6. 两个因数相乘，其中一个因数是$\frac{3}{5}$，积是$-1$，另一个因数是（）

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$-\frac{5}{3}$

6.D

【分析】
要解决这道题，首先回忆乘法各部分之间的关系：因数×因数=积，因此已知积和其中一个因数，求另一个因数时，用“积÷已知因数”即可。接下来按照有理数除法的运算规则计算即可，运算时先确定结果的符号，再计算绝对值部分。
【解析】
根据乘除法的互逆关系，另一个因数 = 积 ÷ 已知因数。
代入数据得：$\mathrm{另一个因数} = -1 ÷ \frac{3}{5}$
根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数，可得：
$-1 ÷ \frac{3}{5} = -1 × \frac{5}{3} = -\frac{5}{3}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 有理数除法法则
2. 乘除法互逆关系
【点评】
本题是有理数除法的基础应用题型，核心是利用乘除法的互逆关系列出算式，再按照除法运算规则计算即可，重点注意有理数运算的符号判断。
【难度系数】
0.8

7. 化简下列分数：
(1)$\dfrac{-16}{2}$.
(2)$\dfrac{12}{-48}$.
(3)$\dfrac{-54}{-6}$.
(4)$\dfrac{-9}{-0.3}$.

7. 解：(1) 原式 $= -\frac{16}{2} = -8.$
(2) 原式 $= -\frac{12}{48} = -\frac{1}{4}.$
(3) 原式 $=\frac{54}{6}=9.$
(4) 原式 $=\frac{9}{0.3}=\frac{90}{3}=30.$

【分析】
化简含正负号的分数本质是有理数除法运算，解题分两步：第一步根据有理数除法符号法则判断结果符号，同号相除得正，异号相除得负；第二步计算两数绝对值的商，若有小数可先转化为整数再计算，最后将结果化为最简形式即可。
【解析】
(1) 分子为负、分母为正，异号相除结果为负，计算绝对值的商：$16÷2=8$，因此原式$= -\frac{16}{2} = -8$；
(2) 分子为正、分母为负，异号相除结果为负，计算绝对值的商并约分：$12÷48=\frac{1}{4}$，因此原式$= -\frac{12}{48} = -\frac{1}{4}$；
(3) 分子分母均为负，同号相除结果为正，计算绝对值的商：$54÷6=9$，因此原式$=\frac{54}{6}=9$；
(4) 分子分母均为负，同号相除结果为正，将分子分母同乘10把小数化为整数，再计算商：$90÷3=30$，因此原式$=\frac{9}{0.3}=\frac{90}{3}=30$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{4}}$；(3) $\boldsymbol{9}$；(4) $\boldsymbol{30}$
【知识点】
有理数除法法则、分数约分、小数运算
【点评】
本题是有理数除法的基础题型，核心要掌握“先定符号，再算绝对值”的运算顺序，能有效避免符号错误，遇到小数时转化为整数计算可提升运算准确率和速度。
【难度系数】
0.9

8. (1)已知一个数与$-1\frac{2}{3}$的积是4，求这个数。
(2)两数的商是$-3\frac{1}{2}$，已知被除数为$4\frac{1}{2}$，求除数。

8. 解：(1)$4 ÷ (-1 \frac{2}{3} ) = -\frac{12}{5}.$
(2)$4 \frac{1}{2} ÷ (-3 \frac{1}{2} ) = -\frac{9}{7}.$

【分析】
这两道题是有理数乘除法的基础应用，解题思路清晰：
(1) 乘法运算中，已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数，直接用“积÷已知因数”计算即可。计算前先把带分数转化为假分数，再遵循有理数除法规则：除以一个不为0的数等于乘它的倒数，同时注意“异号相除得负”的符号规则。
(2) 除法运算中，已知被除数和商，求除数，根据除法各部分的关系“除数=被除数÷商”计算，同样先将带分数化为假分数，再按除法法则运算，注意先判断结果符号再计算数值。
【解析】
解：(1) 根据因数与积的关系，所求数为：
先将带分数化为假分数：$-1\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$
$4 ÷ (-1 \frac{2}{3} ) = 4 ÷ (-\frac{5}{3}) = 4×(-\frac{3}{5}) = -\frac{12}{5}$
(2) 根据除法各部分关系，除数为：
先将带分数化为假分数：$4\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$，$-3\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$
$4 \frac{1}{2} ÷ (-3 \frac{1}{2} ) = \frac{9}{2} ÷ (-\frac{7}{2}) = \frac{9}{2}×(-\frac{2}{7}) = -\frac{9}{7}$
【答案】
(1) $-\frac{12}{5}$；(2) $-\frac{9}{7}$
【知识点】
1. 有理数除法法则
2. 乘除互逆关系
3. 带分数与假分数的转化
【点评】
本题是有理数除法的基础应用题，主要考查乘除法各部分的对应关系和有理数除法的运算规则，计算时需注意先将带分数转化为假分数，同时准确判断结果符号，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8

9. 计算 $6÷(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})$，方方同学的计算过程如下：
原式 $=6÷(-\dfrac{1}{2})+6÷\dfrac{1}{3}=-12+18=6$。
请你判断方方同学的计算过程是否正确.若不正确,请你写出正确的计算过程.

