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1. (2026·亳州期中)关于二次函数$y=x^2 -3x -1$的图象与$x$轴交点个数的情况，下列说法正确的是（
A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
C
）A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
答案
1. C 解析:
∵ 二次函数 $y=x^2-3x-1$,
∴ 判别式 $b^2-4ac = (-3)^2-4×1×(-1)=9+4=13＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根,
∴ 二次函数的图象与x轴有两个交点. 故选 C.
∵ 二次函数 $y=x^2-3x-1$,
∴ 判别式 $b^2-4ac = (-3)^2-4×1×(-1)=9+4=13＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根,
∴ 二次函数的图象与x轴有两个交点. 故选 C.
2. (2025·信阳期中)已知二次函数$y=x^2 -3x +m$（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程$x^2 -3x +m=0$的两实数根是（
A.$x_1=1, x_2=-1$
B.$x_1=1, x_2=2$
C.$x_1=1, x_2=0$
D.$x_1=1, x_2=3$
B
）A.$x_1=1, x_2=-1$
B.$x_1=1, x_2=2$
C.$x_1=1, x_2=0$
D.$x_1=1, x_2=3$
答案
2. B 解析: 将 $x=1$ 代入 $x^2-3x+m=0$,得 $m=2$,
∴ $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$,
∴ 两实数根为 $x_1=1$,$x_2=2$.故选 B.
技法点拨 本题有两种思路解题,一是先求出m的值,进而得到一元二次方程的根;二是先求出对称轴,然后根据对称性得到另一个根.
∴ $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$,
∴ 两实数根为 $x_1=1$,$x_2=2$.故选 B.
技法点拨 本题有两种思路解题,一是先求出m的值,进而得到一元二次方程的根;二是先求出对称轴,然后根据对称性得到另一个根.
3. (2026·盐城校级月考)二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的函数值$y$与自变量$x$的四组对应值如表所示：
则方程$ax^2+bx+c=0$的根的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
则方程$ax^2+bx+c=0$的根的个数是（
C
）A.0
B.1
C.2
D.不能确定
答案
3. C 解析: 利用图表中数据可得出二次函数的大体图象,如图,即图象与x轴交点个数为2个,即方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根的个数是2.故选 C.
4. (1)(2024·宁夏中考)若二次函数$y=2x^2 - x + m$的图象与x轴有交点，则m的取值范围是
(2)若抛物线$y=x^2 + bx +4$与坐标轴只有一个交点，则b的范围是
$m≤\frac{1}{8}$
.(2)若抛物线$y=x^2 + bx +4$与坐标轴只有一个交点，则b的范围是
$-4＜b＜4$
.答案
4. (1) $m≤\frac{1}{8}$ 解析:
∵ 二次函数 $y=2x^2-x+m$ 的图象与x轴有交点,
∴ $b^2-4ac = (-1)^2-4×2×m≥0$,
∴ $1-8m≥0$,解得 $m≤\frac{1}{8}$.
(2) $-4＜b＜4$ 解析:
∵ 抛物线与y轴一定有一个交点,而抛物线 $y=x^2+bx+4$ 与坐标轴只有一个交点,
∴ 抛物线与x轴没有交点(顶点为原点的情况不符合题意),根据题意得 $b^2-4ac=b^2-4×4＜0$,
∴ $-4＜b＜4$.
∵ 二次函数 $y=2x^2-x+m$ 的图象与x轴有交点,
∴ $b^2-4ac = (-1)^2-4×2×m≥0$,
∴ $1-8m≥0$,解得 $m≤\frac{1}{8}$.
(2) $-4＜b＜4$ 解析:
∵ 抛物线与y轴一定有一个交点,而抛物线 $y=x^2+bx+4$ 与坐标轴只有一个交点,
∴ 抛物线与x轴没有交点(顶点为原点的情况不符合题意),根据题意得 $b^2-4ac=b^2-4×4＜0$,
∴ $-4＜b＜4$.
