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1. 如图，D 为矩形 OABC（边 OA，OC 分别在$x,y$轴的正半轴上）对角线 OB 上的点，且$OD=\dfrac{1}{2}BD$，经过点 D 的反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象分别与 AB，BC 相交于点 E，F，连接 OE，OF，EF，若$△ OBF$的面积是 24，则$△ OEF$的面积为（
A.25
B.26
C.$\dfrac{79}{3}$
D.$\dfrac{80}{3}$
D
）A.25
B.26
C.$\dfrac{79}{3}$
D.$\dfrac{80}{3}$
答案
1. D 提示:设点 A 坐标为$(a,0)$,点 C 的坐标为$(0,b)$,则点 B 的坐标为$(a,b)$,点 D 的坐标为$(\dfrac{1}{3}a,\dfrac{1}{3}b)$,又因为点 D 在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,所以$k=\dfrac{1}{3}a×\dfrac{1}{3}b=\dfrac{1}{9}ab$. 由题意得,点 E,F在反比例函数的图象上,所以点 F 的坐标为$(\dfrac{1}{9}a,b)$,点 E 的坐标为$(a,\dfrac{1}{9}b)$,所以$BF=a-\dfrac{1}{9}a=\dfrac{8}{9}a$,$BE=b-\dfrac{1}{9}b=\dfrac{8}{9}b$. 所以$S_{△ OFB}=\dfrac{1}{2}BF· OC=\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{9}ab=24$,解得$ab=54$. 故$S_{△ OEF}=S_{矩形OABC}-S_{△ OCF}-S_{△ OEA}-S_{△ BEF}=ab-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{9}ab-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{9}ab-\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{9}a×\dfrac{8}{9}b=\dfrac{40}{81}ab=\dfrac{80}{3}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用矩形的坐标特征设出点B的坐标，结合OD与BD的关系确定点D的坐标；再根据反比例函数上点的坐标关系求出反比例函数的k值，进而得到点E、F的坐标；然后通过△OBF的面积求出矩形边长的乘积ab；最后用矩形面积减去周围三个三角形的面积，计算出△OEF的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,0)$，点C的坐标为$(0,b)$，则矩形OABC的顶点B的坐标为$(a,b)$。
因为$OD=\dfrac{1}{2}BD$，所以点D是OB的三等分点，故点D的坐标为$(\dfrac{1}{3}a,\dfrac{1}{3}b)$。
由于点D在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，代入得$k=\dfrac{1}{3}a × \dfrac{1}{3}b=\dfrac{1}{9}ab$。
点E在AB上，AB的横坐标为$a$，代入反比例函数得E的纵坐标为$\dfrac{k}{a}=\dfrac{\dfrac{1}{9}ab}{a}=\dfrac{1}{9}b$，即$E(a,\dfrac{1}{9}b)$；
点F在BC上，BC的纵坐标为$b$，代入反比例函数得F的横坐标为$\dfrac{k}{b}=\dfrac{\dfrac{1}{9}ab}{b}=\dfrac{1}{9}a$，即$F(\dfrac{1}{9}a,b)$。
计算$△ OBF$的面积：$BF=a - \dfrac{1}{9}a=\dfrac{8}{9}a$，以BF为底、OC为高，得$S_{△ OBF}=\dfrac{1}{2} × \dfrac{8}{9}a × b=\dfrac{4}{9}ab$。
已知$S_{△ OBF}=24$，则$\dfrac{4}{9}ab=24$，解得$ab=54$。
计算$△ OEF$的面积，用矩形面积减去周围三个三角形的面积：
矩形面积$S_{矩形OABC}=ab=54$；
$S_{△ OCF}=\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{9}a × b=\dfrac{1}{18}ab$，$S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2} × a × \dfrac{1}{9}b=\dfrac{1}{18}ab$；
$S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2} × (b - \dfrac{1}{9}b) × \dfrac{8}{9}a=\dfrac{32}{81}ab$；
因此$S_{△ OEF}=ab - \dfrac{1}{18}ab - \dfrac{1}{18}ab - \dfrac{32}{81}ab=\dfrac{40ab}{81}$，代入$ab=54$得：
