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1. 如图,四边形ABCD的顶点在同一个圆上,$∠ B=90°$,若D为$\overset{\frown}{ADC}$的中点,$AB=8,BC=6$,求四边形ABCD的面积.
答案
如图,连结 AC. $\because ∠B = 90°$, $\therefore AC$ 为圆的直径, $\therefore AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10$, $△ ABC$ 的面积$=\frac{1}{2}×6×8=24$, $∠ D=90°$.
$\because$ 点 D 为$\overset{\frown}{ADC}$的中点,$\therefore AD = CD = \frac{\sqrt{2}}{2}AC = 5\sqrt{2}$, $\therefore △ ADC$的面积$=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=25$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积$=24+25=49$.
解析
【分析】
首先结合已知条件：四边形ABCD是圆内接四边形且∠B=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此优先作辅助线连接AC，先求出AC的长度和△ABC的面积。由于AC是直径，直径所对的圆周角为直角，可得∠D=90°。再结合D是$\overset{\frown}{ADC}$的中点，根据等弧对等弦可知AD=CD，即△ADC是等腰直角三角形，求出△ADC的面积后，将两个三角形的面积相加即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
解：如图，连结AC。
$\because ∠B = 90°$，
$\therefore AC$为圆的直径，
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10$，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
$\because AC$是直径，
$\therefore ∠D=90°$，
$\because$点D为$\overset{\frown}{ADC}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，即$AD=CD$，$△ADC$为等腰直角三角形，
$\therefore AD = CD = \frac{\sqrt{2}}{2}AC = 5\sqrt{2}$，
$\therefore S_{△ADC}=\frac{1}{2}×AD×CD=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=25$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=24+25=49$。
【答案】
四边形ABCD的面积为49。
【知识点】
圆周角定理推论、等弧对等弦、勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形面积计算的综合题，解题的核心是利用90°圆周角的性质构造直径作为辅助线，将四边形分割为两个直角三角形分别计算面积后求和，解题时结合弧中点的性质判断等腰直角三角形，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先结合已知条件：四边形ABCD是圆内接四边形且∠B=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此优先作辅助线连接AC，先求出AC的长度和△ABC的面积。由于AC是直径，直径所对的圆周角为直角，可得∠D=90°。再结合D是$\overset{\frown}{ADC}$的中点，根据等弧对等弦可知AD=CD，即△ADC是等腰直角三角形，求出△ADC的面积后，将两个三角形的面积相加即可得到四边形ABCD的总面积。
【解析】
解：如图，连结AC。
$\because ∠B = 90°$，
$\therefore AC$为圆的直径，
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10$，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
$\because AC$是直径，
$\therefore ∠D=90°$，
$\because$点D为$\overset{\frown}{ADC}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，即$AD=CD$，$△ADC$为等腰直角三角形，
$\therefore AD = CD = \frac{\sqrt{2}}{2}AC = 5\sqrt{2}$，
$\therefore S_{△ADC}=\frac{1}{2}×AD×CD=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=25$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=24+25=49$。
【答案】
四边形ABCD的面积为49。
【知识点】
圆周角定理推论、等弧对等弦、勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形面积计算的综合题，解题的核心是利用90°圆周角的性质构造直径作为辅助线，将四边形分割为两个直角三角形分别计算面积后求和，解题时结合弧中点的性质判断等腰直角三角形，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
2. ★★★(2026·温州期中)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D，E，连结BD，DE.
(1)求证：BE=DE；
(2)若AB=5，CE=3，求BD的长.
(1)求证：BE=DE；
(2)若AB=5，CE=3，求BD的长.
答案
(1) 如图, 连结 AE. $\because$ AB 是直径, $\therefore ∠ AEB = ∠ AEC = 90°$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ BAE = ∠ CAE$,$BE=CE$,$\therefore \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$,$\therefore BE=DE$.
(2)由(1)可知 $BE=CE$,则 $BE=CE=3$,$\therefore BC=6$. $\because AB=AC=5$,故设 $AD=x$,则 $CD=5-x$. $\because AB$ 是直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,$\therefore ∠ BDC=90°$,在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $BD^2 = AB^2 - AD^2$, 即 $BD^2 = 25 - x^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中, $BD^2 = BC^2 - CD^2$,即 $BD^2 = 6^2 - (5-x)^2$,$\therefore 25-x^2 = 6^2-(5-x)^2$,解得 $x=1.4$,则 $BD = \sqrt{25-1.4^2}=4.8$.
