1. (泰安中考)一次函数 $y=ax+b$ 与反比例函数$y=\dfrac{ab}{x}$($a,b$ 为常数且均不等于 0)在同一坐标系内的图象可能是（）

1. D 解析:A.
∵一次函数图象经过第一、二、三象限,
∴ a＞0,
b＞0,
∴ ab＞0,
∴ 反比例函数 $y=\dfrac{ab}{x}$ 的图象在第一、三象限,
故 A 不符合题意;B.
∵ 一次函数图象经过第一、二、四象
限,
∴ a＜0,b＞0,
∴ ab＜0,
∴ 反比例函数 $y=\dfrac{ab}{x}$ 的图象在第
二、四象限,故 B 不符合题意;C.
∵ 一次函数图象经过第
一、三、四象限,
∴ a＞0,b＜0,
∴ ab＜0,
∴ 反比例函数 $y=\dfrac{ab}{x}$ 的
图象在第二、四象限,故 C 不符合题意;D.
∵ 一次函数图象
经过第一、二、四象限,
∴ a＜0,b＞0,
∴ ab＜0,
∴ 反比例函数
$y=\dfrac{ab}{x}$ 的图象在第二、四象限,故 D 符合题意.故选 D.

【分析】要判断一次函数 $ y=ax+b $ 与反比例函数 $ y=\dfrac{ab}{x} $ 的图象是否匹配，需先根据一次函数的图象确定 $ a $（斜率）和 $ b $（与 $ y $ 轴交点的纵坐标）的正负，再计算 $ ab $ 的符号，最后验证反比例函数 $ y=\dfrac{ab}{x} $ 的图象所在象限是否与 $ ab $ 的符号对应（当 $ ab＞0 $ 时，反比例函数图象在第一、三象限；当 $ ab＜0 $ 时，在第二、四象限），逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
选项A：一次函数图象经过第一、二、三象限，因此斜率 $ a＞0 $，与 $ y $ 轴交点在正半轴，故 $ b＞0 $，则 $ ab＞0 $，反比例函数 $ y=\dfrac{ab}{x} $ 的图象应在第一、三象限，但选项A中反比例函数在第二、四象限，不符合题意；
选项B：一次函数图象经过第一、二、四象限，斜率 $ a＜0 $，与 $ y $ 轴交点在正半轴，故 $ b＞0 $，则 $ ab＜0 $，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项B中反比例函数在第一、三象限，不符合题意；
选项C：一次函数图象经过第一、三、四象限，斜率 $ a＞0 $，与 $ y $ 轴交点在负半轴，故 $ b＜0 $，则 $ ab＜0 $，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项C中反比例函数在第一、三象限，不符合题意；
选项D：一次函数图象经过第一、二、四象限，斜率 $ a＜0 $，与 $ y $ 轴交点在正半轴，故 $ b＞0 $，则 $ ab＜0 $，反比例函数图象在第二、四象限，与选项D的图象一致，符合题意。
【答案】D
【知识点】一次函数的图像与性质、反比例函数的图像与性质
【点评】本题是一次函数与反比例函数图象的综合题，核心是利用一次函数的系数符号推导 $ ab $ 的符号，再匹配反比例函数的图象，需熟练掌握两种函数图象与系数的关系，属于中等难度的中考题型。
【难度系数】0.5

2. (江西中考)已知正比例函数 $y_1$ 的图象与反比例函数 $y_2$ 的图象相交于点 $A(2,4)$,下列说法正确的是（）

A.反比例函数 $y_2$ 的表达式是 $y_2=-\dfrac{8}{x}$
B.两个函数图象的另一个交点坐标为 $(2,-4)$
C.当 $x＜-2$ 或 $0＜x＜2$ 时,$y_1＜y_2$
D.正比例函数 $y_1$ 与反比例函数 $y_2$ 都随 $x$ 的增大而增大

2. C 解析:
∵ 正比例函数 $y_1$ 的图象与反比例函数 $y_2$ 的图象
相交于点 $A(2,4)$,
∴ 正比例函数 $y_1 = 2x$,反比例函数 $y_2 =\dfrac{8}{x}$,
∴ 两个函数图象的另一个交点为 $(-2,-4)$,
∴ A,B
选项错误.
∵ 正比例函数 $y_1=2x$ 中,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,反
比例函数 $y_2=\dfrac{8}{x}$ 中,在每个象限内 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,
∴ D 选项错误.
∵ 当 $x＜-2$ 或 $0＜x＜2$ 时,$y_1＜y_2$,
∴ C 选项正
确.故选 C.

