8. (2024·沭阳期末)已知一次函数$y= kx+b与y= kbx$,它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为 ( )

A

9. (2023·苏州)已知一次函数$y= kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2)$,则$k^{2}-b^{2}$的值为______.

-6

将点$(1,3)$和$(-1,2)$代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}k + b = 3 \\-k + b = 2\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\b = \frac{5}{2}\end{cases}$
$k^2 - b^2=(k + b)(k - b)=3×(\frac{1}{2}-\frac{5}{2})=3×(-2)=-6$
$-6$

10. (2024·广安)如图,直线$y= 2x+2$与x轴、y轴分别相交于点A,B,将$\triangle AOB$绕点A按逆时针方向旋转$90^{\circ }得到\triangle ACD$,则点D的坐标为______.

(-3,1)

11. 已知第一象限内的点P在直线$y= -x+5$上,点A的坐标为$(4,0)$,设$\triangle AOP$的面积为S.
(1)当点P的横坐标为2时,求$\triangle AOP$的面积;
(2)当$S= 4$时,求点P的坐标;
(3)求S关于x的函数表达式,写出x的取值范围,并画出函数图象.

(1) 把x=2代入y=-x+5,得y=-2+5=3,
∴ 点 P的坐标为(2,3).
∵ 点 A 的坐标为(4,0),
∴ OA=4,
∴ S△AOP=1/2OA·yP=1/2×4×3=6
(2) 当 S=4 时,1/2OA·|yP|=4.
∵ 点 P 在第一象限内,A(4,0),
∴ OA=4,yP＞0,
∴ yP=2.在 y=-x+5 中,令 y=2,得 x=3,
∴ 点 P 的坐标为(3,2)
(3) 设 P(x,-x+5).根据题意,得 S=1/2OA·|yP|=1/2×4·yP=2(-x+5)=-2x+10.
∵ 点 P 在第一象限,
∴ {x＞0,-x+5＞0, 解得0＜x＜5,
∴ S 关于 x 的函数表达式为 S=-2x+10(0＜x＜5),函数图象如图所示

12. 如图①,点A的坐标是$(0,1)$,B是x轴正半轴上的一个动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使点C在第一象限内,$\angle BAC= 90^{\circ }$.设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y.
(1)求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围;
(2)在图②中画出(1)中函数的图象.

(1) 如图①,过点 C 作 CH⊥y 轴,垂足为 H,则∠AHC=90°.
∵ 点 C 的纵坐标为 y,
∴ OH=y.
∵ 点 A的坐标是(0,1),
∴ OA=1.
∵ △ABC 是以 AB 为边的等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴ AC=BA,∠HAC+∠OAB=90°.
∵ ∠BOA=90°,
∴ ∠OBA+∠OAB=90°,
∴ ∠HAC=∠OBA. 在△HAC 和△OBA 中,{∠AHC=∠BOA,∠HAC=∠OBA,AC=BA,
∴ △HAC≌△OBA (AAS),
∴ AH=BO.
∵ 点 B 的横坐标为 x,
∴ AH=BO=x,
∴ OH=OA+AH=1+x,
∴ y=x+1.
∵ B 是 x 轴正半轴上的一个动点,
∴ 自变量 x 的取值范围是 x＞0
(2) 如图②所示 解析:不妨取点(0,1),(1,2)画图.画图时,注意自变量的取值范围.