$S_{△ OEF}=\dfrac{40 × 54}{81}=\dfrac{80}{3}$。
【答案】
$\dfrac{80}{3}$
【知识点】
反比例函数性质、矩形性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合矩形与反比例函数的坐标特征，通过面积和差关系求解目标三角形面积，关键在于利用反比例函数上点的坐标关联各线段长度，需理清坐标与面积的转换关系。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先利用矩形的坐标特征设出点B的坐标，结合OD与BD的关系确定点D的坐标；再根据反比例函数上点的坐标关系求出反比例函数的k值，进而得到点E、F的坐标；然后通过△OBF的面积求出矩形边长的乘积ab；最后用矩形面积减去周围三个三角形的面积，计算出△OEF的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,0)$，点C的坐标为$(0,b)$，则矩形OABC的顶点B的坐标为$(a,b)$。
因为$OD=\dfrac{1}{2}BD$，所以点D是OB的三等分点，故点D的坐标为$(\dfrac{1}{3}a,\dfrac{1}{3}b)$。
由于点D在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，代入得$k=\dfrac{1}{3}a × \dfrac{1}{3}b=\dfrac{1}{9}ab$。
点E在AB上，AB的横坐标为$a$，代入反比例函数得E的纵坐标为$\dfrac{k}{a}=\dfrac{\dfrac{1}{9}ab}{a}=\dfrac{1}{9}b$，即$E(a,\dfrac{1}{9}b)$；
点F在BC上，BC的纵坐标为$b$，代入反比例函数得F的横坐标为$\dfrac{k}{b}=\dfrac{\dfrac{1}{9}ab}{b}=\dfrac{1}{9}a$，即$F(\dfrac{1}{9}a,b)$。
计算$△ OBF$的面积：$BF=a - \dfrac{1}{9}a=\dfrac{8}{9}a$，以BF为底、OC为高，得$S_{△ OBF}=\dfrac{1}{2} × \dfrac{8}{9}a × b=\dfrac{4}{9}ab$。
已知$S_{△ OBF}=24$，则$\dfrac{4}{9}ab=24$，解得$ab=54$。
计算$△ OEF$的面积，用矩形面积减去周围三个三角形的面积：
矩形面积$S_{矩形OABC}=ab=54$；
$S_{△ OCF}=\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{9}a × b=\dfrac{1}{18}ab$，$S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2} × a × \dfrac{1}{9}b=\dfrac{1}{18}ab$；
$S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2} × (b - \dfrac{1}{9}b) × \dfrac{8}{9}a=\dfrac{32}{81}ab$；
因此$S_{△ OEF}=ab - \dfrac{1}{18}ab - \dfrac{1}{18}ab - \dfrac{32}{81}ab=\dfrac{40ab}{81}$，代入$ab=54$得：
$S_{△ OEF}=\dfrac{40 × 54}{81}=\dfrac{80}{3}$。
【答案】
$\dfrac{80}{3}$
【知识点】
反比例函数性质、矩形性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合矩形与反比例函数的坐标特征，通过面积和差关系求解目标三角形面积，关键在于利用反比例函数上点的坐标关联各线段长度，需理清坐标与面积的转换关系。
【难度系数】
0.4
2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=$$ax+4$与$x$轴和$y$轴分别交于$A,B$两点,$C$为$AB$的中点,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$C$.若$OC=2.5$,则$k$的值为（
A.3
B.$-4$
C.$-3$
D.4
C
）A.3
B.$-4$
C.$-3$
D.4
答案
2. C 提示:直线$y=ax+4$与$x$,$y$轴分别交于$A$,$B$两点,所以当$x=0$时,$y=4$,当$y=0$时,$ax+4=0(a≠0)$,解得$x=-\dfrac{4}{a}$,则点$A(-\dfrac{4}{a},0)$,$B(0,4)$.因为$C$为$AB$的中点,所以点$C(-\dfrac{2}{a},2)$. 因为$OC=2.5$,所以$(-\dfrac{2}{a})^2+2^2=2.5^2$,解得$a=\pm\dfrac{4}{3}$.因为直线$y=ax+4$过第一、二、三象限,所以$a=\dfrac{4}{3}$,所以点$C(-\dfrac{3}{2},2)$. 因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$C$,所以$k=-\dfrac{3}{2}×2=-3$.
