1. 多项式$8x^{2n} -4x^n$提取公因式后，括号内的代数式是 （）

A.$4x^n$
B.$2x^n -1$
C.$4x^n -1$
D.$2^{n-1} -1$

1. B

【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先回忆提公因式的操作步骤，第一步先确定多项式的公因式：公因式由系数的最大公约数和相同字母的最低次幂两部分组成；第二步用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果相加，就是提取公因式后括号内的代数式，注意不要漏写除以公因式后得到的常数项。
【解析】
解：第一步，确定多项式$8x^{2n} -4x^n$的公因式：
①系数部分：8和4的最大公约数是4；
②字母部分：两项均含有字母$x$，$x$的最低次幂是$x^n$，因此公因式为$4x^n$。
第二步，提取公因式$4x^n$，计算每一项除以公因式的结果：
$8x^{2n}÷4x^n=2x^n$，$-4x^n÷4x^n=-1$
因此原式可分解为：$8x^{2n} -4x^n=4x^n(2x^n -1)$
所以提取公因式后括号内的代数式是$2x^n -1$。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查对提公因式法的掌握程度，易错点有两个：一是误将公因式当成括号内的代数式错选A，二是提取公因式后漏写第二项的常数项-1，做题时要注意逐项除以公因式，避免漏项。
【难度系数】
0.8

2. 把多项式$m^2(a - 2) + m(2 - a)$分解因式等于 （）

A.$(a - 2)(m^2 + m)$
B.$(a - 2)(m^2 - m)$
C.$m(a - 2)$
D.$m(a - 2)(m - 1)$

2. D

【分析】
解题时首先观察多项式的两项，发现含有的因式(a-2)和(2-a)互为相反数，先统一二者的符号形式，再找出公因式进行提取，最后检查分解结果是否彻底，直到不能再分解为止。
【解析】
第一步：对因式进行符号变形，
∵$2-a=-(a-2)$，
∴原式可改写为：
$m^2(a - 2) - m(a - 2)$
第二步：提取公因式$m(a-2)$，
提取后第一项剩余$m$，第二项剩余$-1$，可得：
$m(a - 2)(m - 1)$
对比选项，对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，因式符号变形，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点有两处：一是忽略$(a-2)$和$(2-a)$的符号关系导致公因式找错，二是提取公因式不彻底，没有把公共的$m$提出来。解题时要先统一相同结构因式的符号，提取公因式后需检查结果是否还能继续分解。
【难度系数】
0.7

3.已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且满足$a^2b^2 - a^2c^2 = b^4 - c^4$，则$△ ABC$是（）

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形

3. D

【分析】
要判断三角形的形状，需先明确三边长a、b、c的数量关系。解题时先将给定的等式移项，再通过因式分解将等式转化为几个因式乘积为0的形式，结合三角形边长均为正数的性质，分别分析每个因式为0的情况，即可得到边长关系，进而判断三角形形状。注意不能直接在等式两边同时除以含有边长的公因式，避免漏掉公因式为0的情况。
【解析】
首先对等式进行移项，将所有项移到等号左侧：
$a^2b^2 - a^2c^2 - b^4 + c^4 = 0$
分组分解因式，前两项提取公因式$a^2$，后两项用平方差公式分解：
$a^2(b^2 - c^2) - (b^4 - c^4) = 0$
$a^2(b^2 - c^2) - (b^2 - c^2)(b^2 + c^2) = 0$
再次提取公因式$(b^2 - c^2)$得：
$(b^2 - c^2)(a^2 - b^2 - c^2) = 0$
结合三角形边长为正数的性质，分两种情况讨论：
1. 若$b^2 - c^2 = 0$，则$b=c$，此时$△ ABC$为等腰三角形；
2. 若$a^2 - b^2 - c^2 = 0$，则$a^2 = b^2 + c^2$，根据勾股定理逆定理，此时$△ ABC$为直角三角形。
两种情况均可能成立，因此$△ ABC$是等腰三角形或直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
因式分解；平方差公式；勾股定理逆定理
【点评】
本题是三角形形状判定的典型易错题，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，同时要注意全面讨论因式为0的所有情况，避免直接约去公因式导致漏解。
【难度系数】
0.6

二、填空题
1. 当n为数时，$(a-b)^n=(b-a)^n$；当n为数时，$(a-b)^n=-(b-a)^n$。(填“奇”或“偶”)

1. 偶 奇

【分析】
解题时首先观察等式两边的底数，可知a-b与b-a互为相反数，即$b-a=-(a-b)$。接下来结合乘方的符号规律：负数的偶次幂结果为正，负数的奇次幂结果为负，分别讨论n为奇数、偶数时$[-(a-b)]^n$的化简结果，对比等式两边即可得出结论。
【解析】
已知$b-a=-(a-b)$，因此$(b-a)^n=[-(a-b)]^n$。
1. 当n为偶数时：
根据负数的偶次幂是正数，可得$[-(a-b)]^n=(-1)^n·(a-b)^n=1×(a-b)^n=(a-b)^n$，即$(a-b)^n=(b-a)^n$。
2. 当n为奇数时：
根据负数的奇次幂是负数，可得$[-(a-b)]^n=(-1)^n·(a-b)^n=-1×(a-b)^n=-(a-b)^n$，整理得$(a-b)^n=-(b-a)^n$。
【答案】
偶；奇
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 乘方的符号规律
【点评】
本题是乘方符号规律的基础应用，解题核心是先明确两个底数的相反数关系，再结合指数的奇偶性判断幂的符号，该知识点是整式运算的常用基础结论，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

