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【变式训练 2】
已知：如图，点$B$，$F$，$E$，$C$在同一条直线上，且$AB// CD$，$AB = DC$，$BF = CE$。求证：$△ ABE≌△ DCF$。
已知：如图，点$B$，$F$，$E$，$C$在同一条直线上，且$AB// CD$，$AB = DC$，$BF = CE$。求证：$△ ABE≌△ DCF$。
答案
证明：
∵AB//CD，
∴∠B=∠C。
∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF。
在△ABE和△DCF中，
∵{AB=DC，∠B=∠C，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)。
∵AB//CD，
∴∠B=∠C。
∵BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF。
在△ABE和△DCF中，
∵{AB=DC，∠B=∠C，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)。
1. 下列说法错误的是(
A.全等三角形的对应边相等
B.全等三角形的对应角相等
C.若两个三角形全等且有公共点，则公共点就是它们的对应点
D.若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角
C
)A.全等三角形的对应边相等
B.全等三角形的对应角相等
C.若两个三角形全等且有公共点，则公共点就是它们的对应点
D.若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角
答案
1. C
2. 如图，$△ ABC≌△ AEF$。已知下列结论：
①$AC = AF$；
②$∠ B=∠ E$；
③$AE = BC$；
④$∠ EFB=∠ C$。其中正确的结论有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
①$AC = AF$；
②$∠ B=∠ E$；
③$AE = BC$；
④$∠ EFB=∠ C$。其中正确的结论有(
B
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
2. B
解析
证明：
∵△ABC≌△AEF，
∴对应边相等：AB=AE，AC=AF，BC=EF；
对应角相等：∠B=∠E，∠C=∠AFE，∠BAC=∠EAF。
①AC=AF：正确（对应边相等）；
②∠B=∠E：正确（对应角相等）；
③AE=BC：错误（AE=AB≠BC）；
④∠EFB=∠C：错误（∠EFB≠∠AFE=∠C）。
正确结论为①②，共2个。
B
∵△ABC≌△AEF，
∴对应边相等：AB=AE，AC=AF，BC=EF；
对应角相等：∠B=∠E，∠C=∠AFE，∠BAC=∠EAF。
①AC=AF：正确（对应边相等）；
②∠B=∠E：正确（对应角相等）；
③AE=BC：错误（AE=AB≠BC）；
④∠EFB=∠C：错误（∠EFB≠∠AFE=∠C）。
正确结论为①②，共2个。
B
3. 如图，在$2×2$的正方形网格中，点$A$，$B$，$C$，$D$均在小正方形的顶点上，则$∠ BAD+∠ BCD$的度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
B
)A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
答案
3. B
解析
解：设小正方形边长为1，连接BD。
在$Rt△ ABD$中，$AB=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$；
在$Rt△ BCD$中，$BC=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2}$。
$\because AB=BD=\sqrt{2}$，$CD=BD=\sqrt{2}$，
$\therefore △ ABD$和$△ CDB$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BAD = ∠ ADB$，$∠ BCD = ∠ CBD$。
在$△ BDE$（E为BD与AC交点）中，$∠ ADB + ∠ CBD = 45°$，
$\therefore ∠ BAD + ∠ BCD = 45°$。
答案：B
在$Rt△ ABD$中，$AB=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$；
在$Rt△ BCD$中，$BC=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2}$。
$\because AB=BD=\sqrt{2}$，$CD=BD=\sqrt{2}$，
$\therefore △ ABD$和$△ CDB$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BAD = ∠ ADB$，$∠ BCD = ∠ CBD$。
在$△ BDE$（E为BD与AC交点）中，$∠ ADB + ∠ CBD = 45°$，
$\therefore ∠ BAD + ∠ BCD = 45°$。
答案：B
4. 如图，已知$∠ B = 30^{\circ}$，$∠ D = 40^{\circ}$，$∠ BAD = 2∠ C$，则$∠ C$的度数为
70°
。答案
4. 70°
5. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$AE⊥ BD$于点$E$。若$∠ ABC + 4∠ C = 180^{\circ}$，$AB = 5$，$BC = 12$，则$AE=$
$\frac{7}{2}$
。答案
5. $\frac{7}{2}$
解析
证明：延长$AE$交$BC$于点$F$。
因为$BD$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABE = ∠ FBE$。
因为$AE ⊥ BD$，所以$∠ AEB = ∠ FEB = 90°$。
在$△ ABE$和$△ FBE$中，
$\begin{cases} ∠ ABE = ∠ FBE \\BE = BE \\∠ AEB = ∠ FEB \end{cases}$
所以$△ ABE ≌ △ FBE(ASA)$，
所以$AE = FE$，$AB = BF = 5$。
