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1. 在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图，则∠1的度数是（
A.$72°$
B.$65°$
C.$60°$
D.$54°$
C
）A.$72°$
B.$65°$
C.$60°$
D.$54°$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确解题的两个核心步骤：第一步先求出正六边形的每个内角度数，第二步结合平角的性质计算∠1的度数。首先回忆正多边形内角和公式，正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，正多边形的每个内角都相等，可算出正六边形每个内角的度数；再观察图形，正六边形的一个内角与∠1在矩形的同一条边上，二者之和为平角$180°$，由此就能求出∠1的度数。
【解析】
1. 计算正六边形的每个内角度数：
正六边形的内角和为：$(6-2)×180°=720°$
因为正六边形的所有内角相等，所以单个内角的度数为：$720°÷6=120°$
2. 计算∠1的度数：
由图可知，正六边形的一条边与矩形的边重合，正六边形的内角与∠1构成平角，即二者之和为$180°$，因此：
$∠1=180°-120°=60°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算、平角的性质
【点评】
本题结合剪纸的生活场景考查正多边形的相关计算，将几何知识和实际生活结合，解题关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，结合平角的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确解题的两个核心步骤：第一步先求出正六边形的每个内角度数，第二步结合平角的性质计算∠1的度数。首先回忆正多边形内角和公式，正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，正多边形的每个内角都相等，可算出正六边形每个内角的度数；再观察图形，正六边形的一个内角与∠1在矩形的同一条边上，二者之和为平角$180°$，由此就能求出∠1的度数。
【解析】
1. 计算正六边形的每个内角度数：
正六边形的内角和为：$(6-2)×180°=720°$
因为正六边形的所有内角相等，所以单个内角的度数为：$720°÷6=120°$
2. 计算∠1的度数：
由图可知，正六边形的一条边与矩形的边重合，正六边形的内角与∠1构成平角，即二者之和为$180°$，因此：
$∠1=180°-120°=60°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算、平角的性质
【点评】
本题结合剪纸的生活场景考查正多边形的相关计算，将几何知识和实际生活结合，解题关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，结合平角的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 正八边形的外接圆中，一边所对的劣弧的度数为 （
A.$36°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$72°$
B
）A.$36°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$72°$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正多边形与外接圆的关系：正多边形的各边长度相等，因此它的外接圆中各边所对的劣弧长度也相等，整个圆周的总度数为360°，被正n边形的n条边平均分成n份，求其中一份的度数用总度数除以n即可。本题中n=8，代入计算就能得到劣弧的度数。
【解析】
正八边形的外接圆中，8条边所对的劣弧完全相等，整个圆周的度数为360°，因此一边所对的劣弧的度数为：
$360° ÷ 8 = 45°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与外接圆、弧的度数计算
【点评】
本题是基础题，主要考察正多边形外接圆的性质，解题关键是掌握正n边形的各边将外接圆圆周平均分成n等份，每段劣弧的度数为360°÷n，熟练掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆正多边形与外接圆的关系：正多边形的各边长度相等，因此它的外接圆中各边所对的劣弧长度也相等，整个圆周的总度数为360°，被正n边形的n条边平均分成n份，求其中一份的度数用总度数除以n即可。本题中n=8，代入计算就能得到劣弧的度数。
【解析】
正八边形的外接圆中，8条边所对的劣弧完全相等，整个圆周的度数为360°，因此一边所对的劣弧的度数为：
$360° ÷ 8 = 45°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与外接圆、弧的度数计算
【点评】
本题是基础题，主要考察正多边形外接圆的性质，解题关键是掌握正n边形的各边将外接圆圆周平均分成n等份，每段劣弧的度数为360°÷n，熟练掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 不能作为正多边形内角的度数的是（
A.$120°$
B.$108°$
C.$144°$
D.$145°$
D
）A.$120°$
B.$108°$
C.$144°$
D.$145°$
答案
3. D
解析
【分析】要判断一个度数能否作为正多边形的内角，需结合正多边形的性质分析：正多边形的所有内角相等，所有外角也相等，且任意多边形的外角和恒为$360°$。我们可以通过两种思路验证：一是利用正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$（$n$为边数，是≥3的正整数），代入内角度数看求出的$n$是否为正整数；二是先计算对应外角的度数（外角=$180°$-内角），再用$360°$除以外角度数，若结果是≥3的正整数，则该度数可作为正多边形内角，第二种方法计算更简便，接下来逐个验证选项即可。