2. 某密码翻译爱好者的书中记录着“2”“x”“$x^2 - 1$”“$x + 1$”“$x - 1$”分别对应数字“2”“4”“6”“5”“3”，则多项式$2x^3 - 2x$因式分解后呈现的密码信息可以是。

2. 2453（答案不唯一）

【分析】
解题时首先需要对多项式$2x^3 - 2x$进行因式分解，因式分解遵循“先提公因式，再套用公式”的顺序，分解完成后将每个因式对应题目给出的数字翻译规则，最后将对应数字按顺序组合即可，因因式排列顺序不唯一，所以密码结果不唯一。
【解析】
第一步：对多项式$2x^3 - 2x$因式分解
①先提取公因式$2x$：
$2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1)$
②再利用平方差公式分解$x^2 - 1$：
$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
因此最终分解结果为：$2x^3 - 2x = 2 · x · (x + 1) · (x - 1)$
第二步：对应密码翻译规则：
已知$2$对应数字$2$，$x$对应数字$4$，$x + 1$对应数字$5$，$x - 1$对应数字$3$，将四个因式对应数字按分解顺序组合可得密码$2453$，调换因式顺序可得到其他符合要求的密码。
【答案】
2453（答案不唯一）
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；因式分解的应用
【点评】
本题结合趣味密码场景考查因式分解的实际应用，核心是掌握因式分解的常规步骤，先提取公因式，再根据剩余式子的特点选择合适的公式继续分解，最后对应规则翻译即可，注意因式的排列顺序不固定，所以最终密码结果不唯一。
【难度系数】
0.8

3. 分解因式:$2a(b+c)-3(b+c)=$.

3. $(b + c)(2a - 3)$

【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题时先观察多项式的两项，发现两项都含有公共因式$(b+c)$，因此确定公因式为$(b+c)$，接下来将公因式提取出来，把两项中除去公因式剩下的部分组合成新的因式，最后确认分解结果不能再继续分解即可。
【解析】
观察多项式$2a(b+c)-3(b+c)$，可知两项的公因式为$(b+c)$，提取公因式计算如下：
$\begin{aligned}2a(b+c)-3(b+c)&=(b+c)· 2a - (b+c)· 3\\&=(b+c)(2a-3)\end{aligned}$
【答案】
$(b + c)(2a - 3)$
【知识点】
提公因式法，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别出多项式各项的公因式，提取公因式后需注意检查分解是否彻底，避免出现漏项、分解不完全的问题。
【难度系数】
0.9

4. 已知$a,b$分别是长方形的长和宽，它的周长为12，面积为8，则$\frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{2}ab^2$的值为.

4. 24

【分析】
解题时首先根据长方形的周长和面积公式求出$a+b$与$ab$的值，再观察待求的代数式，发现可以通过提取公因式的方法进行因式分解，将其转化为含有$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入数值计算即可得到结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵ 长方形的周长为12，长为$a$，宽为$b$
∴ $2(a+b)=12$，解得$a+b=6$
又
∵ 长方形的面积为8
∴ $ab=8$
对待求式因式分解：
$\frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{2}ab^2 = \frac{1}{2}ab(a + b)$
将$ab=8$，$a+b=6$代入上式得：
原式 = $\frac{1}{2}×8×6 = 24$
【答案】
24
【知识点】
因式分解，代数式求值，长方形周长与面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用因式分解将待求式变形为可整体代入的形式，避免了求解一元二次方程得到$a$、$b$具体值的复杂步骤，体现了整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.8

三、分解因式
1. $15x(a - b)^2 - 3y(b - a)$；
2. $(y + 1)(y^2 - 1) - (y + 1)^3$；

1. $3(a - b)(5ax - 5bx + y)$
2. $-2(y + 1)^2$

【分析】
分解因式的基本思路是先提公因式，再判断是否需要用公式法化简，直到结果不能再分解为止。
第1题：首先观察到式子中$(a-b)$和$(b-a)$互为相反数，先统一为相同的因式形式，再找出公因式提取，最后整理剩余部分即可。
第2题：首先观察到两项都含有公因式$(y+1)$，先提取公因式，再对剩余的整式部分化简合并，最后整理得到最简结果。
【解析】
1. 解：先将$(b-a)$转化为$-(a-b)$，原式变形为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=15x(a - b)^2 + 3y(a - b)\\&=3(a - b)[5x(a - b) + y] \quad \mathrm{提取公因式}3(a-b)\\&=3(a - b)(5ax - 5bx + y) \quad \mathrm{展开括号内的项}\end{aligned}$
2. 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(y + 1)[(y^2 - 1) - (y + 1)^2] \quad \mathrm{提取公因式}(y+1)\\&=(y + 1)[y^2 - 1 - (y^2 + 2y + 1)] \quad \mathrm{展开完全平方项}\\&=(y + 1)(y^2 - 1 - y^2 - 2y - 1) \quad \mathrm{去括号}\\&=(y + 1)(-2y - 2) \quad \mathrm{合并同类项}\\&=-2(y + 1)^2 \quad \mathrm{提取公因式并整理}\end{aligned}$
【答案】
1. $3(a - b)(5ax - 5bx + y)$
2. $-2(y + 1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，整式加减运算，完全平方公式
【点评】
这两道题是分解因式的常规题型，解题核心是先准确识别公因式，注意互为相反数的因式的符号转换，提取公因式后要认真化简剩余整式，确保最终结果分解彻底，计算过程中要格外注意符号变化，避免因符号失误失分。
【难度系数】
0.8