所以$CF = BC - BF = 12 - 5 = 7$。
设$∠ C = α$，则$∠ ABC = 180° - 4α$，
所以$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - (180° - 4α) - α = 3α$。
因为$△ ABE ≌ △ FBE$，所以$∠ BAF = ∠ BFA$。
因为$∠ BFA = ∠ C + ∠ CAF = α + ∠ CAF$，
$∠ BAC = ∠ BAF + ∠ CAF = ∠ BFA + ∠ CAF = α + 2∠ CAF = 3α$，
所以$∠ CAF = α$，所以$∠ CAF = ∠ C$，
所以$AF = CF = 7$。
因为$AE = FE$，所以$AE = \frac{1}{2}AF = \frac{7}{2}$。
$\frac{7}{2}$
因为$BD$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABE = ∠ FBE$。
因为$AE ⊥ BD$，所以$∠ AEB = ∠ FEB = 90°$。
在$△ ABE$和$△ FBE$中，
$\begin{cases} ∠ ABE = ∠ FBE \\BE = BE \\∠ AEB = ∠ FEB \end{cases}$
所以$△ ABE ≌ △ FBE(ASA)$，
所以$AE = FE$，$AB = BF = 5$。
所以$CF = BC - BF = 12 - 5 = 7$。
设$∠ C = α$，则$∠ ABC = 180° - 4α$，
所以$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - (180° - 4α) - α = 3α$。
因为$△ ABE ≌ △ FBE$，所以$∠ BAF = ∠ BFA$。
因为$∠ BFA = ∠ C + ∠ CAF = α + ∠ CAF$，
$∠ BAC = ∠ BAF + ∠ CAF = ∠ BFA + ∠ CAF = α + 2∠ CAF = 3α$，
所以$∠ CAF = α$，所以$∠ CAF = ∠ C$，
所以$AF = CF = 7$。
因为$AE = FE$，所以$AE = \frac{1}{2}AF = \frac{7}{2}$。
$\frac{7}{2}$
6. 如图，在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ B$，$AB = 7\ \mathrm{cm}$，$AD = BC = 5\ \mathrm{cm}$。点$E$在线段$AB$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动，同时点$F$在线段$BC$上由点$B$向点$C$运动，设运动时间为$t\ \mathrm{s}$。当$△ ADE$与以$B$，$E$，$F$为顶点的三角形全等时，点$F$的运动速度为
2或$\frac{20}{7}$
$\mathrm{cm/s}$。答案
6. 2或$\frac{20}{7}$
解析
解：由题意得，$AE=2t\ \mathrm{cm}$，$BE=(7-2t)\ \mathrm{cm}$，设点$F$的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$，则$BF=vt\ \mathrm{cm}$。
情况1： $△ ADE ≌ △ BEF$
则$AD=BE$，$AE=BF$
$\because AD=5\ \mathrm{cm}$
$\therefore 5=7-2t$，解得$t=1$
$\because AE=BF$，即$2t=vt$
$\because t=1≠0$，$\therefore v=2$
情况2： $△ ADE ≌ △ BFE$
则$AD=BF$，$AE=BE$
$\because AE=BE$，$AB=7\ \mathrm{cm}$
$\therefore 2t=7-2t$，解得$t=\frac{7}{4}$
$\because AD=BF$，即$5=vt$
$\therefore v=\frac{5}{t}=\frac{5}{\frac{7}{4}}=\frac{20}{7}$
综上，点$F$的运动速度为$2$或$\frac{20}{7}\ \mathrm{cm/s}$。
答案：$2$或$\frac{20}{7}$
情况1： $△ ADE ≌ △ BEF$
则$AD=BE$，$AE=BF$
$\because AD=5\ \mathrm{cm}$
$\therefore 5=7-2t$，解得$t=1$
$\because AE=BF$，即$2t=vt$
$\because t=1≠0$，$\therefore v=2$
情况2： $△ ADE ≌ △ BFE$
则$AD=BF$，$AE=BE$
$\because AE=BE$，$AB=7\ \mathrm{cm}$
$\therefore 2t=7-2t$，解得$t=\frac{7}{4}$
$\because AD=BF$，即$5=vt$
$\therefore v=\frac{5}{t}=\frac{5}{\frac{7}{4}}=\frac{20}{7}$
综上，点$F$的运动速度为$2$或$\frac{20}{7}\ \mathrm{cm/s}$。
答案：$2$或$\frac{20}{7}$
7. 已知：如图，$AD = AE$，$AB = AC$。
(1) 求证：$△ ABE≌△ ACD$；
(2) 若$∠ A = 40^{\circ}$，$∠ BEC = 70^{\circ}$，求$∠ C$的度数。
(1) 求证：$△ ABE≌△ ACD$；
(2) 若$∠ A = 40^{\circ}$，$∠ BEC = 70^{\circ}$，求$∠ C$的度数。
答案
7. 解：(1)在△ABE和△ACD中，
∵{AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)。
(2)
∵∠BEC=∠A+∠B，∠A=40°，∠BEC=70°，
∴∠B=30°。
由(1)知△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠C。
∴∠C=30°。
∵{AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)。
(2)
∵∠BEC=∠A+∠B，∠A=40°，∠BEC=70°，
∴∠B=30°。
由(1)知△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠C。
∴∠C=30°。