解析
【分析】
要解决本题，需先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，再利用中点坐标公式得到点C的坐标，结合OC的长度列方程求出参数a，最后根据反比例函数图象过点C计算k值。具体步骤：1. 求直线与x轴、y轴交点A、B；2. 利用中点坐标公式求C点坐标；3. 由OC的长度列方程解a，结合图象确定a的符号；4. 代入C点坐标求k。
【解析】
解：对于直线$ y = ax + 4 $，
当$ x = 0 $时，$ y = 4 $，故点$ B $的坐标为$ (0, 4) $；
当$ y = 0 $时，$ ax + 4 = 0 $，解得$ x = -\dfrac{4}{a} $，故点$ A $的坐标为$ (-\dfrac{4}{a}, 0) $。
因为$ C $为$ AB $的中点，根据中点坐标公式，点$ C $的坐标为：
$ x_C = \dfrac{-\dfrac{4}{a} + 0}{2} = -\dfrac{2}{a} $，$ y_C = \dfrac{0 + 4}{2} = 2 $，即$ C(-\dfrac{2}{a}, 2) $。
已知$ OC = 2.5 $，根据原点到点$ C $的距离公式：
$ OC^2 = (-\dfrac{2}{a})^2 + 2^2 = 2.5^2 $，
代入计算得：$ \dfrac{4}{a^2} + 4 = 6.25 $，
移项化简得$ a^2 = \dfrac{16}{9} $，解得$ a = \pm \dfrac{4}{3} $。
结合图象可知，直线$ AB $过第一、二、三象限，故斜率$ a ＞ 0 $，因此$ a = \dfrac{4}{3} $。
则点$ C $的坐标为$ (-\dfrac{2}{\dfrac{4}{3}}, 2) = (-\dfrac{3}{2}, 2) $。
将$ C(-\dfrac{3}{2}, 2) $代入反比例函数$ y = \dfrac{k}{x} $，得：
$ k = (-\dfrac{3}{2}) × 2 = -3 $。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、中点坐标公式、反比例函数解析式
【点评】
本题综合考查一次函数、中点坐标、两点间距离及反比例函数的知识点，需熟练运用坐标公式，结合图象判断参数符号，是典型的函数综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，再利用中点坐标公式得到点C的坐标，结合OC的长度列方程求出参数a，最后根据反比例函数图象过点C计算k值。具体步骤：1. 求直线与x轴、y轴交点A、B；2. 利用中点坐标公式求C点坐标；3. 由OC的长度列方程解a，结合图象确定a的符号；4. 代入C点坐标求k。
【解析】
解：对于直线$ y = ax + 4 $，
当$ x = 0 $时，$ y = 4 $，故点$ B $的坐标为$ (0, 4) $；
当$ y = 0 $时，$ ax + 4 = 0 $，解得$ x = -\dfrac{4}{a} $，故点$ A $的坐标为$ (-\dfrac{4}{a}, 0) $。
因为$ C $为$ AB $的中点，根据中点坐标公式，点$ C $的坐标为：
$ x_C = \dfrac{-\dfrac{4}{a} + 0}{2} = -\dfrac{2}{a} $，$ y_C = \dfrac{0 + 4}{2} = 2 $，即$ C(-\dfrac{2}{a}, 2) $。
已知$ OC = 2.5 $，根据原点到点$ C $的距离公式：
$ OC^2 = (-\dfrac{2}{a})^2 + 2^2 = 2.5^2 $，
代入计算得：$ \dfrac{4}{a^2} + 4 = 6.25 $，
移项化简得$ a^2 = \dfrac{16}{9} $，解得$ a = \pm \dfrac{4}{3} $。
结合图象可知，直线$ AB $过第一、二、三象限，故斜率$ a ＞ 0 $，因此$ a = \dfrac{4}{3} $。
则点$ C $的坐标为$ (-\dfrac{2}{\dfrac{4}{3}}, 2) = (-\dfrac{3}{2}, 2) $。
将$ C(-\dfrac{3}{2}, 2) $代入反比例函数$ y = \dfrac{k}{x} $，得：
$ k = (-\dfrac{3}{2}) × 2 = -3 $。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、中点坐标公式、反比例函数解析式
【点评】
本题综合考查一次函数、中点坐标、两点间距离及反比例函数的知识点，需熟练运用坐标公式，结合图象判断参数符号，是典型的函数综合题。
【难度系数】
0.5
3. 如图,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过$□ OABC$ 的顶点 $C$ 和对角线的交点 $E$,顶点 $A$ 在 $x$ 轴上. 若$□ OABC$ 的面积为12,则 $k$ 的值为（
A.8
B.6
C.4
D.2
C
）A.8
B.6
C.4
D.2
答案
3. C 提示:分别过点$C$,$E$作$x$轴的垂线,垂足分别为$D$,$F$. 设点$C(m,\dfrac{k}{m})$. 可知$E$为$AC$的中点,$EF// CD$,所以$EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{k}{2m}$,$DF=AF$. 因为点$E$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,所以点$E$的横坐标为$2m$,所以$DF=m$,所以$OA=3m$. 所以$S_{四边形OABC}=3m·\dfrac{k}{m}=12$,解得$k=4$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形与反比例函数的性质：首先明确平行四边形对角线交点是对角线中点，即E为AC中点；通过作垂线构造中位线，推导E点与C点的坐标关系，再结合平行四边形面积公式即可求出k的值。
【解析】
