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1. 已知等腰△ABC中，AB=AC=10，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则CD的长是（
A.$5\sqrt{5} -5$
B.$5\sqrt{5} +5$
C.$15+5\sqrt{5}$
D.$15-5\sqrt{5}$
（第1题）
D
）A.$5\sqrt{5} -5$
B.$5\sqrt{5} +5$
C.$15+5\sqrt{5}$
D.$15-5\sqrt{5}$
（第1题）答案
1.D
解析
【分析】
先利用等腰三角形内角和算出底角度数，结合角平分线的性质推导图中相等的角，得到多组相等的线段；再通过两角对应相等判定两个三角形相似，利用相似的对应边成比例列方程，求解后结合线段长度的实际意义取舍根即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C = $\frac{180° - 36°}{2}=72°$，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，得AD=BD，
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，得BD=BC，
∴AD=BD=BC。
设CD=x，则AD=AC-CD=10-x，即BC=10-x，
在△ABC和△BCD中：
$\begin{cases}∠C=∠C（公共角）\\∠A=∠DBC=36°\end{cases}$
∴△ABC∽△BCD（AA），
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=AC· CD$，
代入得$(10-x)^2=10x$，
整理得$x^2-30x+100=0$，
解得$x=\frac{30\pm\sqrt{900-400}}{2}=15\pm5\sqrt{5}$，
∵CD＜AC=10，$15+5\sqrt{5}＞10$，故舍去，
∴$x=15-5\sqrt{5}$，即CD的长为$15-5\sqrt{5}$。
【答案】D
【知识点】等腰三角形性质；相似三角形判定与性质；一元二次方程求解
【点评】本题将等腰三角形的边角性质和相似三角形的应用结合，需要先通过角度推导得到等线段关系，再利用相似建立方程求解，解题时注意结合实际线段长度对根进行取舍，是几何代数结合的常见题型。
【难度系数】0.6
先利用等腰三角形内角和算出底角度数，结合角平分线的性质推导图中相等的角，得到多组相等的线段；再通过两角对应相等判定两个三角形相似，利用相似的对应边成比例列方程，求解后结合线段长度的实际意义取舍根即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C = $\frac{180° - 36°}{2}=72°$，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，得AD=BD，
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，得BD=BC，
∴AD=BD=BC。
设CD=x，则AD=AC-CD=10-x，即BC=10-x，
在△ABC和△BCD中：
$\begin{cases}∠C=∠C（公共角）\\∠A=∠DBC=36°\end{cases}$
∴△ABC∽△BCD（AA），
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=AC· CD$，
代入得$(10-x)^2=10x$，
整理得$x^2-30x+100=0$，
解得$x=\frac{30\pm\sqrt{900-400}}{2}=15\pm5\sqrt{5}$，
∵CD＜AC=10，$15+5\sqrt{5}＞10$，故舍去，
∴$x=15-5\sqrt{5}$，即CD的长为$15-5\sqrt{5}$。
【答案】D
【知识点】等腰三角形性质；相似三角形判定与性质；一元二次方程求解
【点评】本题将等腰三角形的边角性质和相似三角形的应用结合，需要先通过角度推导得到等线段关系，再利用相似建立方程求解，解题时注意结合实际线段长度对根进行取舍，是几何代数结合的常见题型。
【难度系数】0.6
2. ★★★ (2025·滁州期中)如图，$AC ⊥ BC$，$CD ⊥ AB$，$DE ⊥ BC$，则图中相似三角形有 (
A.5对
B.6对
C.10对
D.20对
C
)A.5对
B.6对
C.10对
D.20对
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先根据题中的垂直条件找出所有直角三角形，再利用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，证明所有直角三角形两两相似，最后通过计算组合数得到相似三角形的总对数，避免逐个数出现漏算或重复计数的问题。