【解析】正多边形的外角和为固定值$360°$，且正多边形每个外角度数相等，边数$n=\frac{360°}{外角度数}$，其中$n$是大于等于3的正整数。
选项A：内角为$120°$，对应外角为$180°-120°=60°$，$n=360°÷60°=6$，是正整数，正六边形内角为$120°$，符合要求；
选项B：内角为$108°$，对应外角为$180°-108°=72°$，$n=360°÷72°=5$，是正整数，正五边形内角为$108°$，符合要求；
选项C：内角为$144°$，对应外角为$180°-144°=36°$，$n=360°÷36°=10$，是正整数，正十边形内角为$144°$，符合要求；
选项D：内角为$145°$，对应外角为$180°-145°=35°$，$n=360°÷35°=\frac{72}{7}$，不是正整数，不存在这样的正多边形，不符合要求。
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】本题考查正多边形内角与外角的关系，利用外角和恒为$360°$的固定性质解题可简化计算步骤，解题的核心是验证对应边数是否为不小于3的正整数。
【难度系数】0.8
【解析】正多边形的外角和为固定值$360°$，且正多边形每个外角度数相等，边数$n=\frac{360°}{外角度数}$，其中$n$是大于等于3的正整数。
选项A：内角为$120°$，对应外角为$180°-120°=60°$，$n=360°÷60°=6$，是正整数，正六边形内角为$120°$，符合要求；
选项B：内角为$108°$，对应外角为$180°-108°=72°$，$n=360°÷72°=5$，是正整数，正五边形内角为$108°$，符合要求；
选项C：内角为$144°$，对应外角为$180°-144°=36°$，$n=360°÷36°=10$，是正整数，正十边形内角为$144°$，符合要求；
选项D：内角为$145°$，对应外角为$180°-145°=35°$，$n=360°÷35°=\frac{72}{7}$，不是正整数，不存在这样的正多边形，不符合要求。
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】本题考查正多边形内角与外角的关系，利用外角和恒为$360°$的固定性质解题可简化计算步骤，解题的核心是验证对应边数是否为不小于3的正整数。
【难度系数】0.8
4. 如图，A,B,C,D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的外接圆的圆心。若$∠ ADB=18°$，则这个正多边形的边数为
（
A.10
B.11
C.12
D.13
（
A
）A.10
B.11
C.12
D.13
答案
4. A
解析
【分析】
首先正多边形的所有顶点都在其外接圆上，因此点A、B都在以O为圆心的外接圆上。已知∠ADB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理可先求出弧AB对应的圆心角，该圆心角就是正多边形的中心角。再结合正多边形所有中心角之和为360°，用360°除以单个中心角的度数，即可求出正多边形的边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵A、B是正多边形的顶点，O是正多边形外接圆的圆心，
∴A、B在⊙O上，∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOB=2∠ ADB=2×18°=36°$
正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的和为$360°$，因此正多边形的边数为：
$n=\frac{360°}{36°}=10$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆的性质
【点评】
本题考查圆周角定理和正多边形性质的综合应用，解题的核心是将已知圆周角转化为正多边形的中心角，再利用中心角与边数的关系计算，难度较低，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先正多边形的所有顶点都在其外接圆上，因此点A、B都在以O为圆心的外接圆上。已知∠ADB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理可先求出弧AB对应的圆心角，该圆心角就是正多边形的中心角。再结合正多边形所有中心角之和为360°，用360°除以单个中心角的度数，即可求出正多边形的边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵A、B是正多边形的顶点，O是正多边形外接圆的圆心，
∴A、B在⊙O上，∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOB=2∠ ADB=2×18°=36°$
正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的和为$360°$，因此正多边形的边数为：
$n=\frac{360°}{36°}=10$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆的性质
【点评】
本题考查圆周角定理和正多边形性质的综合应用，解题的核心是将已知圆周角转化为正多边形的中心角，再利用中心角与边数的关系计算，难度较低，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
5. 已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的弦心距为（
A.1