分别过点$C$、$E$作$x$轴的垂线，垂足为$D$、$F$。
设点$C$的坐标为$(m,\dfrac{k}{m})$，因为$E$是$□ OABC$对角线的交点，所以$E$是$AC$的中点，又$EF // CD$，故$EF$是$△ ACD$的中位线，因此$EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{k}{2m}$，且$DF=AF$。
由于点$E$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，所以$E$点的横坐标为$\dfrac{k}{y_E}=\dfrac{k}{\dfrac{k}{2m}}=2m$，即$OF=2m$。
由此可得$DF=OF-OD=2m-m=m$，故$AF=DF=m$，则$OA=OD+DF+FA=m+m+m=3m$。
$□ OABC$的面积为底×高，底为$OA=3m$，高为$C$点的纵坐标$\dfrac{k}{m}$，因此$S_{□OABC}=OA×\dfrac{k}{m}=3m×\dfrac{k}{m}=3k$。
已知面积为12，所以$3k=12$，解得$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形性质、面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形与反比例函数的知识，核心是利用平行四边形对角线中点的性质，结合中位线推导坐标关系，再通过面积公式求解，属于中等综合性题目。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形与反比例函数的性质：首先明确平行四边形对角线交点是对角线中点，即E为AC中点；通过作垂线构造中位线，推导E点与C点的坐标关系，再结合平行四边形面积公式即可求出k的值。
【解析】
分别过点$C$、$E$作$x$轴的垂线，垂足为$D$、$F$。
设点$C$的坐标为$(m,\dfrac{k}{m})$，因为$E$是$□ OABC$对角线的交点，所以$E$是$AC$的中点，又$EF // CD$，故$EF$是$△ ACD$的中位线，因此$EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{k}{2m}$，且$DF=AF$。
由于点$E$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，所以$E$点的横坐标为$\dfrac{k}{y_E}=\dfrac{k}{\dfrac{k}{2m}}=2m$，即$OF=2m$。
由此可得$DF=OF-OD=2m-m=m$，故$AF=DF=m$，则$OA=OD+DF+FA=m+m+m=3m$。
$□ OABC$的面积为底×高，底为$OA=3m$，高为$C$点的纵坐标$\dfrac{k}{m}$，因此$S_{□OABC}=OA×\dfrac{k}{m}=3m×\dfrac{k}{m}=3k$。
已知面积为12，所以$3k=12$，解得$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形性质、面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形与反比例函数的知识，核心是利用平行四边形对角线中点的性质，结合中位线推导坐标关系，再通过面积公式求解，属于中等综合性题目。
【难度系数】
0.5
4. 如图,在菱形$ABOC$中,$∠ A=60°$,顶点$C$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上.若将菱形$ABOC$向下平移$2$个单位长度,点$A$恰好落在反比例函数的图象上,则反比例函数的表达式为（
A.$y=-\dfrac{3\sqrt{3}}{x}$
B.$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{x}$
C.$y=-\dfrac{3}{x}$
D.$y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}$
A
）A.$y=-\dfrac{3\sqrt{3}}{x}$
B.$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{x}$
C.$y=-\dfrac{3}{x}$
D.$y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}$
答案
4. A 提示:过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$. 易知$∠ OCD=30°$. 设菱形的边长为$a$,则$OD=\dfrac{1}{2}a$,$CD=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$, 所以点$C(-\dfrac{1}{2}a,\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)$, 点$A(-\dfrac{3}{2}a,\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)$. 平移后点$A(-\dfrac{3}{2}a,\dfrac{\sqrt{3}}{2}a-2)$. 所以$k=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a·(-\dfrac{1}{2}a)=(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a-2)·(-\dfrac{3}{2}a)$, 解得$a=2\sqrt{3}$,所以$k=-3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质确定各点坐标，利用图形平移的规律得到平移后点的坐标，再根据反比例函数上的点满足横纵坐标乘积等于k的性质列方程求解。首先设菱形边长为a，通过作辅助线构造直角三角形，结合菱形的角度关系求出点C、A的坐标，再根据平移规则得到平移后A的坐标，最后利用反比例函数的性质建立方程，求出边长a和k，进而确定反比例函数表达式。