【解析】
解：由题意得$AC ⊥ BC$，$CD ⊥ AB$，$DE ⊥ BC$，因此图中的直角三角形有$△ BDE$、$△ CDE$、$△ BCD$、$△ ACD$、$△ ABC$，共5个。
因为上述5个直角三角形都含有锐角$∠ B$或与$∠ B$相等的角（同角的余角相等），且都有直角，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得这5个直角三角形全部两两相似。
从5个相似三角形中任选2个即为一对相似三角形，总对数为$\mathrm{C}_{5}^{2}=\frac{5 × 4}{2}=10$对。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、组合计数
【点评】
本题考查相似三角形的计数，解题核心是先证明所有同形状的直角三角形均相似，再通过组合计算得到总对数，能有效避免逐一枚举导致的计数错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据题中的垂直条件找出所有直角三角形，再利用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，证明所有直角三角形两两相似，最后通过计算组合数得到相似三角形的总对数，避免逐个数出现漏算或重复计数的问题。
【解析】
解：由题意得$AC ⊥ BC$，$CD ⊥ AB$，$DE ⊥ BC$，因此图中的直角三角形有$△ BDE$、$△ CDE$、$△ BCD$、$△ ACD$、$△ ABC$，共5个。
因为上述5个直角三角形都含有锐角$∠ B$或与$∠ B$相等的角（同角的余角相等），且都有直角，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得这5个直角三角形全部两两相似。
从5个相似三角形中任选2个即为一对相似三角形，总对数为$\mathrm{C}_{5}^{2}=\frac{5 × 4}{2}=10$对。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、组合计数
【点评】
本题考查相似三角形的计数，解题核心是先证明所有同形状的直角三角形均相似，再通过组合计算得到总对数，能有效避免逐一枚举导致的计数错误。
【难度系数】
0.6
3. （2026·上海期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若$∠ BAC = ∠ BDC$，则下列结论：①$\frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE}$；②$△ ABE$与$△ DCE$的周长比为$\frac{BE}{CE}$；③$∠ ADE = ∠ ABC$；④$S_{△ ABE} · S_{△ DCE} = S_{△ ADE} · S_{△ BCE}$，其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】
首先由已知∠BAC=∠BDC，结合对顶角相等，可证△ABE∽△DCE，再结合相似三角形的性质、同高三角形面积与底的比例关系、圆周角相关性质，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
1. 证明△ABE∽△DCE：
∵∠BAC=∠BDC，∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 逐个判断结论：
① 由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CD}$，故①正确；
② 相似三角形的周长比等于相似比，本题相似比为$\frac{BE}{CE}$，因此△ABE与△DCE的周长比为$\frac{BE}{CE}$，故②正确；
③ 由∠BAC=∠BDC可得A、B、C、D四点共圆，仅能推出同弧所对的圆周角相等，没有依据证明∠ADE=∠ABC，故③错误；
④ 对于同高的三角形，面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ABE}}{S_{△BCE}}=\frac{AE}{CE}$（以B为公共顶点，底边均在AC上），
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△DCE}}=\frac{AE}{CE}$（以D为公共顶点，底边均在AC上），
因此$\frac{S_{△ABE}}{S_{△BCE}}=\frac{S_{△ADE}}{S_{△DCE}}$，交叉相乘得$S_{△ABE} · S_{△DCE} = S_{△ADE} · S_{△BCE}$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；三角形面积比例；四点共圆的性质
【点评】
本题属于几何综合题，需要灵活运用相似三角形的判定、性质，结合三角形面积的比例关系推导结论，解题时注意逐个验证每个结论，避免遗漏隐含条件。