5. 如图为二次函数$y=ax^2 - bx$的图象，若一元二次方程$ax^2 - bx + m = 0$有实数根，则$m$的最小值为
-4
。答案
5. -4 解析: 一元二次方程 $ax^2-bx+m=0$ 有实数根,可以理解为 $y=ax^2-bx$ 和 $y=-m$ 有交点,如图,可得 $-m≤4$,
∴ $m≥-4$,
∴ m的最小值为-4.
6. 已知关于x的二次函数$y=kx^2+(2k-1)x-2$（k为常数）.
(1)求证:函数$y=kx^2+(2k-1)x-2$的图象与x轴有交点;
(2)已知函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号,且距离等于3,求k的值.
(1)求证:函数$y=kx^2+(2k-1)x-2$的图象与x轴有交点;
(2)已知函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号,且距离等于3,求k的值.
答案
6. (1)
∵ $b^2-4ac=(2k-1)^2+8k=4k^2-4k+1+8k=4k^2+4k+1=(2k+1)^2≥0$,
∴ 二次函数 $y=kx^2+(2k-1)x-2$ 的图象与x轴有交点.
(2) 由题意,得 $k≠0$.整理 $kx^2+(2k-1)x-2=0$,得 $kx^2+2kx-x-2=0$,$kx(x+2)-(x+2)=0$,$(kx-1)(x+2)=0$,
∴ $x_1=\frac{1}{k}$,$x_2=-2$.
∵ 函数y的图象与x轴的两个交点间的距离等于3,
∴ $|x_1-x_2|=3$,
∴ $\left|\frac{1}{k}-(-2)\right|=3$,解得 $k=1$ 或 $k=-\frac{1}{5}$.
∵ 函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号,
∴ $k=-\frac{1}{5}$不符合题意,舍去,
∴ $k=1$.
∵ $b^2-4ac=(2k-1)^2+8k=4k^2-4k+1+8k=4k^2+4k+1=(2k+1)^2≥0$,
∴ 二次函数 $y=kx^2+(2k-1)x-2$ 的图象与x轴有交点.
(2) 由题意,得 $k≠0$.整理 $kx^2+(2k-1)x-2=0$,得 $kx^2+2kx-x-2=0$,$kx(x+2)-(x+2)=0$,$(kx-1)(x+2)=0$,
∴ $x_1=\frac{1}{k}$,$x_2=-2$.
∵ 函数y的图象与x轴的两个交点间的距离等于3,
∴ $|x_1-x_2|=3$,
∴ $\left|\frac{1}{k}-(-2)\right|=3$,解得 $k=1$ 或 $k=-\frac{1}{5}$.
∵ 函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号,
∴ $k=-\frac{1}{5}$不符合题意,舍去,
∴ $k=1$.
7. (2026·汕头模拟)已知二次函数$y=(x-2)(x-3)$，若关于$x$的方程$(x-2)(x-3)=m$（$m＜0$）的实数根为$α,β$，且$α＜β$，则下列不等式正确的是（
A.$α＜2,β＜3$
B.$2＜α＜β＜3$
C.$2＜α＜3＜β$
D.$α＜2＜β＜3$
B
）A.$α＜2,β＜3$
B.$2＜α＜β＜3$
C.$2＜α＜3＜β$
D.$α＜2＜β＜3$
答案
7. B 解析:
∵ 二次函数 $y=(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$,二次项系数为1＞0,
∴ 抛物线开口向上,令 $y=0$,则有 $(x-2)(x-3)=0$,解得 $x_1=2$,$x_2=3$,
∴ 抛物线与x轴交点为(2,0)和(3,0),根据开口向上的抛物线的性质,可得当 $y＜0$ 时,$2＜x＜3$,方程 $(x-2)(x-3)=m$ 的实数根 $α,β$ 是抛物线 $y=(x-2)(x-3)$ 与直线 $y=m$ 交点的横坐标,
∵ $m＜0$,即 $y=m＜0$,
∴ 两个交点都落在 $2＜x＜3$ 区间内.又 $α＜β$,
∴ $2＜α＜β＜3$.故选 B.
