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1. 作已知角的平分线
已知$∠ AOB$，求作$∠ AOB$的平分线.
作法:如图,已知$∠ AOB$.
(1)以点$O$为圆心,适当长为半径作弧,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$.
(2)分别以点$M,N$为圆心,
(3)作射线$OC$.射线$OC$即为$∠ AOB$的平分线.
2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离
3. 一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即:(1)明确命题中的
已知$∠ AOB$，求作$∠ AOB$的平分线.
作法:如图,已知$∠ AOB$.
(1)以点$O$为圆心,适当长为半径作弧,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$.
(2)分别以点$M,N$为圆心,
大于$\frac{1}{2}MN$
的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$的内部
相交于点$C$.(3)作射线$OC$.射线$OC$即为$∠ AOB$的平分线.
2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离
相等
.3. 一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即:(1)明确命题中的
已知
和求证
;(2)根据题意,画出图形
,并用数学符号表示已知
和求证
;(3)经过分析,找出由已知
推出要证的结论
的途径,写出证明
过程.答案
1.(2)大于$\frac{1}{2}MN$ 内部
2.相等
3.(1)已知 求证
(2)图形 已知 求证
(3)已知 结论 证明
2.相等
3.(1)已知 求证
(2)图形 已知 求证
(3)已知 结论 证明
典例1 如图，已知$∠ AOB$内一点$C$及线段$a$，在$∠ AOB$内求作一点$P$，使点$P$到射线$OA$和$OB$的距离相等，且$PC=a$。
答案
解：
作法如下：
1. 用尺规作∠AOB的角平分线OD；
2. 以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，在∠AOB内部交射线OD于点P。
点P即为所求作的点。
作法如下：
1. 用尺规作∠AOB的角平分线OD；
2. 以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，在∠AOB内部交射线OD于点P。
点P即为所求作的点。
举一反三 如图，$∠ A = 90°$.利用直尺和圆规，在边AC上找一点P，使点P到边AB和BC的距离相等. 
答案
作法 如图.
(1)以点 B 为圆心,适当长为半径作弧,交 BA 于点 M,交 BC 于点 N;
(2)分别以点 M,N 为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ABC$内部相交于点 D;
(3)作射线 BD,交 AC 于点 P. 点 P 就是所求作的点.
典例2 如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3 cm，BC=10 cm，求△DBC的面积。
答案
解：过点D作DE⊥BC于点E。
∵ ∠A=90°，
∴ DA⊥AB。
又∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴ DE=AD=3 cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ $S_{△ DBC} = \frac{1}{2} × BC × DE = \frac{1}{2} × 10 × 3 = 15\ \mathrm{cm}^2$。
答：△DBC的面积为15平方厘米。
∵ ∠A=90°，
∴ DA⊥AB。
又∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴ DE=AD=3 cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ $S_{△ DBC} = \frac{1}{2} × BC × DE = \frac{1}{2} × 10 × 3 = 15\ \mathrm{cm}^2$。
答：△DBC的面积为15平方厘米。
温馨提示 利用角的平分线的性质解决相关线段相等问题比利用三角形全等去解决更直观、更快捷。
举一反三 如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F，$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，求DE的长。
举一反三 如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F，$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，求DE的长。
答案
解 $\because AD$ 平分$∠ BAC,DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$.
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB × DE + \frac{1}{2}AC × DF=\frac{1}{2}(AB+AC)× DE$,
即$\frac{1}{2}×(16+12)× DE=28$,
$\therefore DE=2\ \mathrm{cm}$.
$\therefore DE=DF$.
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB × DE + \frac{1}{2}AC × DF=\frac{1}{2}(AB+AC)× DE$,
即$\frac{1}{2}×(16+12)× DE=28$,
$\therefore DE=2\ \mathrm{cm}$.
