例2 如图，在 $ \Box ABCD $中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E.若 AB=3，AC=4， AD=5，则图中阴影部分的面积是 ( )

A.1.5
B.3
C.6
D.4

所以图中阴影部分的面积为 $ S_{△ BOE}+S_{△ AOF}=S_{△ BOE}+S_{△ COE}= $ $ S_{△ BOC}=3. $ 解析 因为四边形ABCD是平行四边形，且 AD=5，
所以 BC=AD=5，AD//BC，OC=OA， $ S_{△ B O C}=\frac{1}{2} S_{△ A B C}。 $
因为 AB=3，AC=4， $ A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}， $
所以 $ △ A B C $是直角三角形，且 $ ∠ B A C=9 0°。 $
所以 $ S_{△ A B C}=\frac{1}{2} A B· A C=6。 $所以 $ S_{△ B O C}=\frac{1}{2}× 6=3。 $
因为 AD//BC，所以 $ ∠ O C E=∠ O A F， $ $ ∠ O E C=∠ O F A。 $
在 $ △ COE $和 $ △ A O F $中， $ \{ \begin{array}{l l} {∠ O C E=∠ O A F，} \\ {∠ O E C=∠ O F A，} \\ {O C=O A，} \\ \end{array} $
所以 $ △ COE≌ △ A O F $(AAS). 所以 $ S_{△ COE}=S_{△ A O F}。 $
所以图中阴影部分的面积为 $ S_{△ B O E}+S_{△ A O F}=S_{△ B O E}+S_{△ C O E}= $
答案 B

B

1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$BC=AD=5$，$AD// BC$，$OC=OA$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
2. 由$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，可得$AB^2+AC^2=BC^2$，故$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×3×4=6$，因此$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×6=3$。
3. 因为$AD// BC$，所以$∠ OCE=∠ OAF$，$∠ OEC=∠ OFA$，结合$OC=OA$，可证$△ COE≌△ AOF$（AAS），则$S_{△ COE}=S_{△ AOF}$。
4. 阴影部分面积$S_{△ BOE}+S_{△ AOF}=S_{△ BOE}+S_{△ COE}=S_{△ BOC}=3$。

例3 如图，如果直线 AD // BC，那么 $ △ ABC $的面积和 $ △ DBC $的面积是相等的. 请说出理由.还能在这两条平行线之间画出其他与 $ △ ABC $面积相等的三角形吗？

解两个三角形的底 BC相同，高均为平行线间的距离，所以两个三角形的面积相等。在这两条平行线之间能画出无数个与 $ △ ABC $面积相等的三角形.

解：
因为$AD // BC$，$△ ABC$和$△ DBC$的底为公共边$BC$，且二者的高为平行线$AD$与$BC$之间的距离，平行线间的距离处处相等，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高}$，可得$S_{△ ABC}=S_{△ DBC}$。
能在这两条平行线之间画出无数个与$△ ABC$面积相等的三角形。在直线$AD$上任取一点（不与$A$、$D$重合），连接该点与$B$、$C$，所得三角形与$△ ABC$面积相等，由于这样的点有无数个，故满足条件的三角形有无数个。