【解析】
设菱形ABOC的边长为a。
1. 过点C作CD⊥x轴于点D，在菱形ABOC中，∠A=60°，OC=a，OC//AB，故∠COD=∠A=60°。
在Rt△OCD中，OD=OC·cos60°=a·$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$，CD=OC·sin60°=a·$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此点C的坐标为($-\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)（第二象限，x负y正）。
2. 菱形中AC//BO，BO在x轴上，故AC为水平线段，AC=a，因此点A的横坐标为$-\frac{a}{2}-a=-\frac{3a}{2}$，纵坐标与C相同为$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，即A($-\frac{3a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)。
3. 将菱形向下平移2个单位，点A的纵坐标减2，平移后A的坐标为($-\frac{3a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}-2$)。
4. 因为点C和平移后的点A都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以它们的横纵坐标乘积均等于k，列方程：
$(-\frac{a}{2})·(\frac{\sqrt{3}a}{2}) = (-\frac{3a}{2})·(\frac{\sqrt{3}a}{2}-2)$
化简左边：$-\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$
右边展开：$(-\frac{3a}{2})·\frac{\sqrt{3}a}{2} + (-\frac{3a}{2})·(-2) = -\frac{3\sqrt{3}a^2}{4} + 3a$
方程整理得：$-\frac{\sqrt{3}a^2}{4} = -\frac{3\sqrt{3}a^2}{4} + 3a$
移项合并：$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}=3a$，因a≠0，两边同除以a得：$\frac{\sqrt{3}a}{2}=3$，解得$a=2\sqrt{3}$。
5. 代入点C的坐标求k：$k=(-\frac{a}{2})·\frac{\sqrt{3}a}{2}=(-\sqrt{3})·3=-3\sqrt{3}$，故反比例函数表达式为$y=-\frac{3\sqrt{3}}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数表达式、菱形性质、图形平移
【点评】
本题将菱形性质、图形平移与反比例函数相结合，核心是利用菱形的角度和边长关系确定各点坐标，再结合平移规则得到平移后点的坐标，最后通过反比例函数的性质列方程求解，需注意坐标的符号和计算的准确性。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形的性质确定各点坐标，利用图形平移的规律得到平移后点的坐标，再根据反比例函数上的点满足横纵坐标乘积等于k的性质列方程求解。首先设菱形边长为a，通过作辅助线构造直角三角形，结合菱形的角度关系求出点C、A的坐标，再根据平移规则得到平移后A的坐标，最后利用反比例函数的性质建立方程，求出边长a和k，进而确定反比例函数表达式。
【解析】
设菱形ABOC的边长为a。
1. 过点C作CD⊥x轴于点D，在菱形ABOC中，∠A=60°，OC=a，OC//AB，故∠COD=∠A=60°。
在Rt△OCD中，OD=OC·cos60°=a·$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$，CD=OC·sin60°=a·$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此点C的坐标为($-\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)（第二象限，x负y正）。
2. 菱形中AC//BO，BO在x轴上，故AC为水平线段，AC=a，因此点A的横坐标为$-\frac{a}{2}-a=-\frac{3a}{2}$，纵坐标与C相同为$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，即A($-\frac{3a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)。
3. 将菱形向下平移2个单位，点A的纵坐标减2，平移后A的坐标为($-\frac{3a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}-2$)。
4. 因为点C和平移后的点A都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以它们的横纵坐标乘积均等于k，列方程：
$(-\frac{a}{2})·(\frac{\sqrt{3}a}{2}) = (-\frac{3a}{2})·(\frac{\sqrt{3}a}{2}-2)$
化简左边：$-\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$
右边展开：$(-\frac{3a}{2})·\frac{\sqrt{3}a}{2} + (-\frac{3a}{2})·(-2) = -\frac{3\sqrt{3}a^2}{4} + 3a$
方程整理得：$-\frac{\sqrt{3}a^2}{4} = -\frac{3\sqrt{3}a^2}{4} + 3a$