【难度系数】
0.6
首先由已知∠BAC=∠BDC，结合对顶角相等，可证△ABE∽△DCE，再结合相似三角形的性质、同高三角形面积与底的比例关系、圆周角相关性质，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
1. 证明△ABE∽△DCE：
∵∠BAC=∠BDC，∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 逐个判断结论：
① 由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CD}$，故①正确；
② 相似三角形的周长比等于相似比，本题相似比为$\frac{BE}{CE}$，因此△ABE与△DCE的周长比为$\frac{BE}{CE}$，故②正确；
③ 由∠BAC=∠BDC可得A、B、C、D四点共圆，仅能推出同弧所对的圆周角相等，没有依据证明∠ADE=∠ABC，故③错误；
④ 对于同高的三角形，面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ABE}}{S_{△BCE}}=\frac{AE}{CE}$（以B为公共顶点，底边均在AC上），
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△DCE}}=\frac{AE}{CE}$（以D为公共顶点，底边均在AC上），
因此$\frac{S_{△ABE}}{S_{△BCE}}=\frac{S_{△ADE}}{S_{△DCE}}$，交叉相乘得$S_{△ABE} · S_{△DCE} = S_{△ADE} · S_{△BCE}$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；三角形面积比例；四点共圆的性质
【点评】
本题属于几何综合题，需要灵活运用相似三角形的判定、性质，结合三角形面积的比例关系推导结论，解题时注意逐个验证每个结论，避免遗漏隐含条件。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在正方形$ABCD$中,$△ BPC$是等边三角形,$BP$,$CP$的延长线分别交$AD$于点$E$,$F$,连结$BD$,$DP$,$BD$与$CF$相交于点$H$.给出下列结论:①$CF=2AE$;②$△ DFP ∽ △ BPH$;③$DF=DH$;④$DH^2=PH · PB$.其中正确的是 (
A.①②④
B.①②③
C.①②③④
D.①③④
（第4题） 
（第5题） 
（第6题） 
（第7题）
A
)A.①②④
B.①②③
C.①②③④
D.①③④
（第4题） （第5题） （第6题） （第7题）答案
4.A
解析
【分析】
解题时先结合正方形、等边三角形的性质推导各特殊角的度数，再逐一验证4个结论：①先通过30°直角三角形的性质和全等三角形得到AE与DF的等量关系，再推导CF与AE的倍数关系；②通过计算两个三角形的内角，用AA判定法验证相似；③通过计算△DFH的内角判断是否为等腰三角形，验证DF与DH是否相等；④通过相似三角形的性质验证等积式是否成立。
【解析】
设正方形$ABCD$边长为$a$：
1. 验证①：
正方形中$∠ A=∠ ADC=∠ ABC=∠ BCD=90°$，$AB=BC=CD$；等边$△ BPC$中$BC=BP=PC$，$∠ PBC=∠ PCB=60°$，故$∠ ABE=∠ DCF=90°-60°=30°$。
$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，$\begin{cases}∠ A=∠ ADC\\AB=CD\\∠ ABE=∠ DCF\end{cases}$，故$△ ABE≌△ DCF(\mathrm{ASA})$，得$AE=DF$。
$\mathrm{Rt}△ DCF$中$∠ DCF=30°$，故$DF=\frac{1}{2}CF$，即$CF=2DF=2AE$，①正确。
2. 验证②：
$PC=CD$，$∠ PCD=30°$，故$∠ CDP=∠ CPD=\frac{180°-30°}{2}=75°$，得$∠ FDP=90°-75°=15°$。
$BD$是正方形对角线，$∠ DBC=45°$，故$∠ PBH=60°-45°=15°$，得$∠ FDP=∠ PBH$。
又$∠ DFP=90°-30°=60°$，$∠ BPH=∠ BPC=60°$，故$∠ DFP=∠ BPH$，$△ DFP∽△ BPH(\mathrm{AA})$，②正确。
3. 验证③：
$∠ BDC=45°$，故$∠ HDP=∠ CDP-∠ BDC=75°-45°=30°$；$∠ DHF=∠ DBC+∠ PCB=45°+60°=105°$，$△ DHF$中$∠ DFH=60°$，$∠ FDH=180°-60°-105°=15°≠∠ DFH$，故$DF≠ DH$，③错误。
4. 验证④：