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$
C
）A.1
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$
答案
5. C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆圆内接正六边形的性质：正六边形的外接圆半径等于它的边长，且相邻两个顶点与中心的夹角（中心角）为60°，因此中心与相邻两顶点构成的三角形是等边三角形。弦心距是正多边形中心到任意一边的垂线段长度，我们可以将问题转化为求边长为2的等边三角形的高，通过构造直角三角形利用勾股定理计算即可。
【解析】
步骤1：计算正六边形的中心角
圆内接正六边形的中心角为：$\frac{360°}{6}=60°$
步骤2：判断中心与相邻顶点构成的三角形形状
因为正六边形的外接圆半径为2，所以两条半径长度均为2，且夹角为60°，因此该三角形是等边三角形，可得正六边形的边长等于半径，即边长为2。
步骤3：构造直角三角形求弦心距
弦心距是中心到边的垂线段，它与半条边长、外接圆半径构成直角三角形，其中半径为斜边，半条边长为$2÷2=1$。
根据勾股定理，弦心距$d=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的性质、勾股定理、等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接正六边形的相关计算，解题的核心是掌握“圆内接正六边形的边长等于外接圆半径”这一特殊性质，结合直角三角形的相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆圆内接正六边形的性质：正六边形的外接圆半径等于它的边长，且相邻两个顶点与中心的夹角（中心角）为60°，因此中心与相邻两顶点构成的三角形是等边三角形。弦心距是正多边形中心到任意一边的垂线段长度，我们可以将问题转化为求边长为2的等边三角形的高，通过构造直角三角形利用勾股定理计算即可。
【解析】
步骤1：计算正六边形的中心角
圆内接正六边形的中心角为：$\frac{360°}{6}=60°$
步骤2：判断中心与相邻顶点构成的三角形形状
因为正六边形的外接圆半径为2，所以两条半径长度均为2，且夹角为60°，因此该三角形是等边三角形，可得正六边形的边长等于半径，即边长为2。
步骤3：构造直角三角形求弦心距
弦心距是中心到边的垂线段，它与半条边长、外接圆半径构成直角三角形，其中半径为斜边，半条边长为$2÷2=1$。
根据勾股定理，弦心距$d=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的性质、勾股定理、等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接正六边形的相关计算，解题的核心是掌握“圆内接正六边形的边长等于外接圆半径”这一特殊性质，结合直角三角形的相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 下列命题中正确的有
①正多边形的各边相等。
②各边相等的多边形是正多边形。
③正多边形的各内角相等。
④各内角相等的多边形是正多边形。
⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形。
2
个。①正多边形的各边相等。
②各边相等的多边形是正多边形。
③正多边形的各内角相等。
④各内角相等的多边形是正多边形。
⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形。
答案
6. 2
解析
【分析】
解题的核心是明确正多边形的定义：同时满足各边相等、各内角相等的多边形才是正多边形，二者缺一不可。解题时先逐个分析5个命题，对正确命题结合正多边形性质判断，对错误命题通过举反例验证，最后统计正确命题的数量即可。
【解析】
我们结合正多边形的定义和性质逐个判断：
1. 命题①：正多边形的定义要求各边相等，因此正多边形的各边一定相等，该命题正确；
2. 命题②：仅各边相等不能判定是正多边形，例如菱形的四条边都相等，但它的内角不一定全部相等，不属于正多边形，该命题错误；
3. 命题③：正多边形的定义要求各内角相等，因此正多边形的各内角一定相等，该命题正确；
4. 命题④：仅各内角相等不能判定是正多边形，例如矩形的四个内角都是90°相等，但它的边长不一定全部相等，不属于正多边形，该命题错误；
5. 命题⑤：既是轴对称又是中心对称的多边形不一定是正多边形，例如矩形、菱形都满足该对称性质，但都不是正多边形，该命题错误。
综上，正确的命题是①③，共2个。
【答案】
2
【知识点】
正多边形的性质与判定；轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题重点考查对正多边形概念的掌握，要注意正多边形需要同时满足“各边相等”“各内角相等”两个必要条件，判断相关命题时可以通过举常见的反例快速排除错误说法，切忌只满足一个条件就判定为正多边形。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确正多边形的定义：同时满足各边相等、各内角相等的多边形才是正多边形，二者缺一不可。解题时先逐个分析5个命题，对正确命题结合正多边形性质判断，对错误命题通过举反例验证，最后统计正确命题的数量即可。
【解析】
我们结合正多边形的定义和性质逐个判断：
1. 命题①：正多边形的定义要求各边相等，因此正多边形的各边一定相等，该命题正确；
2. 命题②：仅各边相等不能判定是正多边形，例如菱形的四条边都相等，但它的内角不一定全部相等，不属于正多边形，该命题错误；
3. 命题③：正多边形的定义要求各内角相等，因此正多边形的各内角一定相等，该命题正确；
4. 命题④：仅各内角相等不能判定是正多边形，例如矩形的四个内角都是90°相等，但它的边长不一定全部相等，不属于正多边形，该命题错误；
