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1. 下列三组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。
（1）7,24,25；
（2）1,2,$\sqrt{3}$；
（3）3k,4k,5k（k是正整数）。
（1）7,24,25；
（2）1,2,$\sqrt{3}$；
（3）3k,4k,5k（k是正整数）。
答案
（1）因为7＜24＜25，又因为$7^2+24^2=25^2$，所以7,24,25能作为直角三角形的三边长。
（2）因为1＜$\sqrt{3}$＜2，又因为$1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，所以1,2,$\sqrt{3}$能作为直角三角形的三边长。
（3）因为3k＜4k＜5k，又因为$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，所以3k,4k,5k能作为直角三角形的三边长。
（2）因为1＜$\sqrt{3}$＜2，又因为$1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，所以1,2,$\sqrt{3}$能作为直角三角形的三边长。
（3）因为3k＜4k＜5k，又因为$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，所以3k,4k,5k能作为直角三角形的三边长。
解析
【分析】
要判断三组数能否作为直角三角形的三边长，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题步骤为：①先将每组的三个数按从小到大排序，确定最长边；②计算两条较短边的平方和，与最长边的平方作比较；③若二者相等，则可以作为直角三角形的三边长，反之则不能。注意第三组数中k是正整数，因此3k、4k、5k均为正数，符合三角形边长的要求。
【解析】
（1）将7,24,25排序得7＜24＜25，最长边为25。计算得$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，即$7^2+24^2=25^2$，满足勾股定理逆定理的要求。
（2）将1,2,$\sqrt{3}$排序得1＜$\sqrt{3}$＜2，最长边为2。计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$，$2^2=4$，即$1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，满足勾股定理逆定理的要求。
（3）因为k是正整数，所以3k、4k、5k均为正，排序得3k＜4k＜5k，最长边为5k。计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2$，$(5k)^2=25k^2$，即$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，满足勾股定理逆定理的要求。
【答案】
（1）因为7＜24＜25，又因为$7^2+24^2=25^2$，所以7,24,25能作为直角三角形的三边长。
（2）因为1＜$\sqrt{3}$＜2，又因为$1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，所以1,2,$\sqrt{3}$能作为直角三角形的三边长。
（3）因为3k＜4k＜5k，又因为$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，所以3k,4k,5k（k是正整数）能作为直角三角形的三边长。
【知识点】
1.勾股定理的逆定理
2.平方运算
3.代数式化简
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先确定最长边，再验证两边平方和与第三边平方的等量关系，含参数的情况要注意参数取值范围需保证边长为正，掌握逆定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断三组数能否作为直角三角形的三边长，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题步骤为：①先将每组的三个数按从小到大排序，确定最长边；②计算两条较短边的平方和，与最长边的平方作比较；③若二者相等，则可以作为直角三角形的三边长，反之则不能。注意第三组数中k是正整数，因此3k、4k、5k均为正数，符合三角形边长的要求。
【解析】
（1）将7,24,25排序得7＜24＜25，最长边为25。计算得$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，即$7^2+24^2=25^2$，满足勾股定理逆定理的要求。
（2）将1,2,$\sqrt{3}$排序得1＜$\sqrt{3}$＜2，最长边为2。计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$，$2^2=4$，即$1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，满足勾股定理逆定理的要求。
（3）因为k是正整数，所以3k、4k、5k均为正，排序得3k＜4k＜5k，最长边为5k。计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2$，$(5k)^2=25k^2$，即$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，满足勾股定理逆定理的要求。
【答案】
（1）因为7＜24＜25，又因为$7^2+24^2=25^2$，所以7,24,25能作为直角三角形的三边长。
（2）因为1＜$\sqrt{3}$＜2，又因为$1^2+(\sqrt{3})^2=2^2$，所以1,2,$\sqrt{3}$能作为直角三角形的三边长。
（3）因为3k＜4k＜5k，又因为$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，所以3k,4k,5k（k是正整数）能作为直角三角形的三边长。
【知识点】
1.勾股定理的逆定理
2.平方运算
3.代数式化简
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先确定最长边，再验证两边平方和与第三边平方的等量关系，含参数的情况要注意参数取值范围需保证边长为正，掌握逆定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，三个正方形的面积分别为$S_1,S_2,S_3$。若$S_1=5$，$S_2=4$，$S_3=9$，则$△ ABC$是直角三角形吗？为什么？
答案
$△ ABC$为直角三角形。理由如下:因为$S_1=5,S_2=4,S_3=9$,所以$S_1+S_2=S_3$,即$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$△ ABC$为直角三角形。
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理，验证三角形两边的平方和是否等于第三边的平方即可。观察图形可知三个正方形的边长恰好对应△ABC的三边，根据正方形面积等于边长的平方，可得S₁=AC²，S₂=BC²，S₃=AB²，因此只需验证S₁+S₂是否等于S₃就能得出结论。
【解析】
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵正方形的面积等于边长的平方
∴$AC^2=S_1=5$，$BC^2=S_2=4$，$AB^2=S_3=9$
∵$5+4=9$，即$AC^2+BC^2=AB^2$