可证$△ DPH∽△ BPD$：$∠ PDH=∠ PBD=15°$，$∠ DPH=∠ BPD=135°$，故$\frac{DH}{PB}=\frac{PH}{DH}$，即$DH^2=PH· PB$，④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊几何图形的性质和相似三角形的应用，需要熟练掌握角度推导方法，逐一验证结论，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合正方形、等边三角形的性质推导各特殊角的度数，再逐一验证4个结论：①先通过30°直角三角形的性质和全等三角形得到AE与DF的等量关系，再推导CF与AE的倍数关系；②通过计算两个三角形的内角，用AA判定法验证相似；③通过计算△DFH的内角判断是否为等腰三角形，验证DF与DH是否相等；④通过相似三角形的性质验证等积式是否成立。
【解析】
设正方形$ABCD$边长为$a$：
1. 验证①：
正方形中$∠ A=∠ ADC=∠ ABC=∠ BCD=90°$，$AB=BC=CD$；等边$△ BPC$中$BC=BP=PC$，$∠ PBC=∠ PCB=60°$，故$∠ ABE=∠ DCF=90°-60°=30°$。
$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，$\begin{cases}∠ A=∠ ADC\\AB=CD\\∠ ABE=∠ DCF\end{cases}$，故$△ ABE≌△ DCF(\mathrm{ASA})$，得$AE=DF$。
$\mathrm{Rt}△ DCF$中$∠ DCF=30°$，故$DF=\frac{1}{2}CF$，即$CF=2DF=2AE$，①正确。
2. 验证②：
$PC=CD$，$∠ PCD=30°$，故$∠ CDP=∠ CPD=\frac{180°-30°}{2}=75°$，得$∠ FDP=90°-75°=15°$。
$BD$是正方形对角线，$∠ DBC=45°$，故$∠ PBH=60°-45°=15°$，得$∠ FDP=∠ PBH$。
又$∠ DFP=90°-30°=60°$，$∠ BPH=∠ BPC=60°$，故$∠ DFP=∠ BPH$，$△ DFP∽△ BPH(\mathrm{AA})$，②正确。
3. 验证③：
$∠ BDC=45°$，故$∠ HDP=∠ CDP-∠ BDC=75°-45°=30°$；$∠ DHF=∠ DBC+∠ PCB=45°+60°=105°$，$△ DHF$中$∠ DFH=60°$，$∠ FDH=180°-60°-105°=15°≠∠ DFH$，故$DF≠ DH$，③错误。
4. 验证④：
可证$△ DPH∽△ BPD$：$∠ PDH=∠ PBD=15°$，$∠ DPH=∠ BPD=135°$，故$\frac{DH}{PB}=\frac{PH}{DH}$，即$DH^2=PH· PB$，④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊几何图形的性质和相似三角形的应用，需要熟练掌握角度推导方法，逐一验证结论，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. ★★★ (2024·呼伦贝尔中考)如图,点$A(0,-2)$,$B(1,0)$,将线段$AB$平移得到线段$DC$,若$∠ABC=90°$,$BC=2AB$,则点$D$的坐标是
(4,-4)
.答案
5.(4,-4)
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步求点C的坐标，先根据A、B坐标得到△AOB的直角边长，结合∠ABC=90°推出两个直角三角形相似，再利用BC=2AB的长度关系得到BC的横、纵偏移量，确定C点坐标；第二步利用平移的性质，平移前后对应线段的平移规律一致，根据A到B的平移规则反向推导得到D点坐标。
【解析】
1. 过点C作CE⊥x轴于点E，由A(0,-2)、B(1,0)得：OA=2，OB=1，∠AOB=90°。
2. 因为∠ABC=90°，所以∠ABO+∠CBE=90°，又∠ABO+∠OAB=90°，故∠OAB=∠CBE。
3. 结合∠AOB=∠BEC=90°，可证△AOB∽△BEC，相似比为AB:BC=1:2。
4. 由相似比得：$\frac{OB}{EC}=\frac{OA}{BE}=\frac{1}{2}$，代入OB=1、OA=2，解得EC=2，BE=4。
5. 结合象限位置，C点横坐标为$1+4=5$，纵坐标为$0-2=-2$，即C(5,-2)。
6. 线段AB平移得到DC，A到B的平移规律为：横坐标+1，纵坐标+2，因此D到C遵循相同平移规律，故D点横坐标为$5-1=4$，纵坐标为$-2-2=-4$。
【答案】
$(4,-4)$
【知识点】
平移的性质，相似三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是坐标系与几何结合的基础综合题，核心是利用相似三角形确定未知点的偏移量，再结合平移规律推导目标点坐标，需要注意坐标偏移的方向判断。