移项合并：$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}=3a$，因a≠0，两边同除以a得：$\frac{\sqrt{3}a}{2}=3$，解得$a=2\sqrt{3}$。
5. 代入点C的坐标求k：$k=(-\frac{a}{2})·\frac{\sqrt{3}a}{2}=(-\sqrt{3})·3=-3\sqrt{3}$，故反比例函数表达式为$y=-\frac{3\sqrt{3}}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数表达式、菱形性质、图形平移
【点评】
本题将菱形性质、图形平移与反比例函数相结合，核心是利用菱形的角度和边长关系确定各点坐标，再结合平移规则得到平移后点的坐标，最后通过反比例函数的性质列方程求解，需注意坐标的符号和计算的准确性。
【难度系数】
0.5
5. 如图,在平面直角坐标系中,等边三角形$AOB$的边长为6,点$C$在边$OA$上,点$D$在边$AB$上,$OC=3BD$.若反比例函数$y=$$\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象恰好经过点$C$和点$D$,则$k$的值为（
A.$\dfrac{81\sqrt{3}}{25}$
B.$\dfrac{81\sqrt{3}}{16}$
C.$\dfrac{81\sqrt{3}}{5}$
D.$\dfrac{81\sqrt{3}}{4}$
A
）A.$\dfrac{81\sqrt{3}}{25}$
B.$\dfrac{81\sqrt{3}}{16}$
C.$\dfrac{81\sqrt{3}}{5}$
D.$\dfrac{81\sqrt{3}}{4}$
答案
5. A 提示:过点$C$作$CE⊥ x$轴于点$E$,过点$D$作$DF⊥ x$轴于点$F$. 设$BD=a$,则$OC=3a$. 在$\mathrm{Rt}△ COE$中,$∠ COE=60°$,$∠ CEO=90°$, 所以$∠ OCE=30°$,所以$OE=\dfrac{3}{2}a$,所以$CE=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a$,所以点$C(\dfrac{3}{2}a,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a)$. 同理可得,点$D(6-\dfrac{1}{2}a,\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)$. 所以$k=\dfrac{3}{2}a·\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a=(6-\dfrac{1}{2}a)·\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$,解得$a=\dfrac{6}{5}$,所以$k=\dfrac{81\sqrt{3}}{25}$.
解析
【分析】
要解决本题，需利用等边三角形的性质结合三角函数求出点C、D的坐标，再根据反比例函数上的点满足横纵坐标乘积等于k，建立方程求解。步骤如下：①设BD=a，由OC=3a得OC长度；②过C、D分别作x轴垂线，利用等边三角形内角60°，结合三角函数求出两点的横、纵坐标；③根据反比例函数性质，两点横纵坐标乘积相等，列方程解出a，进而计算k的值。
【解析】
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a。
∵△AOB是等边三角形，边长为6，
∴∠COE=∠DBF=60°，OB=6。
在Rt△COE中，∠CEO=90°，∠COE=60°，OC=3a，
∴OE=OC·cos60°=3a×$\frac{1}{2}$=$\frac{3a}{2}$，CE=OC·sin60°=3a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}a}{2}$，
∴点C的坐标为($\frac{3a}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}a}{2}$)。
在Rt△DBF中，∠DFB=90°，∠DBF=60°，BD=a，
∴BF=BD·cos60°=a×$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$，DF=BD·sin60°=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
∴OF=OB - BF=6 - $\frac{a}{2}$，点D的坐标为($6 - \frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)。
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C、D，
∴k=xC·yC=xD·yD，
即$\frac{3a}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}a}{2}$=$(6 - \frac{a}{2})$×$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
两边同乘4得：$9\sqrt{3}a^2=(12 - a)\sqrt{3}a$，
∵a≠0，两边同除以$\sqrt{3}a$得：9a=12 - a，
解得a=$\frac{6}{5}$。
将a=$\frac{6}{5}$代入k=$\frac{3a}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}a}{2}$，得：
k=$\frac{3×\frac{6}{5}}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}×\frac{6}{5}}{2}$=$\frac{9}{5}$×$\frac{9\sqrt{3}}{5}$=$\frac{81\sqrt{3}}{25}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质、等边三角形性质、坐标与图形
