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9.如果一个直角三角形的两直角边边长分别为$n^2 -1,2n(n＞1)$，那么它的斜边长是()
A.$2n$
B.$n+1$
C.$n^2 -1$
D.$n^2 +1$
A.$2n$
B.$n+1$
C.$n^2 -1$
D.$n^2 +1$
答案
D
解析
【分析】
题目给出直角三角形的两条直角边长，要求斜边长，我们首先运用直角三角形的勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。解题时先将两条直角边分别平方后求和，再对结果开平方（边长为正数，取正的平方根），通过整式化简就能得到斜边的长度，再匹配选项即可。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$c$，根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}c^2&=(n^2 -1)^2 + (2n)^2\\&=n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2\\&=n^4 + 2n^2 +1\\&=(n^2 + 1)^2\end{aligned}$
因为三角形边长为正数，且$n＞1$，所以$c=\sqrt{(n^2+1)^2}=n^2+1$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，主要考查勾股定理的掌握程度，同时结合了整式运算的相关知识，解题时只要正确展开完全平方、准确化简，就能快速得出答案，是勾股定理章节的常见基础题。
【难度系数】
0.85
题目给出直角三角形的两条直角边长，要求斜边长，我们首先运用直角三角形的勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。解题时先将两条直角边分别平方后求和，再对结果开平方（边长为正数，取正的平方根），通过整式化简就能得到斜边的长度，再匹配选项即可。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$c$，根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}c^2&=(n^2 -1)^2 + (2n)^2\\&=n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2\\&=n^4 + 2n^2 +1\\&=(n^2 + 1)^2\end{aligned}$
因为三角形边长为正数，且$n＞1$，所以$c=\sqrt{(n^2+1)^2}=n^2+1$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，主要考查勾股定理的掌握程度，同时结合了整式运算的相关知识，解题时只要正确展开完全平方、准确化简，就能快速得出答案，是勾股定理章节的常见基础题。
【难度系数】
0.85
10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a + b = 14\ \mathrm{cm}$，$c = 10\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积是()
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
【分析】
直角三角形的面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此解题核心是求出两条直角边的乘积$ab$。已知直角边的和$a+b=14\mathrm{cm}$，以及斜边$c=10\mathrm{cm}$，我们可以先利用勾股定理得到$a^2+b^2$的值，再结合完全平方公式对$(a+b)^2$展开，代入已知量就能直接求出$ab$的值，进而计算面积，不需要单独求解$a$和$b$的具体数值，简化计算步骤。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$，
∵$c=10\mathrm{cm}$，
∴$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$，
又
∵$a + b = 14\mathrm{cm}$，
将等式两边同时平方得：$(a + b)^2 = 14^2 = 196$，
根据完全平方公式展开得：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$，
把$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：$100 + 2ab = 196$，
解得：$2ab = 96$，即$ab = 48$，
∴$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24\mathrm{cm}^2$。
【答案】A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，巧妙结合勾股定理和完全平方公式，通过整体代入的方法求解直角边乘积，避免了单独求解两条直角边长的复杂运算，掌握整体代入的思路能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
直角三角形的面积公式为$\frac{1}{2}ab$，因此解题核心是求出两条直角边的乘积$ab$。已知直角边的和$a+b=14\mathrm{cm}$，以及斜边$c=10\mathrm{cm}$，我们可以先利用勾股定理得到$a^2+b^2$的值，再结合完全平方公式对$(a+b)^2$展开，代入已知量就能直接求出$ab$的值，进而计算面积，不需要单独求解$a$和$b$的具体数值，简化计算步骤。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$，
∵$c=10\mathrm{cm}$，
∴$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$，
又
∵$a + b = 14\mathrm{cm}$，
将等式两边同时平方得：$(a + b)^2 = 14^2 = 196$，
根据完全平方公式展开得：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$，
把$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：$100 + 2ab = 196$，
解得：$2ab = 96$，即$ab = 48$，
∴$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24\mathrm{cm}^2$。
