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14. 如图，在$△ ABC$中，分别以 $AB$，$AC$，$BC$ 为边在 $BC$ 的同侧作等边$△ ABD$，等边$△ ACE$，等边$△ CBF$，连结 $DF$，$EF$。求证：四边形 $DAEF$ 是平行四边形。
答案
14. 证明：$\because △ ABD$，$△ ACE$，$△ CBF$均为等边三角形.
$\therefore BD=BA$，$BF=BC$，$∠ DBA=∠ FBC=60°$，$AC=AE$，
$\therefore ∠ DBA-∠ FBA=∠ FBC-∠ FBA$，
即$∠ DBF=∠ ABC$，
$\therefore △ DBF≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=AC$，
又$\because AC=AE$，
$\therefore DF=AE$，同理可证$△ ABC≌△ EFC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=EF$，$\therefore AD=EF$，
$\therefore$四边形$DAEF$是平行四边形.
$\therefore BD=BA$，$BF=BC$，$∠ DBA=∠ FBC=60°$，$AC=AE$，
$\therefore ∠ DBA-∠ FBA=∠ FBC-∠ FBA$，
即$∠ DBF=∠ ABC$，
$\therefore △ DBF≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=AC$，
又$\because AC=AE$，
$\therefore DF=AE$，同理可证$△ ABC≌△ EFC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=EF$，$\therefore AD=EF$，
$\therefore$四边形$DAEF$是平行四边形.
15. 如图，梯形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，$AB = 24\mathrm{cm}$，$DC = 10\mathrm{cm}$，点 $P$ 和 $Q$ 同时从 $D$，$B$ 出发，点 $P$ 由 $D$ 向 $C$ 运动，速度为每秒 $1\mathrm{cm}$，点 $Q$ 由 $B$ 向 $A$ 运动，速度为每秒 $3\mathrm{cm}$，当一点到达终点时，另一点也停止运动。在运动过程中，若点 $P$，$Q$ 和梯形 $ABCD$ 的两个顶点所形成的四边形是平行四边形，求其运动的时间。
答案
15. 解：设运动时间为$t$，若$PQBC$是平行四边形，则$10-$
$t=3t$，解得$t=2.5\ \mathrm{s}$；若$ADPQ$是平行四边形，则
$t=24-3t$，解得$t=6\ \mathrm{s}$；若$PAQC$是平行四边形，则
$24-3t=10-t$，$t=7\ \mathrm{s}$；若$DQBP$是平行四边形，则
$t=3t$(不可能，舍去).
$t=3t$，解得$t=2.5\ \mathrm{s}$；若$ADPQ$是平行四边形，则
$t=24-3t$，解得$t=6\ \mathrm{s}$；若$PAQC$是平行四边形，则
$24-3t=10-t$，$t=7\ \mathrm{s}$；若$DQBP$是平行四边形，则
$t=3t$(不可能，舍去).