【难度系数】
0.6
解题分两步进行：第一步求点C的坐标，先根据A、B坐标得到△AOB的直角边长，结合∠ABC=90°推出两个直角三角形相似，再利用BC=2AB的长度关系得到BC的横、纵偏移量，确定C点坐标；第二步利用平移的性质，平移前后对应线段的平移规律一致，根据A到B的平移规则反向推导得到D点坐标。
【解析】
1. 过点C作CE⊥x轴于点E，由A(0,-2)、B(1,0)得：OA=2，OB=1，∠AOB=90°。
2. 因为∠ABC=90°，所以∠ABO+∠CBE=90°，又∠ABO+∠OAB=90°，故∠OAB=∠CBE。
3. 结合∠AOB=∠BEC=90°，可证△AOB∽△BEC，相似比为AB:BC=1:2。
4. 由相似比得：$\frac{OB}{EC}=\frac{OA}{BE}=\frac{1}{2}$，代入OB=1、OA=2，解得EC=2，BE=4。
5. 结合象限位置，C点横坐标为$1+4=5$，纵坐标为$0-2=-2$，即C(5,-2)。
6. 线段AB平移得到DC，A到B的平移规律为：横坐标+1，纵坐标+2，因此D到C遵循相同平移规律，故D点横坐标为$5-1=4$，纵坐标为$-2-2=-4$。
【答案】
$(4,-4)$
【知识点】
平移的性质，相似三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是坐标系与几何结合的基础综合题，核心是利用相似三角形确定未知点的偏移量，再结合平移规律推导目标点坐标，需要注意坐标偏移的方向判断。
【难度系数】
0.6
6. (2025·杭州月考)如图,四边形ABCD为圆内接四边形,对角线AC,BD交于点E,若DB平分∠ADC,BD=5,BC=2,则DE=
$\frac{21}{5}$
。答案
6.$\frac{21}{5}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发逐步推导：1. 由BD是∠ADC的角平分线得到一组相等的角；2. 结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，将角进行等量替换，得到新的等角关系；3. 发现△BCE和△BDC有公共角，结合已得的等角可证明两三角形相似；4. 利用相似三角形对应边成比例求出BE的长度，最后用BD的长度减去BE得到DE的长度。
【解析】
解：
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ADB=∠ACB，
∴∠CDB=∠ACB，
又
∵∠CBE=∠DBC（公共角），
∴△BCE∽△BDC（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{BE}{BC}$，即$BC^2=BD· BE$，
将BC=2，BD=5代入得：$2^2=5· BE$，
解得$BE=\frac{4}{5}$，
∴$DE=BD-BE=5-\frac{4}{5}=\frac{21}{5}$。
【答案】
$\frac{21}{5}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于圆与相似三角形结合的基础综合题，核心是通过圆周角定理完成角的等量转化，进而构造相似三角形求解，对学生的角推导能力有一定要求，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件出发逐步推导：1. 由BD是∠ADC的角平分线得到一组相等的角；2. 结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，将角进行等量替换，得到新的等角关系；3. 发现△BCE和△BDC有公共角，结合已得的等角可证明两三角形相似；4. 利用相似三角形对应边成比例求出BE的长度，最后用BD的长度减去BE得到DE的长度。
【解析】
解：
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ADB=∠ACB，
∴∠CDB=∠ACB，
又
∵∠CBE=∠DBC（公共角），
∴△BCE∽△BDC（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{BE}{BC}$，即$BC^2=BD· BE$，
将BC=2，BD=5代入得：$2^2=5· BE$，
解得$BE=\frac{4}{5}$，
∴$DE=BD-BE=5-\frac{4}{5}=\frac{21}{5}$。
【答案】
$\frac{21}{5}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于圆与相似三角形结合的基础综合题，核心是通过圆周角定理完成角的等量转化，进而构造相似三角形求解，对学生的角推导能力有一定要求，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