5. 命题⑤：既是轴对称又是中心对称的多边形不一定是正多边形，例如矩形、菱形都满足该对称性质，但都不是正多边形，该命题错误。
综上，正确的命题是①③，共2个。
【答案】
2
【知识点】
正多边形的性质与判定；轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题重点考查对正多边形概念的掌握，要注意正多边形需要同时满足“各边相等”“各内角相等”两个必要条件，判断相关命题时可以通过举常见的反例快速排除错误说法，切忌只满足一个条件就判定为正多边形。
【难度系数】
0.7
7. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形，它的每个内角的度数是
140°
。答案
7. $140°$
解析
【分析】
要求正九边形每个内角的度数，可先利用多边形内角和公式求出正九边形的内角总和，再结合正多边形各内角相等的性质，将内角和平均分配到9个内角即可得到结果；也可利用多边形外角和恒为360°的规律，先求出每个外角的度数，再结合内角与相邻外角互补的关系计算内角。
【解析】
根据多边形内角和公式：$n$边形的内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）。
当$n=9$时，正九边形的内角和为：
$(9-2)×180°=7×180°=1260°$
因为正九边形的所有内角都相等，所以每个内角的度数为：
$1260°÷9=140°$
也可通过外角计算：任意多边形外角和为$360°$，正九边形每个外角相等，故每个外角为$360°÷9=40°$，相邻内角度数为$180°-40°=140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
多边形内角和公式；正多边形的性质
【点评】
本题是正多边形相关的基础常考题，解题方法灵活，熟练掌握多边形内角和、外角和的相关规律即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要求正九边形每个内角的度数，可先利用多边形内角和公式求出正九边形的内角总和，再结合正多边形各内角相等的性质，将内角和平均分配到9个内角即可得到结果；也可利用多边形外角和恒为360°的规律，先求出每个外角的度数，再结合内角与相邻外角互补的关系计算内角。
【解析】
根据多边形内角和公式：$n$边形的内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）。
当$n=9$时，正九边形的内角和为：
$(9-2)×180°=7×180°=1260°$
因为正九边形的所有内角都相等，所以每个内角的度数为：
$1260°÷9=140°$
也可通过外角计算：任意多边形外角和为$360°$，正九边形每个外角相等，故每个外角为$360°÷9=40°$，相邻内角度数为$180°-40°=140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
多边形内角和公式；正多边形的性质
【点评】
本题是正多边形相关的基础常考题，解题方法灵活，熟练掌握多边形内角和、外角和的相关规律即可快速求解。
【难度系数】
0.85
8. 某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得$∠ BAC=15°$，则这个正多边形的边数为
12
。答案
8. 12
解析
【分析】
首先，AB和BC是正多边形的相邻边，根据正多边形各边相等的性质可得AB=BC，因此△ABC是等腰三角形。已知∠BAC=15°，利用等腰三角形两底角相等的性质可求出△ABC的顶角∠ABC，也就是正多边形的一个内角度数。再结合正多边形外角和为360°的性质，即可求出正多边形的边数。
【解析】
∵ AB、BC是正多边形的相邻边，
∴ AB=BC，△ABC为等腰三角形，
∴ ∠BCA=∠BAC=15°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-15°-15°=150°，
即该正多边形的每个内角为150°，
∴ 正多边形的每个外角度数为180°-150°=30°，
∵ 任意正多边形的外角和均为360°，
∴ 正多边形的边数为 $360° ÷ 30° =12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形性质；正多边形的性质；多边形外角和定理
【点评】
本题将等腰三角形性质和正多边形的知识点结合考查，解题关键是先求出正多边形的内角度数，借助外角和为固定值360°计算边数的方法比用内角和公式计算更简便，是正多边形相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先，AB和BC是正多边形的相邻边，根据正多边形各边相等的性质可得AB=BC，因此△ABC是等腰三角形。已知∠BAC=15°，利用等腰三角形两底角相等的性质可求出△ABC的顶角∠ABC，也就是正多边形的一个内角度数。再结合正多边形外角和为360°的性质，即可求出正多边形的边数。
【解析】
∵ AB、BC是正多边形的相邻边，
∴ AB=BC，△ABC为等腰三角形，
∴ ∠BCA=∠BAC=15°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-15°-15°=150°，
即该正多边形的每个内角为150°，
∴ 正多边形的每个外角度数为180°-150°=30°，
∵ 任意正多边形的外角和均为360°，
∴ 正多边形的边数为 $360° ÷ 30° =12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形性质；正多边形的性质；多边形外角和定理
【点评】
本题将等腰三角形性质和正多边形的知识点结合考查，解题关键是先求出正多边形的内角度数，借助外角和为固定值360°计算边数的方法比用内角和公式计算更简便，是正多边形相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,正方形ABCD内接于$\odot O,\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$,求证:$BM=CM$。