【答案】A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，巧妙结合勾股定理和完全平方公式，通过整体代入的方法求解直角边乘积，避免了单独求解两条直角边长的复杂运算，掌握整体代入的思路能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
11. 一个等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则这个三角形的面积为()
A.56
B.48
C.40
D.32
A.56
B.48
C.40
D.32
答案
B
解析
【分析】
拿到本题首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一），因此底边上的高可将原三角形分为两个全等的直角三角形。已知周长和高，我们可以通过设腰长为未知数，用周长表示出底边的一半，再在直角三角形中利用勾股定理列方程，求出腰长后计算底边长度，最终代入面积公式求解即可。
【解析】
解：设等腰三角形的腰长为$x$。
∵ 三角形周长为32，
∴ 底边长为$32-2x$。
根据等腰三角形三线合一的性质，底边的一半长度为$\frac{32-2x}{2}=16-x$。
腰长、底边上的高、底边的一半构成直角三角形，腰长为斜边，由勾股定理得：
$x^2=8^2+(16-x)^2$
展开并化简：
$x^2=64+256-32x+x^2$
消去两边的$x^2$，得$32x=320$，解得$x=10$。
∴ 底边长为$32-2×10=12$。
三角形面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×12×8=48$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何计算的常见题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再通过设未知数建立方程求解，需要熟练掌握方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
拿到本题首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一），因此底边上的高可将原三角形分为两个全等的直角三角形。已知周长和高，我们可以通过设腰长为未知数，用周长表示出底边的一半，再在直角三角形中利用勾股定理列方程，求出腰长后计算底边长度，最终代入面积公式求解即可。
【解析】
解：设等腰三角形的腰长为$x$。
∵ 三角形周长为32，
∴ 底边长为$32-2x$。
根据等腰三角形三线合一的性质，底边的一半长度为$\frac{32-2x}{2}=16-x$。
腰长、底边上的高、底边的一半构成直角三角形，腰长为斜边，由勾股定理得：
$x^2=8^2+(16-x)^2$
展开并化简：
$x^2=64+256-32x+x^2$
消去两边的$x^2$，得$32x=320$，解得$x=10$。
∴ 底边长为$32-2×10=12$。
三角形面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×12×8=48$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何计算的常见题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再通过设未知数建立方程求解，需要熟练掌握方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
12.一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,它们的关系为$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$,则这个三角形是()
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
答案
C
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需先化简给出的边长等式，推导三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理判断。首先利用完全平方公式展开等式左侧，再通过移项消去同类项，得到三边平方的关系，最后对照勾股定理的逆定理即可得出结论。
【解析】
先对已知等式$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$进行化简：
1. 利用完全平方公式展开左边：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入原式得：
$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$
2. 等式两边同时减去$2ab$，消去同类项：
$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。因此这个三角形是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查整式的化简和勾股定理逆定理的应用，解题的关键是正确展开并化简给出的边长等式，熟练掌握相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的形状，需先化简给出的边长等式，推导三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理判断。首先利用完全平方公式展开等式左侧，再通过移项消去同类项，得到三边平方的关系，最后对照勾股定理的逆定理即可得出结论。
【解析】
先对已知等式$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$进行化简：
1. 利用完全平方公式展开左边：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入原式得：
$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$
2. 等式两边同时减去$2ab$，消去同类项：
$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。因此这个三角形是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查整式的化简和勾股定理逆定理的应用，解题的关键是正确展开并化简给出的边长等式，熟练掌握相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
13. 如图所示,把矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为.
