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4. 在△ABC中,a=3 cm,b=4 cm,c=5 cm,显然a²+b²=c².△ABC是直角三角形吗？我们可以按以下步骤进行解答说明.
(1) 画直角三角形A'B'C',使A'C'=4 cm,B'C'=3 cm,∠A'C'B'=90°.由勾股定理可知,Rt△A'B'C'的斜边A'B'=cm.
(2) 在△A'B'C'与△ABC中,
$\{\begin{array}{l} A'C'=AC,\\ \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_,\\ \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
∴△A'B'C'△ABC.()
∴∠C==°.
()
即△ABC是直角三角形.
(3)结论:如果三角形的三边长a,b,c满足a² + b² = c²,那么这个三角形是.
(1) 画直角三角形A'B'C',使A'C'=4 cm,B'C'=3 cm,∠A'C'B'=90°.由勾股定理可知,Rt△A'B'C'的斜边A'B'=cm.
(2) 在△A'B'C'与△ABC中,
$\{\begin{array}{l} A'C'=AC,\\ \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_,\\ \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
∴△A'B'C'△ABC.()
∴∠C==°.
()
即△ABC是直角三角形.
(3)结论:如果三角形的三边长a,b,c满足a² + b² = c²,那么这个三角形是.
答案
(1) 5
(2) B'C' = BC，A'B' = AB，≌，SSS，∠C'，90，全等三角形的对应角相等
(3) 直角三角形
(2) B'C' = BC，A'B' = AB，≌，SSS，∠C'，90，全等三角形的对应角相等
(3) 直角三角形
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勾股定理的逆定理:
.
勾股定理的逆定理:
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答案
勾股定理的逆定理：如果三角形三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形，其中$c$为斜边（最长边）。
1. 判断由线段a,b,c组成的三角形是否为直角三角形.
(1)a=15,b=8,c=17;
(2)a=1,b=$\sqrt{2}$,c=$\sqrt{3}$;
(3)a=1.5,b=2,c=2.5;
(4)-a=$\sqrt{3}$,b=2,c=$\sqrt{7}$.
(1)a=15,b=8,c=17;
(2)a=1,b=$\sqrt{2}$,c=$\sqrt{3}$;
(3)a=1.5,b=2,c=2.5;
(4)-a=$\sqrt{3}$,b=2,c=$\sqrt{7}$.
答案
(1)
因为$15^{2}+8^{2}=225 + 64=289=17^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以由线段$a$，$b$，$c$组成的三角形是直角三角形。
(2)
因为$1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 + 2=3=(\sqrt{3})^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以由线段$a$，$b$，$c$组成的三角形是直角三角形。
(3)
因为$1.5^{2}+2^{2}=2.25+4 = 6.25=2.5^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以由线段$a$，$b$，$c$组成的三角形是直角三角形。
(4)
因为$(\sqrt{3})^{2}+2^{2}=3 + 4=7=(\sqrt{7})^{2}$，这里应该是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（题目中$-a=\sqrt{3}$，取$a =-\sqrt{3}$的绝对值相关计算，不影响三边关系判断），所以由线段（取绝对值对应长度）组成的三角形是直角三角形。
因为$15^{2}+8^{2}=225 + 64=289=17^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以由线段$a$，$b$，$c$组成的三角形是直角三角形。
(2)
因为$1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 + 2=3=(\sqrt{3})^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以由线段$a$，$b$，$c$组成的三角形是直角三角形。
(3)
因为$1.5^{2}+2^{2}=2.25+4 = 6.25=2.5^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以由线段$a$，$b$，$c$组成的三角形是直角三角形。
(4)
因为$(\sqrt{3})^{2}+2^{2}=3 + 4=7=(\sqrt{7})^{2}$，这里应该是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（题目中$-a=\sqrt{3}$，取$a =-\sqrt{3}$的绝对值相关计算，不影响三边关系判断），所以由线段（取绝对值对应长度）组成的三角形是直角三角形。
2. 在△ABC中,AC=b,AB=c,BC=a,则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是()
A. a² = c² + b²
B. a=1,b=$\sqrt{3}$,c=4
C. ∠B - ∠C = ∠A
D. ∠A=40°,∠B=50°
注意:判断一个三角形是否为直角三角形的方法:
(1) 看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
(2) 看两锐角和是否等于90°.
A. a² = c² + b²
B. a=1,b=$\sqrt{3}$,c=4
C. ∠B - ∠C = ∠A
D. ∠A=40°,∠B=50°
注意:判断一个三角形是否为直角三角形的方法:
(1) 看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
(2) 看两锐角和是否等于90°.
答案
B
解析：
A. a² = c² + b²，满足勾股定理逆定理，能判定直角三角形。
B. a=1，b=$\sqrt{3}$，c=4，1² + ($\sqrt{3}$)² = 1 + 3 = 4，4² = 16，4 ≠ 16，不能判定。
C. ∠B - ∠C = ∠A，∠A + ∠B + ∠C = 180°，则∠B - ∠C + ∠B + ∠C = 180°，2∠B = 180°，∠B = 90°，能判定。
D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=180° - 40° - 50° = 90°，能判定。
解析：
A. a² = c² + b²，满足勾股定理逆定理，能判定直角三角形。
B. a=1，b=$\sqrt{3}$，c=4，1² + ($\sqrt{3}$)² = 1 + 3 = 4，4² = 16，4 ≠ 16，不能判定。
C. ∠B - ∠C = ∠A，∠A + ∠B + ∠C = 180°，则∠B - ∠C + ∠B + ∠C = 180°，2∠B = 180°，∠B = 90°，能判定。
D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=180° - 40° - 50° = 90°，能判定。
3. 小惠同学用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段,她用一只手同时握住第1个结和第31个结,小淇同学拉住第6个结,这时小婷同学应该拉住第()个结,拉紧绳子后才会得到一个以第1个结为直角顶点的直角三角形.
A.16
B.17
C.18
D.19
A.16
B.17
C.18
D.19
答案
D
解析
设每段绳子长度为1，第1个结为直角顶点，小淇拉住第6个结，距离为5。设小婷拉住第n个结，距离第1个结为(n-1)，距离第6个结为|n-6|。根据勾股定理，直角边为5和12，斜边13时满足5²+12²=13²。若第6个结到第n个结为13段，则n=6+13=19，此时第1个结到第19个结为18段，5²+12²=13²（12为第19个结到第31个结的距离：31-19=12）。
4. 在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若$(a-1)^2+|b-\sqrt{10}|+\sqrt{c-3}=0$,则这个三角形一定是()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
答案
B
解析
由于$(a - 1)^{2}+\vert b - \sqrt{10}\vert+\sqrt{c - 3}=0$，
根据平方数、绝对值、算术平方根的非负性可知：
$\begin{cases}a - 1 = 0\\b-\sqrt{10}=0\\c - 3 = 0\end{cases}$
解得$a = 1$，$b=\sqrt{10}$，$c = 3$。
因为$a^{2}+c^{2}=1^{2}+3^{2}=1 + 9 = 10=(\sqrt{10})^{2}=b^{2}$，
满足勾股定理的逆定理，所以这个三角形是直角三角形。
根据平方数、绝对值、算术平方根的非负性可知：
$\begin{cases}a - 1 = 0\\b-\sqrt{10}=0\\c - 3 = 0\end{cases}$
解得$a = 1$，$b=\sqrt{10}$，$c = 3$。
因为$a^{2}+c^{2}=1^{2}+3^{2}=1 + 9 = 10=(\sqrt{10})^{2}=b^{2}$，
满足勾股定理的逆定理，所以这个三角形是直角三角形。
