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1. (教材例题变式)如图,曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度$h$(单位:m)随飞行时间$t$(单位:s)的变化情况,则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 (
A.5 m
B.7 m
C.10 m
D.13 m
D
)A.5 m
B.7 m
C.10 m
D.13 m
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确函数图像的坐标轴含义：本题中横轴代表飞行时间t，纵轴代表蝴蝶离地面的高度h。我们需要求的蝴蝶飞行最高高度，对应函数图像上所有点的纵坐标的最大值，也就是图像最高点对应的纵轴数值。接下来只需观察图像的最高点位置，匹配对应纵轴的刻度判断数值，再和选项对比就能得到答案。
【解析】
首先明确图像坐标轴的意义：横坐标表示飞行时间t，纵坐标表示蝴蝶离地面的高度h。
要得到蝴蝶飞行的最高高度，需找到函数图像的最高点，读取该点对应的纵坐标数值。
观察图像可得，最高点对应的纵坐标约为13 m，因此这只蝴蝶飞行的最高高度约为13 m，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
函数的图像表示；从函数图像获取信息
【点评】
本题属于函数图像的基础应用类题目，解题的关键是读懂横纵坐标代表的实际含义，准确提取图像中的关键信息，细心观察就能轻松解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确函数图像的坐标轴含义：本题中横轴代表飞行时间t，纵轴代表蝴蝶离地面的高度h。我们需要求的蝴蝶飞行最高高度，对应函数图像上所有点的纵坐标的最大值，也就是图像最高点对应的纵轴数值。接下来只需观察图像的最高点位置，匹配对应纵轴的刻度判断数值，再和选项对比就能得到答案。
【解析】
首先明确图像坐标轴的意义：横坐标表示飞行时间t，纵坐标表示蝴蝶离地面的高度h。
要得到蝴蝶飞行的最高高度，需找到函数图像的最高点，读取该点对应的纵坐标数值。
观察图像可得，最高点对应的纵坐标约为13 m，因此这只蝴蝶飞行的最高高度约为13 m，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
函数的图像表示；从函数图像获取信息
【点评】
本题属于函数图像的基础应用类题目，解题的关键是读懂横纵坐标代表的实际含义，准确提取图像中的关键信息，细心观察就能轻松解题。
【难度系数】
0.9
2. 下列图象中,表示 y 是 x 的函数的是 （
C
）答案
2. C
解析
【分析】
解题的核心是依据函数的定义判断图像：在变化过程中，若对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。我们可以用“竖线检验法”快速判断：平移垂直于x轴的直线，若直线与图像最多只有1个交点，就符合函数定义，反之则不符合，接下来用该方法逐个分析选项即可。
【解析】
根据函数的定义，逐一判断各选项：
1. 选项A：取x＞0的任意确定值，作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，说明一个x对应2个y值，不符合函数定义；
2. 选项B：取x在圆与x轴两个交点之间的任意确定值，作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，说明一个x对应2个y值，不符合函数定义；
3. 选项C：任意作垂直于x轴的直线，与图像始终只有1个交点，说明每个x都对应唯一的y值，符合函数定义；
4. 选项D：取x＜0的部分确定值，作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，说明一个x对应2个y值，不符合函数定义。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义；函数图像判定
【点评】
本题是函数的基础判定题，掌握“一个x对应唯一y”的核心判断规则，用竖线检验法即可快速解决这类题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心是依据函数的定义判断图像：在变化过程中，若对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。我们可以用“竖线检验法”快速判断：平移垂直于x轴的直线，若直线与图像最多只有1个交点，就符合函数定义，反之则不符合，接下来用该方法逐个分析选项即可。
【解析】
根据函数的定义，逐一判断各选项：
1. 选项A：取x＞0的任意确定值，作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，说明一个x对应2个y值，不符合函数定义；
2. 选项B：取x在圆与x轴两个交点之间的任意确定值，作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，说明一个x对应2个y值，不符合函数定义；
3. 选项C：任意作垂直于x轴的直线，与图像始终只有1个交点，说明每个x都对应唯一的y值，符合函数定义；
4. 选项D：取x＜0的部分确定值，作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，说明一个x对应2个y值，不符合函数定义。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义；函数图像判定
【点评】
本题是函数的基础判定题，掌握“一个x对应唯一y”的核心判断规则，用竖线检验法即可快速解决这类题型。
【难度系数】
0.8
3. (2025·湖南)甲、乙两人在一次100 m赛跑比赛中，路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系如图所示，________（填“甲”或“乙”）先到终点.