解析
【分析】
(1) 要证BE=DE，根据圆的性质：同圆中等弧对等弦，因此只需证$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$。已知AB为直径，可连接AE，利用“直径所对圆周角为直角”得AE⊥BC，再结合AB=AC的等腰三角形三线合一性质，推出∠BAE=∠CAE，相等的圆周角对应弧相等，即可得证。
(2) 求BD长度时，观察到BD是Rt△ABD和Rt△BDC的公共直角边，可分别在两个直角三角形中用勾股定理表示$BD^2$，联立方程求解。先由(1)的结论得到BC的总长度，设AD为x，用含x的式子表示CD，代入两个勾股定理表达式解出x，即可计算BD的长。
【解析】
(1) 证明：如图，连结AE。
$\because$ AB是直径，$\therefore ∠AEB = ∠AEC = 90°$，即$AE⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，由等腰三角形三线合一可得：$∠BAE = ∠CAE$，$BE=CE$。
相等的圆周角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，同圆中等弧对等弦，$\therefore BE=DE$。
(2) 解：由(1)可知$BE=CE$，已知$CE=3$，$\therefore BE=3$，$BC=BE+CE=6$。
$\because AB=AC=5$，设$AD=x$，则$CD=5-x$。
$\because AB$是直径，$\therefore ∠ADB=90°$，即$∠BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得：$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 25 - x^2$。
在$\mathrm{Rt}△BDC$中，由勾股定理得：$BD^2 = BC^2 - CD^2 = 6^2 - (5-x)^2$。
联立两式得：$25-x^2 = 36-(5-x)^2$，
展开化简得：$25-x^2=11+10x-x^2$，解得$x=1.4$。
代入得$BD=\sqrt{25-1.4^2}=\sqrt{23.04}=4.8$。
【答案】
(1) BE=DE得证；(2) BD的长为4.8。
【知识点】
直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，勾股定理应用
【点评】
本题综合考察圆、等腰三角形和勾股定理的相关知识，核心是通过连接直径对应的圆周角构造直角，利用等弧对等弦证明线段相等，第二问用公共边建立方程求解的方法是几何求线段长度的常用技巧，需要熟练掌握辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.65
(1) 要证BE=DE，根据圆的性质：同圆中等弧对等弦，因此只需证$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$。已知AB为直径，可连接AE，利用“直径所对圆周角为直角”得AE⊥BC，再结合AB=AC的等腰三角形三线合一性质，推出∠BAE=∠CAE，相等的圆周角对应弧相等，即可得证。
(2) 求BD长度时，观察到BD是Rt△ABD和Rt△BDC的公共直角边，可分别在两个直角三角形中用勾股定理表示$BD^2$，联立方程求解。先由(1)的结论得到BC的总长度，设AD为x，用含x的式子表示CD，代入两个勾股定理表达式解出x，即可计算BD的长。
【解析】
(1) 证明：如图，连结AE。
$\because$ AB是直径，$\therefore ∠AEB = ∠AEC = 90°$，即$AE⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，由等腰三角形三线合一可得：$∠BAE = ∠CAE$，$BE=CE$。
相等的圆周角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，同圆中等弧对等弦，$\therefore BE=DE$。
(2) 解：由(1)可知$BE=CE$，已知$CE=3$，$\therefore BE=3$，$BC=BE+CE=6$。
$\because AB=AC=5$，设$AD=x$，则$CD=5-x$。
$\because AB$是直径，$\therefore ∠ADB=90°$，即$∠BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得：$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 25 - x^2$。
在$\mathrm{Rt}△BDC$中，由勾股定理得：$BD^2 = BC^2 - CD^2 = 6^2 - (5-x)^2$。
联立两式得：$25-x^2 = 36-(5-x)^2$，
展开化简得：$25-x^2=11+10x-x^2$，解得$x=1.4$。
代入得$BD=\sqrt{25-1.4^2}=\sqrt{23.04}=4.8$。
【答案】
(1) BE=DE得证；(2) BD的长为4.8。
【知识点】
直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，勾股定理应用
【点评】
本题综合考察圆、等腰三角形和勾股定理的相关知识，核心是通过连接直径对应的圆周角构造直角，利用等弧对等弦证明线段相等，第二问用公共边建立方程求解的方法是几何求线段长度的常用技巧，需要熟练掌握辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.65
3. ★★★ 如图，$\odot O$ 的两条弦 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直，连结 $AD$，$BC$，$OE ⊥ BC$ 于点 $E$.