【点评】
本题结合等边三角形与反比例函数，需通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数求点的坐标，再结合反比例函数的性质建立方程求解，考查了坐标与函数的对应关系，属于中档题，需掌握此类题型的解题思路。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用等边三角形的性质结合三角函数求出点C、D的坐标，再根据反比例函数上的点满足横纵坐标乘积等于k，建立方程求解。步骤如下：①设BD=a，由OC=3a得OC长度；②过C、D分别作x轴垂线，利用等边三角形内角60°，结合三角函数求出两点的横、纵坐标；③根据反比例函数性质，两点横纵坐标乘积相等，列方程解出a，进而计算k的值。
【解析】
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a。
∵△AOB是等边三角形，边长为6，
∴∠COE=∠DBF=60°，OB=6。
在Rt△COE中，∠CEO=90°，∠COE=60°，OC=3a，
∴OE=OC·cos60°=3a×$\frac{1}{2}$=$\frac{3a}{2}$，CE=OC·sin60°=3a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}a}{2}$，
∴点C的坐标为($\frac{3a}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}a}{2}$)。
在Rt△DBF中，∠DFB=90°，∠DBF=60°，BD=a，
∴BF=BD·cos60°=a×$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$，DF=BD·sin60°=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
∴OF=OB - BF=6 - $\frac{a}{2}$，点D的坐标为($6 - \frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$)。
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C、D，
∴k=xC·yC=xD·yD，
即$\frac{3a}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}a}{2}$=$(6 - \frac{a}{2})$×$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
两边同乘4得：$9\sqrt{3}a^2=(12 - a)\sqrt{3}a$，
∵a≠0，两边同除以$\sqrt{3}a$得：9a=12 - a，
解得a=$\frac{6}{5}$。
将a=$\frac{6}{5}$代入k=$\frac{3a}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}a}{2}$，得：
k=$\frac{3×\frac{6}{5}}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}×\frac{6}{5}}{2}$=$\frac{9}{5}$×$\frac{9\sqrt{3}}{5}$=$\frac{81\sqrt{3}}{25}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质、等边三角形性质、坐标与图形
【点评】
本题结合等边三角形与反比例函数，需通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数求点的坐标，再结合反比例函数的性质建立方程求解，考查了坐标与函数的对应关系，属于中档题，需掌握此类题型的解题思路。
【难度系数】
0.5
6. 如图,点 $A,C$ 在反比例函数 $y=\dfrac{a}{x}$ 的图象上,过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线 $AB$,交 $y$ 轴于点 $M$,交反比例函数 $y=\dfrac{b}{x}$ 的图象于点 $B$.过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线 $CD$,交 $y$ 轴于点$N$,交 $y=\dfrac{b}{x}$ 的图象于点 $D$. 若 $AB=6$,$CD=3,MN=3$,则 $b-a$ 的值为 （
A.15
B.12
C.9
D.6
D
）A.15
B.12
C.9
D.6
答案
6. D 提示:如图,连接$OA$,$OB$,$OC$,$OD$. 由题意得$S_{△ AOM}=S_{△ CON}=\dfrac{|a|}{2}$,$S_{△ BOM}=S_{△ DON}=\dfrac{|b|}{2}$, 所以$S_{△ AOB}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}=\dfrac{|a|}{2}+\dfrac{|b|}{2}$. 同理$S_{△ COD}=\dfrac{|a|}{2}+\dfrac{|b|}{2}$,即$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$. 所以$AB· OM=CD· ON$. 因为$AB=6$,$CD=3$,所以$6OM=3ON$,即$ON=2OM$. 因为$MN=OM+ON=3$,所以$OM=1$. 所以$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}AB· OM=\dfrac{1}{2}×6×1=3$,即$\dfrac{|a|}{2}+\dfrac{|b|}{2}=3$. 由图象可知,$a＜0$,$b＞0$,所以$\dfrac{-a}{2}+\dfrac{b}{2}=3$,所以$b-a=6$.