答案
3. 甲 解析:由图象可知,甲用了 12 s,乙用了14 s,
∴甲先到终点.
∴甲先到终点.
解析
【分析】
要判断谁先到终点，首先明确100m赛跑的终点对应路程s=100m。路程s与时间t的函数图像中，纵轴表示路程，横轴表示时间，到达终点用时越少，就越早到达。因此我们只需找到甲、乙两人路程为100m时各自对应的时间，比较两个时间的大小即可得出结论。
【解析】
观察图像可得：甲跑完100m所用的时间为12s，乙跑完100m所用的时间为14s。
∵12s ＜ 14s，即甲跑完全程的用时更短，
∴甲先到终点。
【答案】
甲
【知识点】
s-t图像分析，函数的图像表示
【点评】
本题考查对函数图像的读取与分析能力，解题关键是明确路程-时间图像中横、纵坐标代表的实际意义，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
要判断谁先到终点，首先明确100m赛跑的终点对应路程s=100m。路程s与时间t的函数图像中，纵轴表示路程，横轴表示时间，到达终点用时越少，就越早到达。因此我们只需找到甲、乙两人路程为100m时各自对应的时间，比较两个时间的大小即可得出结论。
【解析】
观察图像可得：甲跑完100m所用的时间为12s，乙跑完100m所用的时间为14s。
∵12s ＜ 14s，即甲跑完全程的用时更短，
∴甲先到终点。
【答案】
甲
【知识点】
s-t图像分析，函数的图像表示
【点评】
本题考查对函数图像的读取与分析能力，解题关键是明确路程-时间图像中横、纵坐标代表的实际意义，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
4. 小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的,他把这根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体.下表是小明测得的弹簧的长度 $ y $ 与所挂物体质量 $ x $ 之间的几组对应值.
则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 ______.
则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 ______.
答案
4. $y=3x+15$
解析
【分析】
解题时首先观察表格中两个变量的变化规律：所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y就固定增加3cm，说明y与x满足一次函数关系。我们可以有两种解题思路：①结合弹簧伸长的规律，弹簧总长度=弹簧原长+挂重物后伸长的长度，x=0时的y值就是弹簧原长，每挂1kg重物伸长的长度就是单位伸长量，可直接推导解析式；②用待定系数法设一次函数解析式，代入两组数据求解系数，再验证其余数据是否符合即可。
【解析】
由x和y的变化规律可知y是x的一次函数，设函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
1. 求常数项b：将$x=0,y=15$代入解析式，得$15=0× k +b$，解得$b=15$，即弹簧原长为15cm。
2. 求一次项系数k：将$x=1,y=18$和$b=15$代入解析式，得$18=k×1 +15$，解得$k=3$，即每挂1kg物体弹簧伸长3cm。
3. 验证：将表格中其余x值代入$y=3x+15$，所得y值均与表格数据一致，解析式成立。
【答案】
$y=3x+15$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活情境考查一次函数解析式的求解，解题的核心是先通过数据变化判断函数类型，再结合数据特征计算系数，完成后要注意验证解析式是否匹配所有已知数据，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察表格中两个变量的变化规律：所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y就固定增加3cm，说明y与x满足一次函数关系。我们可以有两种解题思路：①结合弹簧伸长的规律，弹簧总长度=弹簧原长+挂重物后伸长的长度，x=0时的y值就是弹簧原长，每挂1kg重物伸长的长度就是单位伸长量，可直接推导解析式；②用待定系数法设一次函数解析式，代入两组数据求解系数，再验证其余数据是否符合即可。
【解析】
由x和y的变化规律可知y是x的一次函数，设函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
1. 求常数项b：将$x=0,y=15$代入解析式，得$15=0× k +b$，解得$b=15$，即弹簧原长为15cm。
2. 求一次项系数k：将$x=1,y=18$和$b=15$代入解析式，得$18=k×1 +15$，解得$k=3$，即每挂1kg物体弹簧伸长3cm。
3. 验证：将表格中其余x值代入$y=3x+15$，所得y值均与表格数据一致，解析式成立。
【答案】
$y=3x+15$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合弹簧伸长的生活情境考查一次函数解析式的求解，解题的核心是先通过数据变化判断函数类型，再结合数据特征计算系数，完成后要注意验证解析式是否匹配所有已知数据，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前 30 m 称为“加速期”，30～80 m 为“中途期”，80～100 m 为“冲刺期”.某市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度 y(单位:m/s)与路程x(单位:m)之间的观测数据绘制成曲线如图所示.
