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1. 已知$a + b = 4$，$a - b = 3$，则$a^{2}-b^{2}=$
12
.答案
1. 12
2. 把多项式$4ax^{2}-ay^{2}$分解因式的结果是
$ a(2x + y) · (2x - y) $
.答案
2. $ a(2x + y) · (2x - y) $
3. 分解因式：$-m^{3}+4m =$
$ m(2 + m)(2 - m) $
.答案
3. $ m(2 + m)(2 - m) $
4. 分解因式：$3m^{3}-18m^{2}n + 27mn^{2}=$
$ 3m(m - 3n)^2 $
.答案
4. $ 3m(m - 3n)^2 $
5. 分解因式：$12xy - x^{2}-36y^{2}=$
$ -(x - 6y)^2 $
.答案
5. $ -(x - 6y)^2 $
6. 分解因式：$2(x - 2)^{2}-6(2 - x)=$
$ 2(x - 2)(x + 1) $
.答案
6. $ 2(x - 2)(x + 1) $
7. 分解因式：
(1)$4x^{2}-24xy + 36y^{2}=$
(2)$(x^{2}-y^{2})^{2}-64x^{2}=$
(3)$a^{2}(x - y)^{3}-b(y - x)^{2}=$
(4)$1 - x^{2}-y^{2}+2xy =$
(1)$4x^{2}-24xy + 36y^{2}=$
$ (x - 3y)^2 $
；(2)$(x^{2}-y^{2})^{2}-64x^{2}=$
$ (x^2 - y^2 + 8x)(x^2 - y^2 - 8x) $
；(3)$a^{2}(x - y)^{3}-b(y - x)^{2}=$
$ (x - y)^2(a^2x - a^2y - b) $
；(4)$1 - x^{2}-y^{2}+2xy =$
$ (1 + x - y)(1 - x + y) $
；答案
7. (1)$ (x - 3y)^2 $
(2)$ (x^2 - y^2 + 8x)(x^2 - y^2 - 8x) $
(3)$ (x - y)^2(a^2x - a^2y - b) $
(4)$ (1 + x - y)(1 - x + y) $
(2)$ (x^2 - y^2 + 8x)(x^2 - y^2 - 8x) $
(3)$ (x - y)^2(a^2x - a^2y - b) $
(4)$ (1 + x - y)(1 - x + y) $
8. 已知$x - y = 1$，$xy = 2$. 求$x^{3}y - 2x^{2}y^{2}+xy^{3}$的值.
答案
解：
先对原式因式分解：
$x^3y - 2x^2y^2 + xy^3$
$=xy(x^2 - 2xy + y^2)$
$=xy(x - y)^2$
将$x - y = 1$，$xy = 2$代入得：
原式$=2×1^2 = 2×1 = 2$
先对原式因式分解：
$x^3y - 2x^2y^2 + xy^3$
$=xy(x^2 - 2xy + y^2)$
$=xy(x - y)^2$
将$x - y = 1$，$xy = 2$代入得：
原式$=2×1^2 = 2×1 = 2$
9. 计算下列代数式的值：
$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})···(1-\frac{1}{100^{2}})$.
$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})···(1-\frac{1}{100^{2}})$.
答案
解：
利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，将原式中每一项变形：
$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})=\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}$
则原式可展开为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})···(1-\frac{1}{100^2})\\=&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})···(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\end{aligned}$
观察发现中间项可相互约分，最终剩余：
$\frac{1}{2}×\frac{101}{100}=\frac{101}{200}$
故该代数式的值为$\boldsymbol{\frac{101}{200}}$。
利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，将原式中每一项变形：
$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})=\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}$
则原式可展开为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})···(1-\frac{1}{100^2})\\=&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})···(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\end{aligned}$
观察发现中间项可相互约分，最终剩余：
$\frac{1}{2}×\frac{101}{100}=\frac{101}{200}$
故该代数式的值为$\boldsymbol{\frac{101}{200}}$。
10. 解方程组$\begin{cases}x + 2y=\frac{5}{2004},\\2y - x=\frac{2004}{3}.\end{cases}$求代数式$x^{2}-4y^{2}$的值.
答案
解：
先对代数式利用平方差公式变形：
$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x + 2y)(x - 2y) = -(x + 2y)(2y - x)$
已知$\begin{cases}x + 2y=\frac{5}{2004},\\2y - x=\frac{2004}{3}.\end{cases}$，代入得：
$-(x + 2y)(2y - x) = -\frac{5}{2004} × \frac{2004}{3} = -\frac{5}{3}$
故代数式$x^2 - 4y^2$的值为$\boldsymbol{-\frac{5}{3}}$。
先对代数式利用平方差公式变形：
$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x + 2y)(x - 2y) = -(x + 2y)(2y - x)$
已知$\begin{cases}x + 2y=\frac{5}{2004},\\2y - x=\frac{2004}{3}.\end{cases}$，代入得：
$-(x + 2y)(2y - x) = -\frac{5}{2004} × \frac{2004}{3} = -\frac{5}{3}$
故代数式$x^2 - 4y^2$的值为$\boldsymbol{-\frac{5}{3}}$。
11. 已知$a = 10000$，$b = 9999$. 求$a^{2}+b^{2}-2ab - 6a + 6b + 9$的值.