答案
解：设DE的长为x，则AE = AD - DE = 8 - x。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC。
由折叠的性质可得：∠EBD = ∠DBC，
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ BE = DE = x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入AB=4，AE=8-x，BE=x，得：
$4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，
展开整理得：$16 + 64 - 16x + x^2 = x^2$，
即$80 = 16x$，
解得$x=5$。
∴ DE的长为$\boldsymbol{5}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC。
由折叠的性质可得：∠EBD = ∠DBC，
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ BE = DE = x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入AB=4，AE=8-x，BE=x，得：
$4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，
展开整理得：$16 + 64 - 16x + x^2 = x^2$，
即$80 = 16x$，
解得$x=5$。
∴ DE的长为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等，再结合矩形对边平行的性质，可推出∠EBD=∠EDB，进而得到BE=DE的等量关系。接着设DE的长为x，用含x的式子表示出AE的长度，最后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解，即可得到DE的长度。
【解析】
解：设DE的长为x，则AE = AD - DE = 8 - x。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC。
由折叠的性质可得：∠EBD = ∠DBC，
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ BE = DE = x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入AB=4，AE=8-x，BE=x，得：
$4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，
展开整理得：$16 + 64 - 16x + x^2 = x^2$，
即$80 = 16x$，
解得$x=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是几何折叠类的典型计算题，解题核心是通过折叠性质和平行线性质得到相等线段，再利用勾股定理建立方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等，再结合矩形对边平行的性质，可推出∠EBD=∠EDB，进而得到BE=DE的等量关系。接着设DE的长为x，用含x的式子表示出AE的长度，最后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解，即可得到DE的长度。
【解析】
解：设DE的长为x，则AE = AD - DE = 8 - x。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC。
由折叠的性质可得：∠EBD = ∠DBC，
∴ ∠EBD = ∠EDB，
∴ BE = DE = x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入AB=4，AE=8-x，BE=x，得：
$4^2 + (8 - x)^2 = x^2$，
展开整理得：$16 + 64 - 16x + x^2 = x^2$，
即$80 = 16x$，
解得$x=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是几何折叠类的典型计算题，解题核心是通过折叠性质和平行线性质得到相等线段，再利用勾股定理建立方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
14. 如图所示，将一副三角尺叠放在一起，若AB = 14 cm，则阴影部分的面积是cm².
答案
$\boldsymbol{\frac{49}{2}}$（或24.5）
解析
【分析】
首先观察图形特征，△ABC是含30°角的直角三角尺，∠ACB=90°、∠B=30°，可先根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AC的长度；另一块是含45°角的直角三角尺，由CB//ED可得∠AFC=∠D=45°，因此△ACF为等腰直角三角形，AC=CF，最后代入三角形面积公式即可求出阴影部分面积。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=14cm，
根据直角三角形30°角的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7\mathrm{cm}$，
由三角尺特征可知$CB// ED$，∠D=45°，
∴$∠AFC=∠D=45°$，
又
∵∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，即$CF=AC=7\mathrm{cm}$，
阴影部分为△ACF，其面积为：
$S=\frac{1}{2}×AC×CF=\frac{1}{2}×7×7=\frac{49}{2}=24.5\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{49}{2}$（或24.5）
【知识点】
直角三角形性质，等腰直角三角形判定，三角形面积计算
【点评】
本题结合常见三角尺的特征考查特殊直角三角形的性质应用，解题核心是利用三角尺的固定角度推导阴影部分的形状特征，属于基础几何计算题，熟练掌握特殊三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，△ABC是含30°角的直角三角尺，∠ACB=90°、∠B=30°，可先根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AC的长度；另一块是含45°角的直角三角尺，由CB//ED可得∠AFC=∠D=45°，因此△ACF为等腰直角三角形，AC=CF，最后代入三角形面积公式即可求出阴影部分面积。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=14cm，
根据直角三角形30°角的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7\mathrm{cm}$，
由三角尺特征可知$CB// ED$，∠D=45°，
∴$∠AFC=∠D=45°$，
又
∵∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，即$CF=AC=7\mathrm{cm}$，
阴影部分为△ACF，其面积为：
$S=\frac{1}{2}×AC×CF=\frac{1}{2}×7×7=\frac{49}{2}=24.5\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{49}{2}$（或24.5）
【知识点】
直角三角形性质，等腰直角三角形判定，三角形面积计算
【点评】
本题结合常见三角尺的特征考查特殊直角三角形的性质应用，解题核心是利用三角尺的固定角度推导阴影部分的形状特征，属于基础几何计算题，熟练掌握特殊三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
15. 在平静的湖面上,有一枝红莲,高出水面1 m. 一阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面.已知红莲摆动的水平距离为2 m,这里的水深是m.
