7. 如图，已知 $ AP $ 平分 $ ∠ BAC $，$ CP $ 平分 $ ∠ ACD $，$ ∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ} $。有下列结论：① $ AB // CD $；② $ ∠ ABE + ∠ CDF = 180^{\circ} $；③ $ AC // BD $；④若 $ ∠ 1 = ∠ F $，则 $ ∠ 2 = ∠ E $。其中正确的结论是。(填序号)

7.①②④

【解析】
1. 证明①正确：
因为AP平分∠BAC，所以∠BAC=2∠1；CP平分∠ACD，所以∠ACD=2∠2。
已知∠1+∠2=90°，则∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AB// CD$，故①正确。
2. 证明②正确：
由$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠ABE+∠CDB=180°，又∠CDB与∠CDF是对顶角，即∠CDB=∠CDF，所以∠ABE+∠CDF=180°，故②正确。
3. 判断③错误：
题中无相关条件可证明$AC// BD$，无法推出该结论，故③错误。
4. 证明④正确：
由∠1+∠2=90°，结合三角形内角和及角平分线性质可知∠E+∠F=90°。若∠1=∠F，因为∠1+∠2=90°，则∠2=90°-∠1=90°-∠F=∠E，即∠2=∠E，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查角平分线、平行线的判定与性质，解题需熟练运用相关定理，逐一分析结论，结合图形挖掘隐含条件，准确判断结论的正确性。

8. 如图，$ AD // EF $，$ ∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ} $。
(1) 证明 $ DG // AB $。
(2) 若 $ DG $ 是 $ ∠ ADC $ 的平分线，$ ∠ ADB = 126^{\circ} $，求 $ ∠ B $ 的度数。

8.(1)证明：
∵AD//EF，
∴∠2+∠BAD=180°.
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠BAD.
∴DG//AB.
(2)
∵∠ADB=126°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=54°.
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG=$\frac{1}{2}$∠ADC=27°.
∵DG//AB，
∴∠B=∠CDG=27°.

9. 如图，下面是一种躺椅及其结构示意图，扶手 $ AB $ 与底座 $ CD $ 都平行于地面，前支架 $ OE $ 与后支架 $ OF $ 分别与 $ CD $ 相交于点 $ G $ 和点 $ D $，$ AB $ 与 $ DM $ 相交于点 $ N $，$ ∠ EOF = 90^{\circ} $，$ ∠ ODC = 32^{\circ} $。
(1) 求扶手 $ AB $ 与支架 $ OE $ 的夹角 $ ∠ AOE $ 的度数。
(2) 若扶手 $ AB $ 与靠背 $ DM $ 的夹角 $ ∠ BNM = 58^{\circ} $，证明 $ OE // DM $。

9.(1)
∵AB//CD，且∠ODC=32°，
∴∠BOD=∠ODC=32°.
∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=180°-∠EOF-∠BOD=180°-90°-32°=58°.
(2)
∵∠BNM=58°，
∴∠AND=∠BNM=58°.
∵∠AOE=58°，
∴∠AOE=∠AND.
∴OE//DM.