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC为直角三角形。理由如下:因为$S_1=5,S_2=4,S_3=9$,所以$S_1+S_2=S_3$,即$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$△ ABC$为直角三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理、正方形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是建立正方形面积与三角形三边平方的对应关系，熟练掌握勾股定理逆定理的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理，验证三角形两边的平方和是否等于第三边的平方即可。观察图形可知三个正方形的边长恰好对应△ABC的三边，根据正方形面积等于边长的平方，可得S₁=AC²，S₂=BC²，S₃=AB²，因此只需验证S₁+S₂是否等于S₃就能得出结论。
【解析】
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵正方形的面积等于边长的平方
∴$AC^2=S_1=5$，$BC^2=S_2=4$，$AB^2=S_3=9$
∵$5+4=9$，即$AC^2+BC^2=AB^2$
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC为直角三角形。理由如下:因为$S_1=5,S_2=4,S_3=9$,所以$S_1+S_2=S_3$,即$AC^2+BC^2=AB^2$,所以$△ ABC$为直角三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理、正方形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是建立正方形面积与三角形三边平方的对应关系，熟练掌握勾股定理逆定理的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 若三角形的三边长分别为$a,b,c$，且满足$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，则此三角形中最大的角是（
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.无法确定
B
）。A.锐角
B.直角
C.钝角
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
首先我们需要先对题目给出的边长等式进行化简，通过展开完全平方、合并同类项得到三角形三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而确定最大角的类型。
【解析】
先化简已知等式：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - c^2 &= 2ab\\\mathrm{展开完全平方得：} \quad a^2 + 2ab + b^2 - c^2 &= 2ab\\\mathrm{两边同时减去}2ab\mathrm{得：} \quad a^2 + b^2 - c^2 &= 0\\\mathrm{整理得：} \quad a^2 + b^2 &= c^2\end{aligned}$
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，直角对应的边为最长边，对应的角是最大角，即直角。
因此此三角形中最大的角是直角。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是先通过整式的化简运算得到三角形三边的平方关系，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可得到答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先我们需要先对题目给出的边长等式进行化简，通过展开完全平方、合并同类项得到三角形三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而确定最大角的类型。
【解析】
先化简已知等式：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - c^2 &= 2ab\\\mathrm{展开完全平方得：} \quad a^2 + 2ab + b^2 - c^2 &= 2ab\\\mathrm{两边同时减去}2ab\mathrm{得：} \quad a^2 + b^2 - c^2 &= 0\\\mathrm{整理得：} \quad a^2 + b^2 &= c^2\end{aligned}$
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，直角对应的边为最长边，对应的角是最大角，即直角。
因此此三角形中最大的角是直角。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是先通过整式的化简运算得到三角形三边的平方关系，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可得到答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，D是BC上一点，$AB=20$，$BD=16$，$DC=9$，$AD=12$。找出图中所有的直角，并说明理由。
答案
直角有$∠ADB,∠ADC,∠BAC$。理由如下:由$AB=20,BD=16,AD=12$,得$AD^2+BD^2=AB^2$,所以$∠ADB=90°$。由此可得$∠ADC=90°$。所以$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。所以$AC^2+BA^2=CB^2$,所以$∠BAC=90°$。
解析
【分析】
要找出图中的直角，可利用勾股定理的逆定理判断：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角为直角。首先观察△ABD，它的三边长均已知，可先验证其是否符合勾股定理逆定理，得到第一个直角；再根据邻补角的性质推导∠ADC是否为直角；接着在Rt△ADC中用勾股定理求出AC的长度，再验证△ABC的三边是否符合勾股定理逆定理，判断∠BAC是否为直角。
【解析】
解：①判断∠ADB：
在△ABD中，AD=12，BD=16，AB=20，
∵$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$，$AB^2 = 20^2 = 400$，
∴$AD^2 + BD^2 = AB^2$，由勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，$∠ADB=90°$。
②判断∠ADC：
∵∠ADB与∠ADC是邻补角，$∠ADB + ∠ADC = 180°$，
∴$∠ADC = 180° - 90° = 90°$。
③计算AC并判断∠BAC：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$，
又
∵$BC = BD + DC = 16 + 9 = 25$，
∴$AC^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，$BC^2 = 25^2 = 625$，
∴$AC^2 + AB^2 = BC^2$，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，$∠BAC=90°$。
【答案】
