8. (2023·玄武区月考)设函数$y=a(x-h)^{2}+k(a,h,k$是实数，$a≠ 0)$，当$x=1$时，$y=1$；当$x=6$时，$y=6$，()

A.若$h=2$，则$a＜0$
B.若$h=3$，则$a＞0$
C.若$h=4$，则$a＞0$
D.若$h=5$，则$a＞0$

8. B

当$x=1$时，$y=1$，则$1=a(1-h)^{2}+k$；当$x=6$时，$y=6$，则$6=a(6-h)^{2}+k$。两式相减得：$5=a[(6-h)^{2}-(1-h)^{2}]$，化简得$5=a(5)(7-2h)$，即$a=\dfrac{1}{7-2h}$。
若$h=2$，则$a=\dfrac{1}{7-4}=\dfrac{1}{3}＞0$，A错误；
若$h=3$，则$a=\dfrac{1}{7-6}=1＞0$，B正确；
若$h=4$，则$a=\dfrac{1}{7-8}=-1＜0$，C错误；
若$h=5$，则$a=\dfrac{1}{7-10}=-\dfrac{1}{3}＜0$，D错误。
B

9. (2024·苏州)二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠ 0)$的图像过点$A(0,m)$，$B(1,-m)$，$C(2,n)$，$D(3,-m)$，其中$m$，$n$为常数，则$\frac{m}{n}$的值为.

9. $ -\frac{3}{5} $

解：
∵二次函数图像过点$B(1,-m)$，$D(3,-m)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$，即$-\frac{b}{2a}=2$，得$b=-4a$。
∵图像过点$A(0,m)$，
∴$c=m$。
∵图像过点$B(1,-m)$，
∴$a(1)^2 + b(1) + c = -m$，
将$b=-4a$，$c=m$代入得：$a - 4a + m = -m$，
解得$a = \frac{2m}{3}$，则$b = -4a = -\frac{8m}{3}$。
∴二次函数解析式为$y = \frac{2m}{3}x^2 - \frac{8m}{3}x + m$。
∵图像过点$C(2,n)$，
∴$n = \frac{2m}{3}(2)^2 - \frac{8m}{3}(2) + m = \frac{8m}{3} - \frac{16m}{3} + m = -\frac{5m}{3}$。
∴$\frac{m}{n} = \frac{m}{-\frac{5m}{3}} = -\frac{3}{5}$。
$-\frac{3}{5}$

10. 如图，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$在$y$轴的正半轴上，点$B$在第一象限，$CB// x$轴，且$CA=CB$.若抛物线$y=a(x-1)^{2}+k$经过$A$，$B$，$C$三点，则此抛物线的函数表达式为.

10. $ y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)^{2} + \frac{4\sqrt{3}}{3} $

解：设点$C$的坐标为$(0, c)$，其中$c ＞ 0$。
因为$CB // x$轴，所以点$B$的纵坐标与点$C$相同，设点$B$的坐标为$(b, c)$，其中$b ＞ 0$。
已知点$A(-1, 0)$，且$CA = CB$。
$CA$的长度为$\sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - c)^2} = \sqrt{1 + c^2}$，$CB$的长度为$b - 0 = b$，所以$b = \sqrt{1 + c^2}$。
抛物线$y = a(x - 1)^2 + k$经过点$A(-1, 0)$，$B(b, c)$，$C(0, c)$。
将点$A(-1, 0)$代入抛物线方程得：$0 = a(-1 - 1)^2 + k$，即$4a + k = 0$，所以$k = -4a$。
将点$C(0, c)$代入抛物线方程得：$c = a(0 - 1)^2 + k = a + k$，又因为$k = -4a$，所以$c = a - 4a = -3a$，即$a = -\frac{c}{3}$。
将点$B(b, c)$代入抛物线方程得：$c = a(b - 1)^2 + k$，把$k = -4a$代入得：$c = a(b - 1)^2 - 4a = a[(b - 1)^2 - 4]$。
因为$a = -\frac{c}{3}$，且$c ≠ 0$，所以等式两边同时除以$c$得：$1 = -\frac{1}{3}[(b - 1)^2 - 4]$，即$-3 = (b - 1)^2 - 4$，$(b - 1)^2 = 1$，解得$b - 1 = \pm 1$。
因为$b ＞ 0$，且$CB // x$轴，点$B$在第一象限，所以$b = 2$（$b = 0$舍去）。
又因为$b = \sqrt{1 + c^2} = 2$，所以$1 + c^2 = 4$，$c^2 = 3$，$c = \sqrt{3}$（$c ＞ 0$）。
则$a = -\frac{c}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$，$k = -4a = -4 × (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{3}$。
所以抛物线的函数表达式为$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)^2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$。
$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)^{2} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

