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20.饮水机中的数学建模
| 项目主题 | 探究高铁站內饮水机的接水策略 |
| --- | --- |
| 项目背景 | 饮水机的接水问题蕴含物理热传递原理与数学建模思想.小明在接水时发现:温水与开水混合时,开水释放的热量等于温水吸收的热量(不计热损失),可简化为数学关系:开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度. |
| 项目素材 |
实物照片
|
| 物理原理 | 若混合后水温为 $ t \ ℃ $,则有:$ V_{\mathrm{开水}} × (100-t) = V_{\mathrm{温水}} × (t-30) $,其中$ V_{\mathrm{开水}},V_{\mathrm{温水}} $分别为开水和温水的体积(单位:mL). |
| 问题解决 | |
| 任务一 | 接水时间计算:小明先接温水20 s,再继续接开水直至水杯接满还需
| 任务二 | 温度与接水时间的函数关系:设接温水时间为 $ x \ s $,接开水时间为 $ y \ s $,水杯总容量为700 mL,则 $ y = $
| 任务三 | 优化接水策略:若想在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度,应如何安排接温水和接开水的时间? |
| 项目主题 | 探究高铁站內饮水机的接水策略 |
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| 项目背景 | 饮水机的接水问题蕴含物理热传递原理与数学建模思想.小明在接水时发现:温水与开水混合时,开水释放的热量等于温水吸收的热量(不计热损失),可简化为数学关系:开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度. |
| 项目素材 |
| 类型 | 温水 | 开水 |
| 水流速度 | 20 mL/s | 15 mL/s |
| 初始温度 | 30 ℃ | 100 ℃ |
| 目标容量 | 700 mL水杯 | |
| 最佳饮用温度 | 36 ℃～40 ℃ |
实物照片
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| 物理原理 | 若混合后水温为 $ t \ ℃ $,则有:$ V_{\mathrm{开水}} × (100-t) = V_{\mathrm{温水}} × (t-30) $,其中$ V_{\mathrm{开水}},V_{\mathrm{温水}} $分别为开水和温水的体积(单位:mL). |
| 问题解决 | |
| 任务一 | 接水时间计算:小明先接温水20 s,再继续接开水直至水杯接满还需
20
s. || 任务二 | 温度与接水时间的函数关系:设接温水时间为 $ x \ s $,接开水时间为 $ y \ s $,水杯总容量为700 mL,则 $ y = $
$-\frac{4}{3}x+\frac{140}{3}$
. || 任务三 | 优化接水策略:若想在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度,应如何安排接温水和接开水的时间? |
答案
20.任务一:20 任务二:$-\frac{4}{3}x+\frac{140}{3}$ 任务三:根据题意,得$20x(t-30)=(700-20x)(100-t)$.解得$t=100-2x$.
∵最佳饮用温度为$36\ ℃～40\ ℃$,
∴$\begin{cases}100-2x≥36,\\100-2x≤40,\end{cases}$解得$30≤ x≤32$.
设接满水杯总共用时$W\ \mathrm{s}$,则$W=x+y=x-\frac{4}{3}x+\frac{140}{3}=-\frac{1}{3}x+\frac{140}{3}$.
∵$-\frac{1}{3}＜0$,
∴$W$随$x$的增大而减小.又$30≤ x≤32$,
∴当$x=32$时,$W$的值最小,此时$y=-\frac{4}{3}×32+\frac{140}{3}=4$.
∴接温水32 s、开水4 s可在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度.
∵最佳饮用温度为$36\ ℃～40\ ℃$,
∴$\begin{cases}100-2x≥36,\\100-2x≤40,\end{cases}$解得$30≤ x≤32$.
设接满水杯总共用时$W\ \mathrm{s}$,则$W=x+y=x-\frac{4}{3}x+\frac{140}{3}=-\frac{1}{3}x+\frac{140}{3}$.
∵$-\frac{1}{3}＜0$,
∴$W$随$x$的增大而减小.又$30≤ x≤32$,
∴当$x=32$时,$W$的值最小,此时$y=-\frac{4}{3}×32+\frac{140}{3}=4$.
∴接温水32 s、开水4 s可在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度.