答案
解：设水深为$ x \, \mathrm{m} $，则红莲的总长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理列方程：
$x^2 + 2^2 = (x+1)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后得：
$2x = 3$
解得：
$x = 1.5$
答：这里的水深是$\boldsymbol{1.5}$ m。
根据勾股定理列方程：
$x^2 + 2^2 = (x+1)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后得：
$2x = 3$
解得：
$x = 1.5$
答：这里的水深是$\boldsymbol{1.5}$ m。
解析
【分析】
这是勾股定理的实际应用问题，解题时首先要将实际场景转化为直角三角形模型：水深、红莲摆动的水平距离是直角三角形的两条直角边，红莲的总长度是直角三角形的斜边。我们可以设水深为未知数，用含未知数的式子表示出红莲的总长度，再根据勾股定理的三边关系列方程求解即可。
【解析】
设水深为$ x \, \mathrm{m} $，则红莲的总长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列方程：
$x^2 + 2^2 = (x+1)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后得：
$2x = 3$
解得：
$x = 1.5$
【答案】
$\boldsymbol{1.5}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列方程解实际问题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型题目，解题的核心是准确将实际问题抽象为几何中的直角三角形模型，找准三边的对应关系建立方程求解。
【难度系数】
0.7
这是勾股定理的实际应用问题，解题时首先要将实际场景转化为直角三角形模型：水深、红莲摆动的水平距离是直角三角形的两条直角边，红莲的总长度是直角三角形的斜边。我们可以设水深为未知数，用含未知数的式子表示出红莲的总长度，再根据勾股定理的三边关系列方程求解即可。
【解析】
设水深为$ x \, \mathrm{m} $，则红莲的总长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）列方程：
$x^2 + 2^2 = (x+1)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1$
消去$ x^2 $后得：
$2x = 3$
解得：
$x = 1.5$
【答案】
$\boldsymbol{1.5}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列方程解实际问题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型题目，解题的核心是准确将实际问题抽象为几何中的直角三角形模型，找准三边的对应关系建立方程求解。
【难度系数】
0.7
16. 已知两条线段的长分别为5 cm和12 cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当第三条线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（cm）；
② 当长为12 cm的线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$（cm）。
综上，第三条线段的长为$13$或$\sqrt{119}$ cm。
① 当第三条线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（cm）；
② 当长为12 cm的线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$（cm）。
综上，第三条线段的长为$13$或$\sqrt{119}$ cm。
解析
【分析】
要使三条线段组成直角三角形，需结合勾股定理计算第三条边的长度，但题目未明确哪条边是斜边，因此要先根据“直角三角形中斜边为最长边”的性质确定斜边的可能情况：长度为5cm的线段不可能是斜边，因此分两种情况讨论：①第三条线段为斜边；②长度为12cm的线段为斜边，再分别根据勾股定理计算即可，注意线段长度为正数，结果取算术平方根。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当第三条线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（cm）；
② 当长为12 cm的线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$（cm）。
综上，第三条线段的长为$13$或$\sqrt{119}$ cm。
【答案】
$13$或$\sqrt{119}$
【知识点】
1.勾股定理 2.分类讨论思想
【点评】
本题易因默认第三条边为斜边出现漏解，解题时要先结合直角三角形斜边为最长边的性质，明确所有可能的斜边情况后再分别计算，即可避免遗漏答案。
【难度系数】
0.6
要使三条线段组成直角三角形，需结合勾股定理计算第三条边的长度，但题目未明确哪条边是斜边，因此要先根据“直角三角形中斜边为最长边”的性质确定斜边的可能情况：长度为5cm的线段不可能是斜边，因此分两种情况讨论：①第三条线段为斜边；②长度为12cm的线段为斜边，再分别根据勾股定理计算即可，注意线段长度为正数，结果取算术平方根。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当第三条线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$（cm）；
② 当长为12 cm的线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
第三条线段长为$\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$（cm）。
综上，第三条线段的长为$13$或$\sqrt{119}$ cm。
【答案】
$13$或$\sqrt{119}$
【知识点】
1.勾股定理 2.分类讨论思想
【点评】
本题易因默认第三条边为斜边出现漏解，解题时要先结合直角三角形斜边为最长边的性质，明确所有可能的斜边情况后再分别计算，即可避免遗漏答案。
【难度系数】
0.6
