为 $200 × 0.9 = 180$ 元，$168 ＜ 180$，说明第一次未享受优惠，商品原价为168元。
第二次购物付款423元：
购物满600元打9折的金额为 $600 × 0.9 = 540$ 元，$423 ＜ 540$，说明第二次享受9折优惠，商品原价为 $423 ÷ 0.9 = 470$ 元。
②两次商品原价总和：$168 + 470 = 638$ 元。
③因为 $638 ＞ 600$，符合8折优惠规则，所以应付款为 $638 × 0.8 = 510.40$ 元。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
分段计费问题，折扣计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中常见的购物优惠场景命题，解题关键是根据不同优惠档位的临界值，由实际付款金额反推商品原价，再合并计算优惠后的总金额，需要注意不要直接将两次付款金额相加计算优惠，避免出错。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分，共18分)
10. 若方程$x^{k-1} +5k=0$是关于x的一元一次方程，则方程的解为
10. 若方程$x^{k-1} +5k=0$是关于x的一元一次方程，则方程的解为
$x=-10$
。答案
10. $x=-10$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程。题干说明方程是关于x的一元一次方程，因此x的指数$k-1$必须等于1，先依据这个条件求出k的取值，再将k代入原方程，解关于x的一元一次方程就能得到最终的解。
【解析】
1. 根据一元一次方程的定义，未知数x的次数为1，可列等式：
$k - 1 = 1$
解得：$k = 2$
2. 把$k=2$代入原方程$x^{k-1} +5k=0$，得：
$x + 5×2 = 0$
整理得：$x + 10 = 0$
3. 解上述方程可得：$x = -10$
【答案】
$x=-10$
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是对一元一次方程基础概念的常规考查，解题核心是先根据定义确定参数的取值，再代入求解未知数，掌握一元一次方程的定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程。题干说明方程是关于x的一元一次方程，因此x的指数$k-1$必须等于1，先依据这个条件求出k的取值，再将k代入原方程，解关于x的一元一次方程就能得到最终的解。
【解析】
1. 根据一元一次方程的定义，未知数x的次数为1，可列等式：
$k - 1 = 1$
解得：$k = 2$
2. 把$k=2$代入原方程$x^{k-1} +5k=0$，得：
$x + 5×2 = 0$
整理得：$x + 10 = 0$
3. 解上述方程可得：$x = -10$
【答案】
$x=-10$
【知识点】
一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是对一元一次方程基础概念的常规考查，解题核心是先根据定义确定参数的取值，再代入求解未知数，掌握一元一次方程的定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
11. (2025伊犁州期末)有一方程$2+▲=3x$，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是$x=2$，那么▲处的数是
$4$
。答案
11. 4
解析
【分析】
本题可根据方程解的定义求解，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以将已知的解x=2代入原方程，此时方程就转化为只含有▲的等式，通过简单计算就能求出▲代表的数。
【解析】
设▲处的数为a，原方程可写为$\boldsymbol{2+a=3x}$。
因为$x=2$是方程的解，将$x=2$代入方程得：
$2 + a = 3×2$
计算等号右侧得：$2 + a = 6$
移项计算得：$a = 6 - 2=4$
因此▲处的数是4。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，将已知解代入原方程求未知参数是方程类问题中常用的解题思路，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
本题可根据方程解的定义求解，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以将已知的解x=2代入原方程，此时方程就转化为只含有▲的等式，通过简单计算就能求出▲代表的数。
【解析】
设▲处的数为a，原方程可写为$\boldsymbol{2+a=3x}$。
因为$x=2$是方程的解，将$x=2$代入方程得：
$2 + a = 3×2$
计算等号右侧得：$2 + a = 6$
移项计算得：$a = 6 - 2=4$
因此▲处的数是4。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，将已知解代入原方程求未知参数是方程类问题中常用的解题思路，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
12. 若三个连续奇数的和为21，设中间的数为x，则可列出的方程为
$x-2+x+x+2=21$
。答案
12. $x-2+x+x+2=21$
解析
【分析】
首先明确连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2。题目已设中间的奇数为x，我们可以先表示出另外两个连续奇数，再根据“三个连续奇数的和为21”的等量关系，将三个数相加等于总和，即可列出对应方程。
【解析】
因为连续奇数之间相差2，中间的数为x，所以较小的相邻奇数为$x-2$，较大的相邻奇数为$x+2$。
根据三个数的和为21，可得方程：$x-2+x+x+2=21$。
【答案】
$x-2+x+x+2=21$
【知识点】
一元一次方程列写；连续奇数的特征
【点评】
本题是基础的列方程题目，解题核心是准确把握连续奇数的差值规律，找准题目给出的等量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
首先明确连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2。题目已设中间的奇数为x，我们可以先表示出另外两个连续奇数，再根据“三个连续奇数的和为21”的等量关系，将三个数相加等于总和，即可列出对应方程。
【解析】
因为连续奇数之间相差2，中间的数为x，所以较小的相邻奇数为$x-2$，较大的相邻奇数为$x+2$。
根据三个数的和为21，可得方程：$x-2+x+x+2=21$。
【答案】
$x-2+x+x+2=21$
【知识点】
一元一次方程列写；连续奇数的特征
【点评】
本题是基础的列方程题目，解题核心是准确把握连续奇数的差值规律，找准题目给出的等量关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
13. 一件夹克衫先按成本价提高60%标价，再以8折出售，获利28元，这件夹克衫的成本价是
$100$
元。答案
13. 100
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“利润=售价-成本”的等量关系。首先设成本价为未知数，再根据题目描述依次计算出提价后的标价、打8折后的实际售价，最后结合获利28元的条件列出方程求解即可。
【解析】
解：设这件夹克衫的成本价是$ x $元。
1. 计算标价：按成本价提高60%后的标价为$ (1+60\%)x=1.6x $元；
2. 计算实际售价：以8折出售的售价为$ 0.8×1.6x=1.28x $元；
3. 列方程求解：根据获利28元可列方程
$ 1.28x - x = 28 $
合并同类项得$ 0.28x=28 $
系数化为1得$ x=100 $
【答案】
100
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题关键是理清成本、标价、折扣、售价、利润之间的数量关系，找准等量关系列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.85
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“利润=售价-成本”的等量关系。首先设成本价为未知数，再根据题目描述依次计算出提价后的标价、打8折后的实际售价，最后结合获利28元的条件列出方程求解即可。
【解析】
解：设这件夹克衫的成本价是$ x $元。
1. 计算标价：按成本价提高60%后的标价为$ (1+60\%)x=1.6x $元；
2. 计算实际售价：以8折出售的售价为$ 0.8×1.6x=1.28x $元；
3. 列方程求解：根据获利28元可列方程
$ 1.28x - x = 28 $
合并同类项得$ 0.28x=28 $
系数化为1得$ x=100 $
【答案】
100
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题关键是理清成本、标价、折扣、售价、利润之间的数量关系，找准等量关系列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.85