解析
【分析】
解题时按任务分步思考：①任务一：先根据温水流速和接水时间算出已接温水体积，用总容量减去温水量得到需要接的开水量，再除以开水流速即可得到接开水的时间；②任务二：根据“温水体积+开水体积=700mL”的等量关系，代入温水体积=20x、开水体积=15y，整理变形即可得到y关于x的表达式；③任务三：先结合热平衡公式推导混合水温t与接温水时间x的关系，再根据最佳饮用温度的范围列不等式组求出x的取值范围，接着构造总接水时间W关于x的一次函数，根据一次函数的单调性求最短时间对应的x、y值即可。
【解析】
任务一
先接20s温水的体积为：$20\ \mathrm{mL/s} × 20\ \mathrm{s} = 400\ \mathrm{mL}$
需要接的开水体积为：$700\ \mathrm{mL} - 400\ \mathrm{mL} = 300\ \mathrm{mL}$
接开水所需时间为：$300\ \mathrm{mL} ÷ 15\ \mathrm{mL/s} = 20\ \mathrm{s}$
任务二
接温水$x\ \mathrm{s}$的体积为$20x\ \mathrm{mL}$，接开水$y\ \mathrm{s}$的体积为$15y\ \mathrm{mL}$，由总容量为700mL得：
$20x + 15y = 700$
两边同时除以5化简得：$4x + 3y = 140$
移项整理得：$y = -\frac{4}{3}x + \frac{140}{3}$
任务三
根据热平衡原理：$V_{\mathrm{温水}}(t-30)=V_{\mathrm{开水}}(100-t)$，其中$V_{\mathrm{温水}}=20x$，$V_{\mathrm{开水}}=700-20x$，代入得：
$20x(t-30)=(700-20x)(100-t)$
展开整理解得：$t = 100 - 2x$
∵最佳饮用温度为$36\ ℃～40\ ℃$
∴列不等式组：$\begin{cases}100-2x≥36 \\100-2x≤40 \end{cases}$
解得：$30≤ x≤32$
设接满水总用时为$W\ \mathrm{s}$，则$W = x + y$，将$y = -\frac{4}{3}x + \frac{140}{3}$代入得：
$W = x -\frac{4}{3}x + \frac{140}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{140}{3}$
∵$-\frac{1}{3}＜0$，
∴$W$随$x$的增大而减小
∴当$x$取最大值32时，$W$最小，此时$y = -\frac{4}{3}×32 + \frac{140}{3} = 4$
即接温水32s、开水4s时，用时最短且水温符合要求。
【答案】
任务一：20；任务二：$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{140}{3}$；任务三：接温水$32\ \mathrm{s}$、开水$4\ \mathrm{s}$可在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的接水场景，融合了物理热传递知识与数学建模思想，综合考查了学生提取有效信息、运用方程、不等式、一次函数解决实际问题的能力，题目贴合生活实际，有利于培养学生的应用意识和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时按任务分步思考：①任务一：先根据温水流速和接水时间算出已接温水体积，用总容量减去温水量得到需要接的开水量，再除以开水流速即可得到接开水的时间；②任务二：根据“温水体积+开水体积=700mL”的等量关系，代入温水体积=20x、开水体积=15y，整理变形即可得到y关于x的表达式；③任务三：先结合热平衡公式推导混合水温t与接温水时间x的关系，再根据最佳饮用温度的范围列不等式组求出x的取值范围，接着构造总接水时间W关于x的一次函数，根据一次函数的单调性求最短时间对应的x、y值即可。
【解析】
任务一
先接20s温水的体积为：$20\ \mathrm{mL/s} × 20\ \mathrm{s} = 400\ \mathrm{mL}$
需要接的开水体积为：$700\ \mathrm{mL} - 400\ \mathrm{mL} = 300\ \mathrm{mL}$
接开水所需时间为：$300\ \mathrm{mL} ÷ 15\ \mathrm{mL/s} = 20\ \mathrm{s}$
任务二
接温水$x\ \mathrm{s}$的体积为$20x\ \mathrm{mL}$，接开水$y\ \mathrm{s}$的体积为$15y\ \mathrm{mL}$，由总容量为700mL得：
$20x + 15y = 700$
两边同时除以5化简得：$4x + 3y = 140$
移项整理得：$y = -\frac{4}{3}x + \frac{140}{3}$
任务三
根据热平衡原理：$V_{\mathrm{温水}}(t-30)=V_{\mathrm{开水}}(100-t)$，其中$V_{\mathrm{温水}}=20x$，$V_{\mathrm{开水}}=700-20x$，代入得：
$20x(t-30)=(700-20x)(100-t)$
展开整理解得：$t = 100 - 2x$
∵最佳饮用温度为$36\ ℃～40\ ℃$
∴列不等式组：$\begin{cases}100-2x≥36 \\100-2x≤40 \end{cases}$
解得：$30≤ x≤32$
设接满水总用时为$W\ \mathrm{s}$，则$W = x + y$，将$y = -\frac{4}{3}x + \frac{140}{3}$代入得：
$W = x -\frac{4}{3}x + \frac{140}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{140}{3}$
∵$-\frac{1}{3}＜0$，
∴$W$随$x$的增大而减小
∴当$x$取最大值32时，$W$最小，此时$y = -\frac{4}{3}×32 + \frac{140}{3} = 4$
即接温水32s、开水4s时，用时最短且水温符合要求。
【答案】
任务一：20；任务二：$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{140}{3}$；任务三：接温水$32\ \mathrm{s}$、开水$4\ \mathrm{s}$可在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的接水场景，融合了物理热传递知识与数学建模思想，综合考查了学生提取有效信息、运用方程、不等式、一次函数解决实际问题的能力，题目贴合生活实际，有利于培养学生的应用意识和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