【分析】
要解决这道题，需按以下步骤思考：1. 利用交点A(2,4)分别求出正比例函数和反比例函数的解析式；2. 根据两个函数的对称性，求出另一个交点坐标；3. 逐一分析各选项中关于函数表达式、交点、增减性、函数值大小的描述是否正确，最终确定正确选项。
【解析】
1. 求函数解析式：
设正比例函数为$ y_1 = kx $，将点$ A(2,4) $代入得：$ 4 = 2k $，解得$ k=2 $，故$ y_1 = 2x $；
设反比例函数为$ y_2 = \frac{m}{x} $，将点$ A(2,4) $代入得：$ 4 = \frac{m}{2} $，解得$ m=8 $，故$ y_2 = \frac{8}{x} $。
2. 求另一个交点：联立$ y_1=2x $与$ y_2=\frac{8}{x} $，得$ 2x = \frac{8}{x} $，即$ x^2=4 $，解得$ x=2 $或$ x=-2 $，对应$ y=4 $或$ y=-4 $，故另一个交点为$ (-2,-4) $。
3. 分析选项：
选项A：$ y_2=-\frac{8}{x} $，与所求$ y_2=\frac{8}{x} $不符，错误；
选项B：另一个交点为$ (-2,-4) $，不是$ (2,-4) $，错误；
选项D：正比例函数$ y_1=2x $中$ k=2＞0 $，$ y $随$ x $增大而增大；反比例函数$ y_2=\frac{8}{x} $中$ k=8＞0 $，仅在每个象限内$ y $随$ x $增大而减小，并非整体随$ x $增大而增大，错误；
选项C：结合图象，当$ x＜-2 $时，$ y_1=2x $的值小于$ y_2=\frac{8}{x} $；当$ 0＜x＜2 $时，同样$ y_1＜y_2 $，正确。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数性质；反比例函数性质；函数图象交点
【点评】
本题为中考常见的函数综合题，考查函数解析式求解、交点坐标、函数增减性及函数值比较，需掌握数形结合思想，难度适中，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6

3. (2025·连云港中考改编)如图,正比例函数
$y_{1}=k_{1}x(k_{1}＜0)$的图象与反比例函数$y_{2}=\dfrac{k_{2}}{x}$$(k_{2}＜0)$的图象交于A,B两点,点A的横坐标为-1.当$y_{1}＜y_{2}$时,x的取值范围是.

3. $-1＜x＜0$ 或 $x＞1$ 解析:由题图可知,正比例函数 $y_1 = k_1x$
$(k_1＜0)$ 的图象与反比例函数 $y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2＜0)$ 的图象相交
于A,B两点,点A的横坐标为-1,
∴ 点 B 的横坐标为 1,
∴ 当$-1＜x＜0$ 或 $x＞1$ 时,反比例函数的图象在一次函数图象
的上方,即当 $y_1＜y_2$ 时,$x$ 的取值范围是$-1＜x＜0$ 或 $x＞1$.

【分析】首先，正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称；已知点A的横坐标为-1，可推出点B的横坐标为1；要确定$y_1＜y_2$时x的取值范围，需观察图象，找到反比例函数图象在正比例函数图象上方时对应的x区间即可。
【解析】因为正比例函数$y_1=k_1x(k_1＜0)$与反比例函数$y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2＜0)$的图象关于原点中心对称，所以交点A、B也关于原点对称。已知点A的横坐标为-1，因此点B的横坐标为1。观察图象可知：当$-1＜x＜0$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方；当$x＞1$时，反比例函数图象也在正比例函数图象上方，这两种情况均满足$y_1＜y_2$，故x的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】-1＜x＜0或x＞1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点、函数图象的对称性
【点评】本题考查利用函数图象解不等式，核心是利用正比例与反比例函数图象的中心对称性确定交点位置，再通过图象上下位置关系得出x的范围，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5

4. 如图,直线 $y=-\dfrac{1}{4}x$ 与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$ 交于点$A$,将直线 $y=-\dfrac{1}{4}x$ 向上平移2个单位长度后,与$y$轴交于点$C$,与双曲线交于点$B$,若 $OA=2BC$,则$k$的值为.

4. $-\dfrac{64}{9}$ 解析:如图,D 为点 A 向上平
移2个单位长度后的点.设点 A 的坐
标为 $(4a,-a)$,由平移知,点 D 的坐标
为 $(4a,-a+2)$,点 C 的坐标为 $(0,2)$.又
∵ $AO = DC = 2BC$,
∴ 点 B 是 DC 的中点.
∵ 点 C 的横坐标为 0,点 D 的横坐标
为 $4a$,
∴ 点 B 的横坐标为 $2a$,代入平移后的直线方程,可得
点 B 的坐标为 $(2a,-\dfrac{a}{2}+2)$,
∴ $k = 4a · (-a)=$
$2a · (-\dfrac{a}{2}+2)$.
∵ $a ≠ 0$,整理得 $3a+4=0$,解得 $a=-\dfrac{4}{3}$,
∴ $k=-4a^2=-4× (-\dfrac{4}{3})^2=-\dfrac{64}{9}$.