直角有$∠ADB,∠ADC,∠BAC$。理由如下:由$AB=20,BD=16,AD=12$,得$AD^2+BD^2=AB^2$,所以$∠ADB=90°$。由此可得$∠ADC=90°$。所以$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。所以$AC^2+BA^2=CB^2$,所以$∠BAC=90°$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；邻补角的性质
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题时需从边长已知的三角形入手逐步推导，能较好地检验对两个定理的区分及灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要找出图中的直角，可利用勾股定理的逆定理判断：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角为直角。首先观察△ABD，它的三边长均已知，可先验证其是否符合勾股定理逆定理，得到第一个直角；再根据邻补角的性质推导∠ADC是否为直角；接着在Rt△ADC中用勾股定理求出AC的长度，再验证△ABC的三边是否符合勾股定理逆定理，判断∠BAC是否为直角。
【解析】
解：①判断∠ADB：
在△ABD中，AD=12，BD=16，AB=20，
∵$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$，$AB^2 = 20^2 = 400$，
∴$AD^2 + BD^2 = AB^2$，由勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，$∠ADB=90°$。
②判断∠ADC：
∵∠ADB与∠ADC是邻补角，$∠ADB + ∠ADC = 180°$，
∴$∠ADC = 180° - 90° = 90°$。
③计算AC并判断∠BAC：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$，
又
∵$BC = BD + DC = 16 + 9 = 25$，
∴$AC^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，$BC^2 = 25^2 = 625$，
∴$AC^2 + AB^2 = BC^2$，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，$∠BAC=90°$。
【答案】
直角有$∠ADB,∠ADC,∠BAC$。理由如下:由$AB=20,BD=16,AD=12$,得$AD^2+BD^2=AB^2$,所以$∠ADB=90°$。由此可得$∠ADC=90°$。所以$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$。所以$AC^2+BA^2=CB^2$,所以$∠BAC=90°$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；邻补角的性质
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题时需从边长已知的三角形入手逐步推导，能较好地检验对两个定理的区分及灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=13\ \mathrm{cm}$,$D$是$AC$上一点,$DC=1\ \mathrm{cm}$,$BD=5\ \mathrm{cm}$。求$△ ABC$的面积。
答案
由已知,$AD=AC-CD=13-1=12(\mathrm{cm})$。又因为$AB=13\mathrm{cm},BD=5\mathrm{cm}$,所以$AD^2+BD^2=AB^2$,所以$∠ADB=90°$。所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{65}{2}\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时先整理已知条件：已知$AB=AC=13\mathrm{cm}$，$DC=1\mathrm{cm}$，$BD=5\mathrm{cm}$。第一步先通过线段和差关系求出$AD$的长度；再观察$△ ABD$的三边长，验证是否符合勾股定理逆定理的条件，若满足则可判断$BD⊥ AC$，此时$BD$就是$△ ABC$中$AC$边上的高；最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
1. 计算$AD$的长度：
$AD=AC-CD=13-1=12(\mathrm{cm})$
2. 判断$△ ABD$的形状：
在$△ ABD$中，$AD=12\mathrm{cm}$，$BD=5\mathrm{cm}$，$AB=13\mathrm{cm}$
$AD^2+BD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AB^2=13^2=169$
因此$AD^2+BD^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
3. 计算$△ ABC$的面积：
$AC$为$△ ABC$的底，$BD$为$AC$边上的高，代入面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×13×5=\frac{65}{2}(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{65}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形面积计算、线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用勾股定理的逆定理判断线段的垂直关系，从而得到三角形的高，解题过程逻辑清晰，侧重对基础定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8
解题时先整理已知条件：已知$AB=AC=13\mathrm{cm}$，$DC=1\mathrm{cm}$，$BD=5\mathrm{cm}$。第一步先通过线段和差关系求出$AD$的长度；再观察$△ ABD$的三边长，验证是否符合勾股定理逆定理的条件，若满足则可判断$BD⊥ AC$，此时$BD$就是$△ ABC$中$AC$边上的高；最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
1. 计算$AD$的长度：
$AD=AC-CD=13-1=12(\mathrm{cm})$
2. 判断$△ ABD$的形状：
在$△ ABD$中，$AD=12\mathrm{cm}$，$BD=5\mathrm{cm}$，$AB=13\mathrm{cm}$
$AD^2+BD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AB^2=13^2=169$
因此$AD^2+BD^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
3. 计算$△ ABC$的面积：
$AC$为$△ ABC$的底，$BD$为$AC$边上的高，代入面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×13×5=\frac{65}{2}(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{65}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形面积计算、线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用勾股定理的逆定理判断线段的垂直关系，从而得到三角形的高，解题过程逻辑清晰，侧重对基础定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8
