1. (2023·金坛模拟)已知抛物线的顶点坐标是$(1,3)$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，则抛物线的函数表达式可以是()

A.$y=-2(x+1)^{2}+3$
B.$y=2(x+1)^{2}+3$
C.$y=-2(x-1)^{2}+3$
D.$y=2(x-1)^{2}+3$

1. D

抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$。已知顶点坐标是$(1,3)$，则$h=1$，$k=3$，所以表达式应为$y=a(x - 1)^2 + 3$，排除A、B选项。当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明抛物线开口向上，$a＞0$，C选项$a=-2＜0$，D选项$a=2＞0$，故答案为D。

2. (2023·上海)二次函数$y=ax^{2}+bx+c$图像的顶点在$y$轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是.

2. $ y = -x^{2} + 1 $（答案不唯一）

3. 在平面直角坐标系$xOy$中，二次函数$y=-x^{2}+2mx-m^{2}+1$的图像的对称轴是直线$x=1$，则二次函数的表达式为；该二次函数的最大值是.

3. $ y = -x^{2} + 2x $ 1

解：对于二次函数$y = -x^{2} + 2mx - m^{2} + 1$，其对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}$，其中$a=-1$，$b = 2m$。
已知对称轴是直线$x = 1$，则$-\frac{2m}{2×(-1)}=1$，
即$-\frac{2m}{-2}=1$，$m = 1$。
将$m = 1$代入二次函数表达式，得$y=-x^{2}+2×1× x - 1^{2}+1=-x^{2}+2x$。
因为$a=-1＜0$，所以二次函数图像开口向下，有最大值，当$x = 1$时，$y_{max}=-(1)^{2}+2×1=1$。
$y = -x^{2} + 2x$；1

4. 已知抛物线$y=x^{2}+(m-2)x-2m$，当顶点在$y$轴上时，其函数表达式为；当顶点在$x$轴上时，其函数表达式为.

4. $ y = x^{2} - 4 $ $ y = x^{2} - 4x + 4 $

当顶点在$y$轴上时，抛物线对称轴为$x=0$，对于抛物线$y = x^{2}+(m - 2)x-2m$，对称轴为$x=-\frac{m - 2}{2}$，则$-\frac{m - 2}{2}=0$，解得$m = 2$，函数表达式为$y=x^{2}-4$；当顶点在$x$轴上时，抛物线与$x$轴只有一个交点，即判别式$\Delta=(m - 2)^{2}-4×1×(-2m)=0$，化简得$m^{2}+4m + 4=0$，$(m + 2)^{2}=0$，解得$m=-2$，函数表达式为$y=x^{2}-4x + 4$。
$y = x^{2}-4$；$y=x^{2}-4x + 4$

5. 已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图像经过点$(-1,0)$，$(3,0)$.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当$-2≤ x≤ 2$时，求$y$的最大值与最小值的差.

5. 解：(1)将$(-1,0)$，$(3,0)$代入$ y = x^{2} + bx + c $，
得$\begin{cases}1 - b + c = 0,\\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\c = -3,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$ y = x^{2} - 2x - 3 $。
(2)$\because y = x^{2} - 2x - 3 = (x - 1)^{2} - 4 $，
∴当$-2≤ x≤ 2$时，$-4≤ y≤ 5$，
∴$ y $的最大值与最小值的差为$ 5 - (-4) = 9 $。

6. (2024·武进区模拟)已知抛物线$y=x^{2}+(3m-1)x-3m(m＞0)$的最低点的纵坐标为$-4$，则抛物线的函数表达式是()

A.$y=x^{2}-6x+5$
B.$y=x^{2}+2x-3$
C.$y=x^{2}+5x-6$
D.$y=x^{2}+4x-5$

6. B

对于抛物线$y = x^2 + (3m - 1)x - 3m$（$m＞0$），其二次项系数为$1＞0$，抛物线开口向上，存在最低点。
抛物线顶点的纵坐标公式为$y = \frac{4ac - b^2}{4a}$，其中$a = 1$，$b = 3m - 1$，$c=-3m$。
已知最低点的纵坐标为$-4$，则：
$\begin{aligned}\frac{4×1×(-3m)-(3m - 1)^2}{4×1}&=-4\\4×(-3m)-(9m^2 - 6m + 1)&=-16\\-12m - 9m^2 + 6m - 1&=-16\\-9m^2 - 6m - 1 + 16&=0\\-9m^2 - 6m + 15&=0\\3m^2 + 2m - 5&=0\\(3m + 5)(m - 1)&=0\end{aligned}$
解得$m = 1$或$m=-\frac{5}{3}$，因为$m＞0$，所以$m = 1$。
将$m = 1$代入抛物线表达式：$y=x^2+(3×1 - 1)x-3×1=x^2 + 2x - 3$。
答案：B

7. 如图，将函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}+1$的图像沿$y$轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点$A(1,m)$，$B(4,n)$平移后的对应点分别为$A'$，$B'$.若曲线段$AB$扫过的面积为$9$(图中的阴影部分)，则新图像的函数表达式是()


A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}-2$
B.$y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}+7$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}-5$
D.$y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}+4$

7. D

解：设函数图像沿$y$轴向上平移$k$个单位，新函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1 + k$。
点$A(1,m)$在原函数上，代入得$m=\frac{1}{2}(1 - 2)^2 + 1=\frac{3}{2}$，故$A(1,\frac{3}{2})$，平移后$A'(1,\frac{3}{2}+k)$。
点$B(4,n)$在原函数上，代入得$n=\frac{1}{2}(4 - 2)^2 + 1=3$，故$B(4,3)$，平移后$B'(4,3 + k)$。
曲线段$AB$扫过的面积为平行四边形$AA'B'B$的面积，底为$4 - 1 = 3$，高为$k$，则$3k = 9$，解得$k = 3$。
新函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1 + 3=\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 4$。
答案：D