7. ★★★ (2026·宣城月考)如图,等边$△ ABC$中$AB=6$,点$E,F$分别是边$AB$和$AC$上的点,$△ AEF$沿$EF$折叠使点$A$落在$BC$上的点$D$处,折痕为$EF$,且$DB:DC=1:2$,则$DE:DF=$
$4:5$
.答案
7.$4:5$
解析
【分析】
首先根据等边三角形的性质求出各边长度及内角均为60°，再结合折叠的性质得到对应边、对应角相等，通过角的等量代换推导得出△BED和△CDF相似，最后利用相似三角形的对应边成比例设未知数列式求解即可得到DE与DF的比值。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AB=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，
∵DB:DC=1:2，
∴BD=6×$\frac{1}{1+2}$=2，DC=6×$\frac{2}{1+2}$=4，
由折叠的性质可知：AE=DE，AF=DF，∠EDF=∠A=60°，
∵∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∴∠BED=∠CDF，
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△BED∽△CDF（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{BD}{CF}=\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，
设DE=x，DF=y，则AE=x，BE=AB-AE=6-x，AF=y，CF=AC-AF=6-y，
代入比例式得：$\frac{2}{6-y}=\frac{6-x}{4}=\frac{x}{y}$，
由$\frac{6-x}{4}=\frac{x}{y}$得：$y(6-x)=4x$，即$6y-xy=4x$ ①，
由$\frac{2}{6-y}=\frac{x}{y}$得：$2y=x(6-y)$，即$6x-xy=2y$ ②，
用①-②得：$6y-6x=4x-2y$，整理得$10x=8y$，
∴$\frac{x}{y}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，即DE:DF=4:5。
【答案】
$4:5$
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类题型，解题的核心是利用“一线三等角”模型快速找到相似三角形，再通过设参数结合比例关系建立等式求解，有助于锻炼学生的几何逻辑推导能力，是高频考点题型。
【难度系数】
0.6
首先根据等边三角形的性质求出各边长度及内角均为60°，再结合折叠的性质得到对应边、对应角相等，通过角的等量代换推导得出△BED和△CDF相似，最后利用相似三角形的对应边成比例设未知数列式求解即可得到DE与DF的比值。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AB=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，
∵DB:DC=1:2，
∴BD=6×$\frac{1}{1+2}$=2，DC=6×$\frac{2}{1+2}$=4，
由折叠的性质可知：AE=DE，AF=DF，∠EDF=∠A=60°，
∵∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∴∠BED=∠CDF，
又
∵∠B=∠C=60°，
∴△BED∽△CDF（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{BD}{CF}=\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，
设DE=x，DF=y，则AE=x，BE=AB-AE=6-x，AF=y，CF=AC-AF=6-y，
代入比例式得：$\frac{2}{6-y}=\frac{6-x}{4}=\frac{x}{y}$，
由$\frac{6-x}{4}=\frac{x}{y}$得：$y(6-x)=4x$，即$6y-xy=4x$ ①，
由$\frac{2}{6-y}=\frac{x}{y}$得：$2y=x(6-y)$，即$6x-xy=2y$ ②，
用①-②得：$6y-6x=4x-2y$，整理得$10x=8y$，
∴$\frac{x}{y}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，即DE:DF=4:5。
【答案】
$4:5$
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类题型，解题的核心是利用“一线三等角”模型快速找到相似三角形，再通过设参数结合比例关系建立等式求解，有助于锻炼学生的几何逻辑推导能力，是高频考点题型。
【难度系数】
0.6
