1. (2024·溧阳期末)已知∠α=45°，则 sinα 的值是()

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1

1.A

2. (2023·杭州)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.若∠AOB=60°，则$\frac{AB}{BC}$=()


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

2.D

证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$∠ ABC=90°$，
∴$OA=OB$。
∵$∠ AOB=60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$AB=OA$。
设$AB=OA=x$，则$AC=2OA=2x$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
D

3. 满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的是()

A.AB=$\sqrt{41}$，BC=4，AC=5
B.AB:BC:AC=3:4:5

C.∠A:∠B:∠C=3:4:5
D.$\left|\cos A-\frac{1}{2}\right|+(\tan B-\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}=0$

3.C

解：选项A：$AB=\sqrt{41}$，$BC=4$，$AC=5$，$BC^2+AC^2=4^2+5^2=16+25=41=AB^2$，是直角三角形。
选项B：设$AB=3k$，$BC=4k$，$AC=5k$，$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，是直角三角形。
选项C：设$∠ A=3x$，$∠ B=4x$，$∠ C=5x$，$3x+4x+5x=180°$，$12x=180°$，$x=15°$，$∠ A=45°$，$∠ B=60°$，$∠ C=75°$，不是直角三角形。
选项D：$\left|\cos A - \frac{1}{2}\right| + (\tan B - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 0$，则$\cos A = \frac{1}{2}$，$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$∠ A=60°$，$∠ B=30°$，$∠ C=90°$，是直角三角形。
答案：C

4. 已知一个直角三角形的一个锐角是另一个锐角的一半，则该锐角的正弦值等于.

4.$\frac{1}{2}$

设该锐角为$ α $，则另一个锐角为$ 2α $。
因为直角三角形两锐角互余，所以$ α + 2α = 90° $，解得$ α = 30° $。
$\sin 30° = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$

5. (2023·建邺区月考)点 P(sin30°，tan45°)关于 x 轴的对称点为 Q，点 Q 关于原点的对称点为 M，则点 M 的坐标为.

5.$( -\frac{1}{2},1 )$

$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，则点$P(\frac{1}{2},1)$。
点$P$关于$x$轴的对称点$Q$的坐标为$(\frac{1}{2},-1)$。
点$Q$关于原点的对称点$M$的坐标为$(-\frac{1}{2},1)$。
$(-\frac{1}{2},1)$

6. 计算：
(1) $2\sin 30^{\circ}+3\cos 60^{\circ}-4\tan 45^{\circ}$；
(2) $\cos 30^{\circ}\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}\cos 45^{\circ}$；
(3) $\sqrt{3}\sin 60^{\circ}-3\tan 30^{\circ}\cos 30^{\circ}$；
(4) $(\sin 60^{\circ}+\cos 45^{\circ})(\sin 60^{\circ}-\cos 45^{\circ})$.

6.(1)$-1\frac{1}{2}$　(2)$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$　(3)0　(4)$\frac{1}{4}$

(1) $2\sin 30^{\circ}+3\cos 60^{\circ}-4\tan 45^{\circ}$
$=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}-4×1$
$=1+\frac{3}{2}-4$
$=\frac{5}{2}-4$
$=-\frac{3}{2}$
(2) $\cos 30^{\circ}\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}\cos 45^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
(3) $\sqrt{3}\sin 60^{\circ}-3\tan 30^{\circ}\cos 30^{\circ}$
$=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{3}{2}-3×\frac{3}{6}$
$=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$
$=0$
(4) $(\sin 60^{\circ}+\cos 45^{\circ})(\sin 60^{\circ}-\cos 45^{\circ})$
$=\sin^{2}60^{\circ}-\cos^{2}45^{\circ}$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}$
$=\frac{1}{4}$

7. 在锐角△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边长分别为 a，b，c，有以下结论：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$(其中 R 为△ABC 的外接圆半径)成立. 在△ABC 中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则△ABC 的外接圆面积为()

A.$\frac{16π}{3}$
B.$\frac{64π}{3}$
C.16π
D.64π

7.A

在△ABC中，∠A=75°，∠B=45°，
∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°。
已知c=4，由正弦定理$\frac{c}{\sin C}=2R$，
得$2R=\frac{4}{\sin 60°}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}$，
则$R=\frac{4}{\sqrt{3}}$，
外接圆面积$S=π R^2=π(\frac{4}{\sqrt{3}})^2=\frac{16π}{3}$。
A