(1)求证: $OE=\frac{1}{2}AD$;
(2)设$\odot O$ 的半径为 $R$，求证: $BC^2+AD^2=4R^2$.
(1)求证: $OE=\frac{1}{2}AD$;
(2)设$\odot O$ 的半径为 $R$，求证: $BC^2+AD^2=4R^2$.
答案
(1) 如图, 作直径 CF, 连结 BF, CD, 则有 $∠ BFC = ∠ CDB$,$∠ FBC=90°$,$\therefore ∠ BFC + ∠ BCF = 90°$. $\because AC ⊥ BD$, $\therefore ∠ CDB + ∠ ACD = 90°$.
$\because ∠ BFC = ∠ CDB$,$\therefore ∠ BCF = ∠ ACD$,$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{AD}$,$\therefore BF=AD$. $\because OE ⊥ BC$,$\therefore E$ 为 BC 的中点. 又 $\because O$ 为 CF 的中点,$\therefore$ 在 $△ BCF$ 中, $OE = \frac{1}{2}BF$, $\therefore OE = \frac{1}{2}AD$.
(2)由(1)可知 $BF=AD$, $\because \odot O$ 的半径为 $R$, $\therefore CF=2R$. $\because ∠ FBC=90°$,$△ BCF$ 为直角三角形,$\therefore BC^2+AD^2 = BC^2+BF^2 = CF^2 = 4R^2$.
解析
【分析】
(1) 要证明$OE=\frac{1}{2}AD$，首先由$OE⊥BC$结合垂径定理可得$E$是$BC$中点，此时构造直径$CF$，可得$O$是$CF$中点，那么$OE$就是$△ BCF$的中位线，即$OE=\frac{1}{2}BF$，接下来只需证明$BF=AD$即可：利用圆周角定理结合$AC⊥BD$的条件，可推出$∠BCF=∠ACD$，进而得到$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{AD}$，即弦$BF=AD$，即可完成证明。
(2) 由(1)的结论$BF=AD$，且直径所对的圆周角为直角，在$Rt△ BCF$中运用勾股定理，将$BF$替换为$AD$，$CF=2R$代入即可证明等式成立。
【解析】
(1) 作直径$CF$，连结$BF$、$CD$。
由圆周角定理得同弧所对圆周角相等，即$∠BFC=∠CDB$。
$\because CF$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠FBC=90°$，$\therefore ∠BFC+∠BCF=90°$。
$\because AC⊥BD$，$\therefore ∠CDB+∠ACD=90°$。
结合$∠BFC=∠CDB$，可得$∠BCF=∠ACD$，$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{AD}$，$\therefore BF=AD$。
$\because OE⊥BC$，由垂径定理得$E$为$BC$的中点，又$O$为$CF$中点，
$\therefore OE$是$△ BCF$的中位线，$\therefore OE=\frac{1}{2}BF$，结合$BF=AD$，得$OE=\frac{1}{2}AD$。
(2) 由(1)知$BF=AD$，$\because \odot O$半径为$R$，$\therefore CF=2R$。
$\because ∠FBC=90°$，$△ BCF$是直角三角形，由勾股定理得$BC^2+BF^2=CF^2$。
将$BF=AD$、$CF=2R$代入得：$BC^2+AD^2=BC^2+BF^2=(2R)^2=4R^2$，得证。
【答案】
(1) 如图, 作直径 CF, 连结 BF, CD, 则有 $∠ BFC = ∠ CDB$,$∠ FBC=90°$,$\therefore ∠ BFC + ∠ BCF = 90°$. $\because AC ⊥ BD$, $\therefore ∠ CDB + ∠ ACD = 90°$.