答案
解：
先对原式进行因式分解：
$a^{2}+b^{2}-2ab - 6a + 6b + 9$
$=(a-b)^2 -6(a-b)+9$
$=(a-b-3)^2$
将$a = 10000$，$b = 9999$代入，$a-b=10000-9999=1$，
则原式$=(1-3)^2=(-2)^2=4$
最终结果为$\boldsymbol{4}$
先对原式进行因式分解：
$a^{2}+b^{2}-2ab - 6a + 6b + 9$
$=(a-b)^2 -6(a-b)+9$
$=(a-b-3)^2$
将$a = 10000$，$b = 9999$代入，$a-b=10000-9999=1$，
则原式$=(1-3)^2=(-2)^2=4$
最终结果为$\boldsymbol{4}$
12. 已知$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三条边长，当$b^{2}+2ab = c^{2}+2ac$时，试判断$△ ABC$属于哪一类三角形.
答案
解：
已知$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三条边长，且$b^{2}+2ab = c^{2}+2ac$，
对等式移项得：
$b^{2}-c^{2}+2ab-2ac=0$，
对左边因式分解：
$(b-c)(b+c)+2a(b-c)=0$，
提取公因式$(b-c)$得：
$(b-c)(b+c+2a)=0$，
因为$a$，$b$，$c$是三角形的边长，所以$a＞0$，$b＞0$，$c＞0$，则$b+c+2a＞0$，
因此$b-c=0$，即$b=c$，
所以$△ ABC$是等腰三角形。
已知$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三条边长，且$b^{2}+2ab = c^{2}+2ac$，
对等式移项得：
$b^{2}-c^{2}+2ab-2ac=0$，
对左边因式分解：
$(b-c)(b+c)+2a(b-c)=0$，
提取公因式$(b-c)$得：
$(b-c)(b+c+2a)=0$，
因为$a$，$b$，$c$是三角形的边长，所以$a＞0$，$b＞0$，$c＞0$，则$b+c+2a＞0$，
因此$b-c=0$，即$b=c$，
所以$△ ABC$是等腰三角形。
阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等. 但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$x^{2}-4y^{2}+2x-4y$
$=(x^{2}-4y^{2})+(2x-4y)······$分组
$=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)······$组内分解因式
$=(x-2y)(x+2y+2)······$整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边，，满足，判断的形状并说明理由.
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等. 但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$x^{2}-4y^{2}+2x-4y$
$=(x^{2}-4y^{2})+(2x-4y)······$分组
$=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)······$组内分解因式
$=(x-2y)(x+2y+2)······$整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边，，满足，判断的形状并说明理由.
答案
解：(1)$ 9x^2 - 9x + 3y - y^2 $
$ = (9x^2 - y^2) + (-9x + 3y) $
$ = (3x + y)(3x - y) - 3(3x - y) $
$ = (3x - y)(3x + y - 3) $;
(2)$ △ ABC $为等腰三角形.
理由：$ \because a^2 - b^2 - ac + bc = 0 $，
$ \therefore (a + b)(a - b) - c(a - b) = 0 $，
$ \therefore (a - b)(a + b - c) = 0 $，
$ \therefore a - b = 0 $或$ a + b - c = 0 $，
$ \because △ ABC $三边$ a $、$ b $、$ c $都大于0，
$ \therefore a + b - c ＞ 0 $.
$ \therefore a - b = 0 $，即$ a = b $，
$ \therefore △ ABC $为等腰三角形.
$ = (9x^2 - y^2) + (-9x + 3y) $
$ = (3x + y)(3x - y) - 3(3x - y) $
$ = (3x - y)(3x + y - 3) $;
(2)$ △ ABC $为等腰三角形.
理由：$ \because a^2 - b^2 - ac + bc = 0 $，
$ \therefore (a + b)(a - b) - c(a - b) = 0 $，
$ \therefore (a - b)(a + b - c) = 0 $，
$ \therefore a - b = 0 $或$ a + b - c = 0 $，
$ \because △ ABC $三边$ a $、$ b $、$ c $都大于0，
$ \therefore a + b - c ＞ 0 $.
$ \therefore a - b = 0 $，即$ a = b $，
$ \therefore △ ABC $为等腰三角形.
