★数学长廊
利用菱形的性质和判定尺规作图
前面学习了菱形的性质和判定，利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图。
例如，作一个给定角∠MON的平分线。我们假设O是菱形的一个顶点，菱形的一组邻边在角的两边上，那么这个菱形中过点O的对角线就是∠MON的平分线的一部分。由此可以得到利用菱形的性质和判定作给定角的平分线的作法。
作法：如图。
(1)以∠MON的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交∠MON的两边于点A，B。
(2)分别以点A，B为圆心，OA(或OB)长为半径作弧，两弧相交于点P(非点O)，连结AP，BP，则四边形OBPA为菱形。
(3)作射线OP，则OP就是∠MON的平分线。
类似地，请你利用菱形的性质和判定作以下图形，并说明这样作图的道理。
(1)作一条线段的垂直平分线；
(2)过直线外一点作已知直线的垂线。

解：
(1) 作一条线段的垂直平分线
作法：
① 设给定线段为$AB$，分别以点$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的等长为半径作弧，两弧在线段$AB$的两侧分别交于点$C$、$D$；
② 顺次连接$AC$、$CB$、$BD$、$DA$，得到四边形$ACBD$；
③ 作直线$CD$，直线$CD$即为线段$AB$的垂直平分线。
作图道理：
由作法可知$AC=CB=BD=DA$，根据“四条边都相等的四边形是菱形”，可判定四边形$ACBD$是菱形。根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，因此对角线$CD$垂直平分线段$AB$，即$CD$是线段$AB$的垂直平分线。
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(2) 过直线外一点作已知直线的垂线
设已知直线为$l$，直线外定点为$P$。
作法：
① 在直线$l$上任取一点$A$，以点$P$为圆心，$PA$长为半径作弧，交直线$l$于另一点$B$；
② 分别以点$A$、$B$为圆心，$AP$长为半径作弧，两弧交于直线$l$上与点$P$异侧的点$Q$；
③ 顺次连接$AP$、$PB$、$BQ$、$QA$，得到四边形$APBQ$；
④ 作直线$PQ$，直线$PQ$即为所求的垂线。
作图道理：
由作法可知$AP=PB=BQ=QA$，根据“四条边都相等的四边形是菱形”，可判定四边形$APBQ$是菱形。根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，因此对角线$PQ ⊥ AB$，即$PQ ⊥ l$，直线$PQ$就是过点$P$且垂直于直线$l$的直线。