$\because ∠ BFC = ∠ CDB$,$\therefore ∠ BCF = ∠ ACD$,$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{AD}$,$\therefore BF=AD$. $\because OE ⊥ BC$,$\therefore E$ 为 BC 的中点. 又 $\because O$ 为 CF 的中点,$\therefore$ 在 $△ BCF$ 中, $OE = \frac{1}{2}BF$, $\therefore OE = \frac{1}{2}AD$.
(2)由(1)可知 $BF=AD$, $\because \odot O$ 的半径为 $R$, $\therefore CF=2R$. $\because ∠ FBC=90°$,$△ BCF$ 为直角三角形,$\therefore BC^2+AD^2 = BC^2+BF^2 = CF^2 = 4R^2$.
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题核心是通过构造直径作为辅助线，将待证的线段关系转化为三角形中位线和直角三角形勾股定理的应用，是圆中常见的辅助线构造思路，需要熟练掌握圆的基本性质与三角形知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$OE=\frac{1}{2}AD$，首先由$OE⊥BC$结合垂径定理可得$E$是$BC$中点，此时构造直径$CF$，可得$O$是$CF$中点，那么$OE$就是$△ BCF$的中位线，即$OE=\frac{1}{2}BF$，接下来只需证明$BF=AD$即可：利用圆周角定理结合$AC⊥BD$的条件，可推出$∠BCF=∠ACD$，进而得到$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{AD}$，即弦$BF=AD$，即可完成证明。
(2) 由(1)的结论$BF=AD$，且直径所对的圆周角为直角，在$Rt△ BCF$中运用勾股定理，将$BF$替换为$AD$，$CF=2R$代入即可证明等式成立。
【解析】
(1) 作直径$CF$，连结$BF$、$CD$。
由圆周角定理得同弧所对圆周角相等，即$∠BFC=∠CDB$。
$\because CF$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠FBC=90°$，$\therefore ∠BFC+∠BCF=90°$。
$\because AC⊥BD$，$\therefore ∠CDB+∠ACD=90°$。
结合$∠BFC=∠CDB$，可得$∠BCF=∠ACD$，$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{AD}$，$\therefore BF=AD$。
$\because OE⊥BC$，由垂径定理得$E$为$BC$的中点，又$O$为$CF$中点，
$\therefore OE$是$△ BCF$的中位线，$\therefore OE=\frac{1}{2}BF$，结合$BF=AD$，得$OE=\frac{1}{2}AD$。
(2) 由(1)知$BF=AD$，$\because \odot O$半径为$R$，$\therefore CF=2R$。
$\because ∠FBC=90°$，$△ BCF$是直角三角形，由勾股定理得$BC^2+BF^2=CF^2$。
将$BF=AD$、$CF=2R$代入得：$BC^2+AD^2=BC^2+BF^2=(2R)^2=4R^2$，得证。
【答案】
(1) 如图, 作直径 CF, 连结 BF, CD, 则有 $∠ BFC = ∠ CDB$,$∠ FBC=90°$,$\therefore ∠ BFC + ∠ BCF = 90°$. $\because AC ⊥ BD$, $\therefore ∠ CDB + ∠ ACD = 90°$.
$\because ∠ BFC = ∠ CDB$,$\therefore ∠ BCF = ∠ ACD$,$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{AD}$,$\therefore BF=AD$. $\because OE ⊥ BC$,$\therefore E$ 为 BC 的中点. 又 $\because O$ 为 CF 的中点,$\therefore$ 在 $△ BCF$ 中, $OE = \frac{1}{2}BF$, $\therefore OE = \frac{1}{2}AD$.
(2)由(1)可知 $BF=AD$, $\because \odot O$ 的半径为 $R$, $\therefore CF=2R$. $\because ∠ FBC=90°$,$△ BCF$ 为直角三角形,$\therefore BC^2+AD^2 = BC^2+BF^2 = CF^2 = 4R^2$.
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题核心是通过构造直径作为辅助线，将待证的线段关系转化为三角形中位线和直角三角形勾股定理的应用，是圆中常见的辅助线构造思路，需要熟练掌握圆的基本性质与三角形知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