9. 解:方方同学的计算过程错误.
正确的计算过程如下：
原式 $= 6 ÷ (-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}) = 6 ÷ (-\frac{1}{6})=6×(-6)=-36.$

【分析】
方方同学的错误原因是混淆了乘法分配律的适用范围，除法不存在对加法的分配律，不能直接将被除数拆分后分别除以括号内的加数。解题时应遵循有理数混合运算顺序：先计算括号内的运算，再计算括号外的运算。具体步骤为：首先对括号内的异分母分数通分求和，再根据有理数除法法则（除以一个非零数等于乘它的倒数）计算最终结果。
【解析】
方方同学的计算过程错误，正确计算过程如下：
首先计算括号内的异分母分数加法，通分后可得：
$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{6}$
再根据有理数除法法则计算括号外的除法，除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数：
$6÷(-\dfrac{1}{6})=6×(-6)=-36$
【答案】
方方同学的计算过程不正确，正确结果为$\boldsymbol{-36}$，正确计算过程为$6÷(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})=6÷(-\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6})=6÷(-\dfrac{1}{6})=-36$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 有理数除法法则
3. 异分母分数加减法
【点评】
本题是有理数运算的易错题，核心误区是随意将乘法运算律套用到除法运算中，解题时需严格遵循运算顺序，先算括号内的运算，再算括号外的运算，计算除法时要注意先转化为乘法再运算，避免因误用运算律出错。
【难度系数】
0.7

10. 计算：
(1) $(-3\dfrac{1}{2})÷(-1\dfrac{1}{2})×3\dfrac{1}{3}$.
(2) $24÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{6})$.

10. 解：(1) 原式 $= \frac{7}{2} × \frac{2}{3} × \frac{10}{3} =\frac{70}{9}.$
(2) 原式$=24 ÷ (\frac{8}{24}-\frac{3}{24}-\frac{4}{24}) =24 ÷ \frac{1}{24}=24×24=576.$

【分析】
(1) 本题是有理数乘除混合运算，解题思路：第一步先把所有带分数化为假分数，第二步根据有理数除法法则，将除法转化为乘法，第三步先判断符号（同号相乘除结果为正），再按照从左到右的顺序约分计算即可。
(2) 本题是含括号的有理数混合运算，解题思路：第一步先算括号内的异分母分数减法，先找分母的最小公倍数通分，计算出括号内的结果，第二步再将除法转化为乘法计算最终结果。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
$(-3\dfrac{1}{2})=-\dfrac{7}{2}$，$(-1\dfrac{1}{2})=-\dfrac{3}{2}$，$3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘它的倒数，且负负得正，因此：
原式$=(-\dfrac{7}{2})÷(-\dfrac{3}{2})×\dfrac{10}{3}=\dfrac{7}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{10}{3}$
约分计算得：$\dfrac{7×2×10}{2×3×3}=\dfrac{70}{9}$
(2) 先计算括号内的异分母分数减法，分母3、8、6的最小公倍数是24，通分得：
$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{8}{24}-\dfrac{3}{24}-\dfrac{4}{24}=\dfrac{8-3-4}{24}=\dfrac{1}{24}$
再计算除法：
原式$=24÷\dfrac{1}{24}=24×24=576$
【答案】
(1) $\dfrac{70}{9}$；(2) $576$
【知识点】
1. 有理数乘除混合运算
2. 异分母分数加减法
3. 有理数除法法则
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和基本运算法则，计算时要注意带分数化假分数要准确，通分时要找准最小公倍数，运算前先判断符号能有效降低错误率。
【难度系数】
0.7

11.已知$a_1$为实数，规定运算：$a_2=1-\frac{1}{a_1}$，$a_3=1-\frac{1}{a_2}$，$a_4=1-\frac{1}{a_3}$，$a_5=1-\frac{1}{a_4}$，…，$a_n=1-\frac{1}{a_{n-1}}$。按上述方法计算：当$a_1=3$时，$a_{2025}$的值为（）

A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

11.C 【解析】把 $a_1=3$ 代入，得 $a_2 =1-\frac{1}{\frac{1}{3}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，把 $a_2=\frac{2}{3}$代入，得 $a_3=1-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{2}$，把 $a_3=-\frac{1}{2}$ 代入，得 $a_4=1-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=3……$由此发现结果是每3个一循环.
因为 $2\ 025÷3=675$，
所以 $a_{2\ 025}=a_3=-\frac{1}{2}.$

【分析】
本题要求的项数2025数值较大，直接逐项计算不现实，首先考虑寻找数列的周期性规律：首先代入初始值$a_1=3$，依次计算前几项的数值，直到出现重复项即可确定循环周期；再用2025除以周期长度，根据余数判断$a_{2025}$对应周期中的第几项，即可求出结果。
【解析】
当$a_1=3$时，根据递推公式依次计算：
$a_2 = 1-\frac{1}{a_1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；
$a_3 = 1-\frac{1}{a_2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$；
$a_4 = 1-\frac{1}{a_3}=1-(-2)=3$；
观察可知数列每3个为一个循环周期，周期为3，循环顺序为$3、\frac{2}{3}、-\frac{1}{2}$。
计算$2025÷3=675$，结果为整数无余数，说明$a_{2025}$对应周期的最后一项，即$a_3$。
因此$a_{2025}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算，周期规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的周期规律探究题，解题核心是通过计算前几项准确找到循环周期，再利用周期性质快速求解大数项的数值，计算过程中要注意有理数除法的符号法则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7