∵ 二次函数 $y=(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$,二次项系数为1＞0,
∴ 抛物线开口向上,令 $y=0$,则有 $(x-2)(x-3)=0$,解得 $x_1=2$,$x_2=3$,
∴ 抛物线与x轴交点为(2,0)和(3,0),根据开口向上的抛物线的性质,可得当 $y＜0$ 时,$2＜x＜3$,方程 $(x-2)(x-3)=m$ 的实数根 $α,β$ 是抛物线 $y=(x-2)(x-3)$ 与直线 $y=m$ 交点的横坐标,
∵ $m＜0$,即 $y=m＜0$,
∴ 两个交点都落在 $2＜x＜3$ 区间内.又 $α＜β$,
∴ $2＜α＜β＜3$.故选 B.
8. (2024·泸州中考)已知二次函数$y=ax^2+(2a-3)x+a-1$（$x$是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数$a$的取值范围为（
A.$1≤a＜\frac{9}{8}$
B.$0＜a＜\frac{3}{2}$
C.$0＜a＜\frac{9}{8}$
D.$1≤a＜\frac{3}{2}$
A
）A.$1≤a＜\frac{9}{8}$
B.$0＜a＜\frac{3}{2}$
C.$0＜a＜\frac{9}{8}$
D.$1≤a＜\frac{3}{2}$
答案
8. A 解析:
∵ 二次函数 $y=ax^2+(2a-3)x+a-1$ 的图象经过第一、二、四象限,设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2$,由题意可得
$\begin{cases}b^2-4ac=(2a-3)^2-4a(a-1)＞0,\\x_1+x_2=-\frac{2a-3}{a}＞0,\\x_1·x_2=\frac{a-1}{a}≥0,\\a＞0,\end{cases}$
解得 $1≤a＜\frac{9}{8}$.故选 A.
∵ 二次函数 $y=ax^2+(2a-3)x+a-1$ 的图象经过第一、二、四象限,设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2$,由题意可得
$\begin{cases}b^2-4ac=(2a-3)^2-4a(a-1)＞0,\\x_1+x_2=-\frac{2a-3}{a}＞0,\\x_1·x_2=\frac{a-1}{a}≥0,\\a＞0,\end{cases}$
解得 $1≤a＜\frac{9}{8}$.故选 A.
9. (自贡中考)经过$A(2-3b,m)$,$B(4b+c-1,m)$两点的抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx-b^2+2c$（$x$为自变量）与$x$轴有交点，则线段$AB$的长为（
A.10
B.12
C.13
D.15
B
）A.10
B.12
C.13
D.15
答案
9. B 解析:
∵ 经过 $A(2-3b,m)$,$B(4b+c-1,m)$ 两点的抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+bx-b^2+2c$($x$为自变量)与x轴有交点,
∴ $\frac{2-3b+4b+c-1}{2}=-\frac{b}{2×(-\frac{1}{2})}$,$b^2-4×(-\frac{1}{2})×(-b^2+2c)≥0$,
∴ $b=c+1$,$b^2≤4c$,
∴ $(c+1)^2≤4c$,
∴ $(c-1)^2≤0$,
∴ $c-1=0$,解得 $c=1$,
∴ $b=c+1=2$,
∴ $AB=|(4b+c-1)-(2-3b)|=|4b+c-1-2+3b|=|7b+c-3|=|7×2+1-3|=12$.故选 B.
∵ 经过 $A(2-3b,m)$,$B(4b+c-1,m)$ 两点的抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+bx-b^2+2c$($x$为自变量)与x轴有交点,
∴ $\frac{2-3b+4b+c-1}{2}=-\frac{b}{2×(-\frac{1}{2})}$,$b^2-4×(-\frac{1}{2})×(-b^2+2c)≥0$,
∴ $b=c+1$,$b^2≤4c$,
∴ $(c+1)^2≤4c$,
∴ $(c-1)^2≤0$,
∴ $c-1=0$,解得 $c=1$,
∴ $b=c+1=2$,
∴ $AB=|(4b+c-1)-(2-3b)|=|4b+c-1-2+3b|=|7b+c-3|=|7×2+1-3|=12$.故选 B.