(1)y 是关于 x 的函数吗？为什么？
(2)“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
(3)根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议.
(1)y 是关于 x 的函数吗？为什么？
(2)“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
(3)根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议.
答案
5. (1)y 是 x 的函数，理由如下:在这个变化过程中,对于 x 的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应.
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4 m/s.
(3)答案不唯一,例如:根据图象信息,小斌在 80 m 左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩.
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4 m/s.
(3)答案不唯一,例如:根据图象信息,小斌在 80 m 左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩.
解析
【分析】
第(1)问判断是否为函数，需依据函数的定义思考：判断一个变化过程中y是否是x的函数，核心看对于x的每一个确定值，是否有唯一确定的y值和它对应，结合图象的特征验证即可。第(2)问首先明确加速期结束对应路程x=30m，再找x=30对应的纵坐标数值就是所求速度。第(3)问属于开放题，观察图象中速度的变化规律，找到存在的问题，针对性提出训练建议即可。
【解析】
(1) 根据函数的定义分析：在速度y随路程x变化的过程中，存在两个变量x、y，观察图象可知，对于每一个确定的路程x的值，都有唯一确定的速度y的值与之对应，因此满足函数的定义。
(2) 由题意可知前30m为加速期，即加速期结束时x=30m，观察图象可得，x=30对应的速度y为10.4m/s。
(3) 观察图象发现，小斌跑到80m左右时速度出现明显下降，说明后程耐力不足，可针对该问题提出训练建议，合理即可。
【答案】
(1)y 是 x 的函数，理由如下:在这个变化过程中,对于 x 的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应。
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4 m/s。
(3)答案不唯一,例如:根据图象信息,小斌在 80 m 左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩。
【知识点】
函数的概念，函数图象的应用
【点评】
本题结合体育运动的实际场景出题，既考查了对基础概念的掌握，也考查了从图象中提取信息、分析实际问题的能力，题型灵活，难度不大。
【难度系数】
0.8
第(1)问判断是否为函数，需依据函数的定义思考：判断一个变化过程中y是否是x的函数，核心看对于x的每一个确定值，是否有唯一确定的y值和它对应，结合图象的特征验证即可。第(2)问首先明确加速期结束对应路程x=30m，再找x=30对应的纵坐标数值就是所求速度。第(3)问属于开放题，观察图象中速度的变化规律，找到存在的问题，针对性提出训练建议即可。
【解析】
(1) 根据函数的定义分析：在速度y随路程x变化的过程中，存在两个变量x、y，观察图象可知，对于每一个确定的路程x的值，都有唯一确定的速度y的值与之对应，因此满足函数的定义。
(2) 由题意可知前30m为加速期，即加速期结束时x=30m，观察图象可得，x=30对应的速度y为10.4m/s。
(3) 观察图象发现，小斌跑到80m左右时速度出现明显下降，说明后程耐力不足，可针对该问题提出训练建议，合理即可。
【答案】
(1)y 是 x 的函数，理由如下:在这个变化过程中,对于 x 的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应。
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4 m/s。
(3)答案不唯一,例如:根据图象信息,小斌在 80 m 左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩。
【知识点】
函数的概念，函数图象的应用
【点评】
本题结合体育运动的实际场景出题，既考查了对基础概念的掌握，也考查了从图象中提取信息、分析实际问题的能力，题型灵活，难度不大。
【难度系数】
0.8