答案
9. 证明:因为四边形ABCD是正方形，
所以$AB=CD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
因为$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$,所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$,即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$,
所以$BM=CM$。
所以$AB=CD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
因为$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$,所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$,即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$,
所以$BM=CM$。
解析
【分析】
要证明弦$BM=CM$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等的性质，可先证明二者对应的弧$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。首先由正方形内接于$\odot O$可知，正方形的边相等，对应所对的弧也相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；再结合已知条件$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，利用等量加等量和相等的性质，即可推得$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，进而得到$BM=CM$的结论。
【解析】
证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以$AB=CD$，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
又因为$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，
根据同圆中等弧对等弦，可得$BM=CM$。
【答案】
证明:因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=CD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。因为$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$,所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$,即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$,所以$BM=CM$。
【知识点】
正方形的性质、弧弦对等关系、弧的和差运算
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查圆内弦与弧的等量转化逻辑，结合正方形内接于圆的性质即可快速推导，能够帮助学生巩固圆与正多边形相关的基础性质。
【难度系数】
0.8
要证明弦$BM=CM$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等的性质，可先证明二者对应的弧$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。首先由正方形内接于$\odot O$可知，正方形的边相等，对应所对的弧也相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；再结合已知条件$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，利用等量加等量和相等的性质，即可推得$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，进而得到$BM=CM$的结论。
【解析】
证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以$AB=CD$，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
又因为$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，
根据同圆中等弧对等弦，可得$BM=CM$。
【答案】
证明:因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=CD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。因为$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$,所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$,即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$,所以$BM=CM$。
【知识点】
正方形的性质、弧弦对等关系、弧的和差运算
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查圆内弦与弧的等量转化逻辑，结合正方形内接于圆的性质即可快速推导，能够帮助学生巩固圆与正多边形相关的基础性质。
【难度系数】
0.8