【分析】
首先根据一次函数平移规律得到平移后的直线解析式，确定点C坐标；再设直线$y=-\dfrac{1}{4}x$上点A的坐标，结合图形中$OA=2BC$的条件，确定点B是线段DC的中点（D为A向上平移2个单位的点），进而求出点B的坐标；最后利用A、B都在双曲线上，即$k=x_Ay_A=x_By_B$列方程求解，得到k的值。
【解析】
1. 求平移后的直线及点C坐标：
直线$y=-\dfrac{1}{4}x$向上平移2个单位，根据“上加下减”的平移规律，得平移后直线解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x + 2$。令$x=0$，得$y=2$，故点$C(0,2)$。
2. 设点A及点D的坐标：
点A在直线$y=-\dfrac{1}{4}x$上，且$x＜0$，设$A(4a, -a)$（$a＜0$，简化计算）；点D是A向上平移2个单位的点，故$D(4a, -a+2)$。
3. 求点B的坐标：
由$OA=2BC$，结合图形可知$DC=OA$，因此B是DC的中点。DC的横坐标为$4a$和$0$，则B的横坐标为$\dfrac{4a+0}{2}=2a$。
因为点B在平移后的直线$y=-\dfrac{1}{4}x +2$上，代入$x=2a$，得B的纵坐标为$-\dfrac{1}{4}×2a +2=-\dfrac{a}{2}+2$，即$B(2a, -\dfrac{a}{2}+2)$。
4. 列方程求解k：
A、B都在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，故$k=x_Ay_A=x_By_B$，即：
$4a·(-a)=2a·(-\dfrac{a}{2}+2)$
因为$a≠0$，两边同除以$a$得：$-4a=-a+4$，整理得$-3a=4$，解得$a=-\dfrac{4}{3}$。
代入$k=4a·(-a)$，得：
$k=4×(-\dfrac{4}{3})×(-(-\dfrac{4}{3}))=-4×\dfrac{16}{9}=-\dfrac{64}{9}$
【答案】
$-\dfrac{64}{9}$

【知识点】
反比例函数、一次函数平移、坐标与图形性质
【点评】
本题结合一次函数平移、反比例函数的性质，利用坐标关系建立方程求解，关键是根据线段长度关系确定点B的位置，体现了数形结合与方程思想的应用，是中等难度的函数综合题。
【难度系数】
0.5

5. (2025·苏州中考)如图,一次函数$y=2x+4$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于$A$,$B$两点,与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x ＞ 0)$的图象交于点$C$,过点$B$作$x$轴的平行线与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x ＞ 0)$的图象交于点$D$,连接$CD$.
(1)求$A$,$B$两点的坐标;
(2)若$△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形,求$k$的值.

5. (1)令 $y=0$,则 $2x+4=0$,解得 $x=-2$,
∴ 点 A 的坐标为$(-2,0)$,
令 $x=0$,则 $y=4$,
∴ 点 B 的坐标为 $(0,4)$.
(2)如图,过点 C 作 $CE ⊥ BD$,垂足为
$E$,
∵ $CB = CD$, $CE ⊥ BD$,
∴ $BE = DE$,令
$y=4$,则 $4=\dfrac{k}{x}$,
∴ $x=\dfrac{k}{4}$,
∴ 点 D 的坐
标为 $(\dfrac{1}{4}k,4)$,点 C 的坐标为 $(\dfrac{1}{8}k,8)$.
∵ 点 C 在一次函数 $y=2x+4$ 的图象上,
∴ $\dfrac{1}{4}k+4=8$,解
得 $k=16$.

【分析】
第(1)问，求一次函数与坐标轴交点，分别令$y=0$、$x=0$，解一元一次方程即可得到A、B两点坐标；第(2)问，△BCD是以BD为底边的等腰三角形，故$CB=CD$，利用等腰三角形三线合一，过C作$CE⊥BD$得E为BD中点，结合BD平行x轴的特点，先求D点坐标，再确定C点坐标，最后将C点代入一次函数解析式求出$k$的值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+4$：
令$y=0$，则$2x+4=0$，解得$x=-2$，
∴点A的坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
(2)
∵BD平行于x轴，点B坐标为$(0,4)$，
∴点D的纵坐标为4。
将$y=4$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$4=\dfrac{k}{x}$，解得$x=\dfrac{k}{4}$，
∴点D的坐标为$( \dfrac{k}{4},4 )$。
∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，过点C作$CE⊥BD$于E，根据等腰三角形三线合一，得$BE=DE$，即E为BD中点，
∴E点横坐标为$\dfrac{1}{2}×\dfrac{k}{4}=\dfrac{k}{8}$，即点C的横坐标为$\dfrac{k}{8}$。
又
∵点C在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，
∴点C的纵坐标为$\dfrac{k}{\dfrac{k}{8}}=8$，即点C的坐标为$( \dfrac{k}{8},8 )$。
∵点C在一次函数$y=2x+4$的图象上，
∴将C点坐标代入得：$8=2×\dfrac{k}{8}+4$，
化简得：$8=\dfrac{k}{4}+4$，解得$k=16$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(0,4)$；(2) $k=16$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、反比例函数坐标特征、等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数性质及等腰三角形几何性质，解题关键是利用等腰三角形三线合一确定C点坐标，结合函数解析式求解参数，属于中等难度的函数综合题，注重知识的结合应用。
【难度系数】
0.5