1. (2026·上海中考)如图,菱形ABCD中,E是线段CD上的点,连接BE交对角线AC于点F,且∠FBC=∠CAB.
(1)如果AF=2BF,求证:CE=DE;
(2)如果∠ABE的平分线分别交AC,AD于点G,H,求证:CD·BG=BH·BF.

1. (1)
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ ∠DAC = ∠DCA = ∠CAB = ∠BCA,AB // DC,AB = DC.
∵ ∠FBC = ∠CAB,
∴ ∠FBC = ∠BCA,
∴ FB = FC.
∵ AF = 2BF,
∴ AF = 2CF.
∵ AB // DC,
∴ ∠CEF = ∠ABF.
∵ ∠EFC = ∠AFB,
∴ △AFB∽△CFE,
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{AB}{CE}$,即$\frac{AB}{CE}=2$.
∵ AB = DC,
∴ $\frac{DC}{CE}=2$,即 DC = 2CE,故 CE = DE.
(2) 据(1)可知∠FBC = ∠BCA,
∴ ∠BFA = ∠FBC + ∠BCA = 2∠FBC.
∵ ∠FBC = ∠CAB,
∴ ∠BFA = 2∠CAB.
∵ ∠DAC = ∠DCA = ∠CAB = ∠BCA,∠BAH = ∠DAC + ∠CAB,
∴ ∠BAH = 2∠CAB,
∴ ∠BFA = ∠BAH.
∵ BH 平分∠ABE,
∴ ∠ABH = ∠GBF,
∴ △BFG∽△BAH,
∴ $\frac{BF}{BA}=\frac{BG}{BH}$.
∵ BA = CD,
∴ $\frac{BF}{CD}=\frac{BG}{BH}$,
∴ $CD · BG=BH · BF$.

2.【问题情境】已知正方形ABCD和正方形AEFG,其中$AB=4,\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$.
【初步探究】(1)如图①,正方形AEFG的边AE,AG分别与正方形ABCD的边AB,AD重合.
①填空:FG与CD的数量关系是;
②求证:AF=CF;
【拓展探索】(2)将图①中的正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转.
①如图②,当点E落在AD边上时,连接DG,BE,延长BE与DG交于点H,求DH的长;
②如图③,连接BE,DG,线段BE与DG交于点H,当点H在直线AD左侧时,连接AH,若存在实数$n· AH+DH=BH$,求出n的值.

3.(2025·连云港模拟)(1)基础:如图①,在矩

2. (1) ① $FG=\frac{1}{2}CD$ 解析:
∵ 正方形ABCD和正方形AEFG,
∴ AE=FG,AB=CD,
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{FG}{CD}$.
∵ $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{FG}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴ $FG=\frac{1}{2}CD$.
②
∵ 正方形AEFG的边AE,AG分别与正方形ABCD的边AB,AD重合,
∴ $EF// BC$,
∴ $\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴ $AF=\frac{1}{2}AC$,
∴ $AF=FC$.
(2) ①如图①,延长CD,BH,交于点K.

∵ $AB=4,\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴ $AE=2$,
∴ $DE=AD-AE=2$.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ $AB// CD$,
∴ $△ DEK∽△ AEB$,$△ DHK∽△ GHB$,
∴ $\frac{DK}{AB}=\frac{DE}{AE}$,$\frac{DK}{GB}=\frac{DH}{GH}$,
∴ $\frac{DK}{4}=\frac{2}{2}$,解得 $DK=4$,
∴ $\frac{4}{6}=\frac{DH}{GH}$,
∴ $\frac{DH}{DG}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,即 $DH=\frac{2}{5}DG$.
∵ $DG=\sqrt{AG^2+AD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
∴ $DH=\frac{2}{5}×2\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
②如图②,在BE上取点N,使得BN=DH,连接AN.

∵ 四边形ABCD是正方形,四边形AGFE是正方形,
∴ $AG=AE$,$AB=AD$,$∠ GAE=∠ BAD=90°$,
∴ $∠ GAE+∠ EAD=∠ BAD+∠ EAD$,即 $∠ GAD=∠ EAB$,
∴ $△ ABE ≌ △ ADG$(SAS),
∴ $∠ ABE=∠ ADH$.
∵ $AD=AB$,
∴ $△ ADH ≌ △ ABN$(SAS),
∴ $∠ BAN=∠ DAH$,$AN=AH$.
∵ $∠ DAN+∠ BAN=90°$,
∴ $∠ DAH+∠ DAN=90°$,即 $∠ NAH=90°$,
∴ $△ AHN$为等腰直角三角形,
∴ $HN=\sqrt{2}AH$,
∴ $BH=HN+BN=\sqrt{2}AH+DH$,
∴ $n=\sqrt{2}$.