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13. [新课标·综合与实践题]在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园所占面积为荒地面积的一半,图1、图2分别是小明和小颖的设计方案.
小明
我的设计方案如图1所示,其中花园四周小路的宽度相等.通过解方程,我得到小路的宽为2 m或12 m.
小颖
我的设计方案如图2所示,花园中每个角上的扇形都相同.
(1)小明的结果对吗?请说明理由.
(2)请你帮助小颖求出图中的$x$.($π$值取3,结果保留根号)
(3)你还有其他的设计方案吗?请在备用图中画出你的设计草图,并加以说明.
小明
我的设计方案如图1所示,其中花园四周小路的宽度相等.通过解方程,我得到小路的宽为2 m或12 m.
小颖
我的设计方案如图2所示,花园中每个角上的扇形都相同.
(1)小明的结果对吗?请说明理由.
(2)请你帮助小颖求出图中的$x$.($π$值取3,结果保留根号)
(3)你还有其他的设计方案吗?请在备用图中画出你的设计草图,并加以说明.
答案
13.解:(1)小明的结果不对.理由:设小路的宽为$x$ m.依题意,得$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$,解得$x_1=2$,$x_2=12$(不符合题意,舍去).$\therefore$小路的宽为2 m.
(2)由题意,得$4×\frac{π x^2}{4}=\frac{1}{2}×16×12$,$\therefore x=4\sqrt{2}$(负值已舍去).
(3)如图,可取矩形的边$AB$的中点$E$,连接$EC$,$ED$.(方案不唯一)
解析
【分析】
(1)判断小明的结果是否正确，首先根据题意列出一元二次方程，再结合实际情境考虑小路宽度的取值范围，解出方程后验证根是否符合实际意义，舍去不合题意的根即可判断对错。
(2)小颖的方案中四个角的扇形都是圆心角为90°的扇形，四个扇形可拼接成一个完整的圆，花园面积就是这个整圆的面积，根据花园面积为荒地面积的一半列方程求解，注意x取正数值。
(3)设计方案只需保证花园面积为荒地面积的一半即可，可利用三角形、矩形等规则图形设计，只要面积符合要求即为合理方案。
【解析】
(1)小明的结果不对，理由如下：
设小路的宽为$x$ m，由于四周都有小路，因此花园的长为$(16-2x)$ m，宽为$(12-2x)$ m。
根据花园面积为荒地面积的一半，列方程：
$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}× 16× 12$
整理得$x^2-14x+24=0$，解得$x_1=2$，$x_2=12$。
当$x=12$时，花园的宽$12-2x=12-24=-12＜0$，不符合实际意义，应舍去，因此小路的宽只能为2 m，故小明的结果错误。
(2)图2中四个角的扇形均为半径为$x$、圆心角为90°的扇形，四个扇形的面积和等于1个半径为$x$的整圆的面积。
根据题意列方程：
$π x^2=\frac{1}{2}× 16× 12$
将$π=3$代入得$3x^2=96$，解得$x^2=32$，由于$x＞0$，因此$x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
(3)设计方案示例：取矩形上边$AB$的中点$E$，连接$ED$、$EC$，此时阴影部分$△ ECD$即为花园。
理由：$△ ECD$的底为矩形的长16 m，高为矩形的宽12 m，面积为$\frac{1}{2}× 16× 12=96\ \mathrm{m}^2$，刚好是荒地面积的一半，符合要求（方案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1)小明的结果不对，小路的宽为2 m，理由见解析。
(2)$x=4\sqrt{2}$
(3)如图，可取矩形的边$AB$的中点$E$，连接$EC$，$ED$。(方案不唯一)
【知识点】
一元二次方程应用，扇形面积计算，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际设计场景考察知识的灵活运用，既需要掌握一元二次方程的解法，也需要注意实际问题中方程根的取舍，同时不规则图形面积的转化思路、开放性的方案设计能有效锻炼逻辑思维和发散思维。
【难度系数】
0.7
(1)判断小明的结果是否正确，首先根据题意列出一元二次方程，再结合实际情境考虑小路宽度的取值范围，解出方程后验证根是否符合实际意义，舍去不合题意的根即可判断对错。
(2)小颖的方案中四个角的扇形都是圆心角为90°的扇形，四个扇形可拼接成一个完整的圆，花园面积就是这个整圆的面积，根据花园面积为荒地面积的一半列方程求解，注意x取正数值。
(3)设计方案只需保证花园面积为荒地面积的一半即可，可利用三角形、矩形等规则图形设计，只要面积符合要求即为合理方案。
【解析】
(1)小明的结果不对，理由如下：
设小路的宽为$x$ m，由于四周都有小路，因此花园的长为$(16-2x)$ m，宽为$(12-2x)$ m。
根据花园面积为荒地面积的一半，列方程：
$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}× 16× 12$
整理得$x^2-14x+24=0$，解得$x_1=2$，$x_2=12$。
当$x=12$时，花园的宽$12-2x=12-24=-12＜0$，不符合实际意义，应舍去，因此小路的宽只能为2 m，故小明的结果错误。
(2)图2中四个角的扇形均为半径为$x$、圆心角为90°的扇形，四个扇形的面积和等于1个半径为$x$的整圆的面积。
根据题意列方程：
$π x^2=\frac{1}{2}× 16× 12$
将$π=3$代入得$3x^2=96$，解得$x^2=32$，由于$x＞0$，因此$x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
(3)设计方案示例：取矩形上边$AB$的中点$E$，连接$ED$、$EC$，此时阴影部分$△ ECD$即为花园。
理由：$△ ECD$的底为矩形的长16 m，高为矩形的宽12 m，面积为$\frac{1}{2}× 16× 12=96\ \mathrm{m}^2$，刚好是荒地面积的一半，符合要求（方案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1)小明的结果不对，小路的宽为2 m，理由见解析。
(2)$x=4\sqrt{2}$
(3)如图，可取矩形的边$AB$的中点$E$，连接$EC$，$ED$。(方案不唯一)
【知识点】
一元二次方程应用，扇形面积计算，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际设计场景考察知识的灵活运用，既需要掌握一元二次方程的解法，也需要注意实际问题中方程根的取舍，同时不规则图形面积的转化思路、开放性的方案设计能有效锻炼逻辑思维和发散思维。
【难度系数】
0.7