解析
【分析】
这是反比例函数的面积应用问题，解题思路如下：
1. 利用反比例函数的核心性质：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，该点与原点、垂足构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$（$k$为反比例函数的比例系数）。
2. 观察图形，$AB$、$CD$均平行于$x$轴，因此$△ AOB$和$△ COD$的面积可通过“底×高÷2”表示，结合反比例函数面积性质可知两者面积相等。
3. 结合已知$AB=6$、$CD=3$，建立$OM$和$ON$的关系，再利用$MN=OM+ON=3$求出$OM$、$ON$的值，最后通过面积关系推导$b-a$的值。
【解析】
连接$OA$、$OB$、$OC$、$OD$。
根据反比例函数的面积性质：
对于$y=\frac{a}{x}$，$S_{△ AOM}=\frac{|a|}{2}$，$S_{△ CON}=\frac{|a|}{2}$；
对于$y=\frac{b}{x}$，$S_{△ BOM}=\frac{|b|}{2}$，$S_{△ DON}=\frac{|b|}{2}$。
因此：
$S_{△ AOB}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}=\frac{|a|}{2}+\frac{|b|}{2}$，
$S_{△ COD}=S_{△ CON}+S_{△ DON}=\frac{|a|}{2}+\frac{|b|}{2}$，
故$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$。
由于$AB// x$轴，$CD// x$轴，$△ AOB$的底为$AB$、高为$OM$；$△ COD$的底为$CD$、高为$ON$，则：
$\frac{1}{2}AB· OM=\frac{1}{2}CD· ON$，
代入$AB=6$，$CD=3$，得：
$6OM=3ON$，即$ON=2OM$。
由$MN=OM+ON=3$，代入$ON=2OM$，得：
$OM+2OM=3$，解得$OM=1$，则$ON=2$。
计算$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OM=\frac{1}{2}×6×1=3$，
结合$S_{△ AOB}=\frac{|a|}{2}+\frac{|b|}{2}$，且图象中$a＜0$，$b＞0$，故$|a|=-a$，$|b|=b$，代入得：
$\frac{-a}{2}+\frac{b}{2}=3$，
两边同乘2得：$b - a=6$。
【答案】
6. D
【知识点】
反比例函数面积性质、反比例函数图象性质
【点评】
本题考查反比例函数的核心面积性质，关键是利用双曲线上点与原点构成的三角形面积规律，结合线段长度关系建立等式，需熟练掌握反比例函数的基本性质，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5
这是反比例函数的面积应用问题，解题思路如下：
1. 利用反比例函数的核心性质：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，该点与原点、垂足构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$（$k$为反比例函数的比例系数）。
2. 观察图形，$AB$、$CD$均平行于$x$轴，因此$△ AOB$和$△ COD$的面积可通过“底×高÷2”表示，结合反比例函数面积性质可知两者面积相等。
3. 结合已知$AB=6$、$CD=3$，建立$OM$和$ON$的关系，再利用$MN=OM+ON=3$求出$OM$、$ON$的值，最后通过面积关系推导$b-a$的值。
【解析】
连接$OA$、$OB$、$OC$、$OD$。
根据反比例函数的面积性质：
对于$y=\frac{a}{x}$，$S_{△ AOM}=\frac{|a|}{2}$，$S_{△ CON}=\frac{|a|}{2}$；
对于$y=\frac{b}{x}$，$S_{△ BOM}=\frac{|b|}{2}$，$S_{△ DON}=\frac{|b|}{2}$。
因此：
$S_{△ AOB}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}=\frac{|a|}{2}+\frac{|b|}{2}$，
$S_{△ COD}=S_{△ CON}+S_{△ DON}=\frac{|a|}{2}+\frac{|b|}{2}$，
故$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$。
由于$AB// x$轴，$CD// x$轴，$△ AOB$的底为$AB$、高为$OM$；$△ COD$的底为$CD$、高为$ON$，则：
$\frac{1}{2}AB· OM=\frac{1}{2}CD· ON$，
代入$AB=6$，$CD=3$，得：
$6OM=3ON$，即$ON=2OM$。
由$MN=OM+ON=3$，代入$ON=2OM$，得：
$OM+2OM=3$，解得$OM=1$，则$ON=2$。
计算$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OM=\frac{1}{2}×6×1=3$，
结合$S_{△ AOB}=\frac{|a|}{2}+\frac{|b|}{2}$，且图象中$a＜0$，$b＞0$，故$|a|=-a$，$|b|=b$，代入得：
$\frac{-a}{2}+\frac{b}{2}=3$，
两边同乘2得：$b - a=6$。
【答案】
6. D
【知识点】
反比例函数面积性质、反比例函数图象性质
【点评】
本题考查反比例函数的核心面积性质，关键是利用双曲线上点与原点构成的三角形面积规律，结合线段长度关系建立等式，需熟练掌握反比例函数的基本性质，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5