11. (2023·绍兴)已知二次函数$y=-x^{2}+bx+c$.
(1)当$b=4$，$c=3$时，
①求该函数图像的顶点坐标；
②当$-1≤ x≤ 3$时，求$y$的取值范围；
(2)当$x≤ 0$时，$y$的最大值为$2$；当$x＞0$时，$y$的最大值为$3$，求二次函数的表达式.

11. 解：(1)①$\because b = 4$，$c = 3$，$\therefore y = -x^{2} + 4x + 3 = -(x - 2)^{2} + 7$，
∴顶点坐标为$(2,7)$。
②$\because -1≤ x≤ 3$，
∴当$ x = 2 $时，$ y $有最大值，为 7。
$\because 2 - (-1) ＞ 3 - 2$，
∴当$ x = -1 $时，$ y $有最小值，为$-2$，
∴当$-1≤ x≤ 3$时，$-2≤ y≤ 7$。
(2)$\because x≤ 0$时，$ y $的最大值为 2；$x ＞ 0$时，$ y $的最大值为 3，
∴抛物线的对称轴在$ y $轴的右侧。
即$ x = \frac{b}{2} ＞ 0 $，
∴$ b ＞ 0 $。
$\because$抛物线开口向下，$x≤ 0$时，$ y $的最大值为 2，
∴$ c = 2 $。
又$\because \frac{4× (-1)× c - b^{2}}{4× (-1)} = 3 $，
∴$ b = \pm 2 $。$\because b ＞ 0 $，
∴$ b = 2 $，
∴二次函数的表达式为$ y = -x^{2} + 2x + 2 $。

12. (2024·安徽)已知抛物线$y=-x^{2}+bx$（$b$为常数）的顶点横坐标比抛物线$y=-x^{2}+2x$的顶点横坐标大$1$.
(1)求$b$的值；
(2)点$A(x_{1},y_{1})$在抛物线$y=-x^{2}+2x$上，点$B(x_{1}+t,y_{1}+h)$在抛物线$y=-x^{2}+bx$上.
①若$h=3t$，且$x_{1}≥ 0$，$t＞0$，求$h$的值；
②若$x_{1}=t-1$，求$h$的最大值.

12. 解：(1)$\because$抛物线$ y = -x^{2} + bx $的顶点横坐标为$\frac{b}{2}$，抛物线$ y = -x^{2} + 2x $的顶点横坐标为 1，
∴$\frac{b}{2} - 1 = 1$，
∴$ b = 4 $。
(2)$\because$点$ A(x_{1},y_{1}) $在抛物线$ y = -x^{2} + 2x $上，
∴$ y_{1} = -x_{1}^{2} + 2x_{1} $。
$\because$点$ B(x_{1} + t,y_{1} + h) $在抛物线$ y = -x^{2} + 4x $上，
∴$ y_{1} + h = -(x_{1} + t)^{2} + 4(x_{1} + t) $，$-x_{i}^{2} + 2x_{1} + h = -(x_{1} + t)^{2} + 4(x_{1} + t) $，
∴$ h = -t^{2} - 2x_{1}t + 2x_{1} + 4t $。
①$\because h = 3t $，
∴$ 3t = -t^{2} - 2x_{1}t + 2x_{1} + 4t $，
∴$ t(t + 2x_{1}) = t + 2x_{1} $。
$\because x_{1}≥ 0$，$t ＞ 0$，
∴$ t + 2x_{1} ＞ 0 $，
∴$ t = 1 $，
∴$ h = 3 $。
②将$ x_{1} = t - 1 $代入$ h = -t^{2} - 2x_{1}t + 2x_{1} + 4t $，得$ h = -3t^{2} + 8t - 2 = -3(t - \frac{4}{3})^{2} + \frac{10}{3} $。$\because -3 ＜ 0 $，
∴当$ t = \frac{4}{3} $，即$ x_{1} = \frac{1}{3} $时，$ h $取最大值，最大值为$\frac{10}{3}$。