登录
7. 如图,点 B 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 图象上,点 C 在反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}(x＞0)$ 图象上,且 $BC// y$ 轴, $AC⊥ BC$,垂足为 $C$,交 $y$ 轴于点 $A$. 若 $△ ABC$ 的面积为 5,则 $k$ 的值为
6
.答案
7. 6 提示:因为点$C$在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$上,所以可设点$C$的坐标为$(m,-\dfrac{4}{m})$. 因为$BC// y$轴,$AC⊥ BC$,所以点$A(0,-\dfrac{4}{m})$,$B(m,\dfrac{k}{m})$. 所以$BC=\dfrac{k}{m}+\dfrac{4}{m}$,$AC=m$. 因为$△ ABC$的面积为$5$,所以$\dfrac{1}{2}m·(\dfrac{k}{m}+\dfrac{4}{m})=5$. 解得$k=6$.
解析
【分析】
本题是反比例函数与三角形面积结合的题型，解题思路为：先根据点C所在的反比例函数设出其坐标，再利用BC平行y轴的特征得到点B的坐标，结合AC垂直BC的特征得到点A的坐标，进而求出直角三角形ABC的两条直角边长度，最后根据三角形面积公式列出方程求解k的值。
【解析】
设点C的坐标为$(m, -\frac{4}{m})$（$m＞0$），
因为$BC// y$轴，所以点B的横坐标与点C相同，为$m$，又点B在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，因此点B的纵坐标为$\frac{k}{m}$，即$B(m, \frac{k}{m})$。
因为$AC⊥ BC$，$BC// y$轴，所以$AC// x$轴，点A的纵坐标与点C相同，横坐标为0，即$A(0, -\frac{4}{m})$。
由此可得：$AC = m - 0 = m$，$BC = \frac{k}{m} - (-\frac{4}{m}) = \frac{k + 4}{m}$。
因为$△ ABC$是直角三角形，直角在C点，且面积为5，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × AC × BC = 5$，代入得：
$\frac{1}{2} × m × \frac{k + 4}{m} = 5$，
化简后$\frac{k + 4}{2} = 5$，解得$k = 6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数、三角形面积、坐标与图形性质
【点评】
本题通过设反比例函数上点的坐标，利用平行、垂直的坐标特征确定相关点的坐标，进而转化为线段长度，结合面积公式建立方程求解，核心是掌握坐标与线段长度的转换，是反比例函数的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
本题是反比例函数与三角形面积结合的题型，解题思路为：先根据点C所在的反比例函数设出其坐标，再利用BC平行y轴的特征得到点B的坐标，结合AC垂直BC的特征得到点A的坐标，进而求出直角三角形ABC的两条直角边长度，最后根据三角形面积公式列出方程求解k的值。
【解析】
设点C的坐标为$(m, -\frac{4}{m})$（$m＞0$），
因为$BC// y$轴，所以点B的横坐标与点C相同，为$m$，又点B在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，因此点B的纵坐标为$\frac{k}{m}$，即$B(m, \frac{k}{m})$。
因为$AC⊥ BC$，$BC// y$轴，所以$AC// x$轴，点A的纵坐标与点C相同，横坐标为0，即$A(0, -\frac{4}{m})$。
由此可得：$AC = m - 0 = m$，$BC = \frac{k}{m} - (-\frac{4}{m}) = \frac{k + 4}{m}$。
因为$△ ABC$是直角三角形，直角在C点，且面积为5，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × AC × BC = 5$，代入得：
$\frac{1}{2} × m × \frac{k + 4}{m} = 5$，
化简后$\frac{k + 4}{2} = 5$，解得$k = 6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数、三角形面积、坐标与图形性质
【点评】
本题通过设反比例函数上点的坐标，利用平行、垂直的坐标特征确定相关点的坐标，进而转化为线段长度，结合面积公式建立方程求解，核心是掌握坐标与线段长度的转换，是反比例函数的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
8. 如图,直线 $l:y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 与 $x$ 轴交于点$A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,菱形 $BCDE$ 的边 $BC //$$x$ 轴,另一边 $BE$ 在直线 $l$ 上,且 $B$ 是 $AE$ 的中点,点 $D$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象上,则 $k=$
-54
.答案
8. $-54$ 提示:易知点$A(4,0)$,$B(0,3)$. 因为$B$是$AE$的中点,所以点$E(-4,6)$,所以$BE=\sqrt{4^2+(6-3)^2}=5$. 因为四边形$BCDE$为菱形,所以$DE=BE=5$,$BC// DE$. 因为$BC// x$轴,所以$DE// x$轴. 所以点$D(-9,6)$. 所以$k=-9×6=-54$.
解析
【分析】
先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，利用中点坐标公式得到点E的坐标，再结合菱形性质推出点D的坐标，最后代入反比例函数解析式求出k值。
【解析】
1. 求直线$ l $与坐标轴的交点：
对于$ y=-\dfrac{3}{4}x+3 $，令$ y=0 $，解得$ x=4 $，故$ A(4,0) $；令$ x=0 $，得$ y=3 $，故$ B(0,3) $。
2. 求点E的坐标：
因为B是AE中点，设$ E(x_E,y_E) $，由中点坐标公式：$\dfrac{4+x_E}{2}=0$，$\dfrac{0+y_E}{2}=3$，解得$ x_E=-4 $，$ y_E=6 $，即$ E(-4,6) $。
3. 求点D的坐标：
计算$ BE $长度：$ BE=\sqrt{(-4-0)^2+(6-3)^2}=5 $；
菱形BCDE中，$ BE=DE=5 $，且$ BC// DE $，又$ BC// x $轴，故$ DE// x $轴，点D纵坐标与E相同为6；
因DE平行x轴且长度为5，E横坐标为-4，故D横坐标为$-4-5=-9$，即$ D(-9,6) $。
4. 求k值：
点D在$ y=\dfrac{k}{x} $上，故$ k=(-9)×6=-54 $。
【答案】
$-54$
【知识点】
一次函数、中点坐标公式、菱形性质、反比例函数
【点评】
本题综合多个知识点，需逐步推导各点坐标，关键是利用菱形性质确定点D的位置，难度适中。
【难度系数】
0.5
先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，利用中点坐标公式得到点E的坐标，再结合菱形性质推出点D的坐标，最后代入反比例函数解析式求出k值。
【解析】
1. 求直线$ l $与坐标轴的交点：
对于$ y=-\dfrac{3}{4}x+3 $，令$ y=0 $，解得$ x=4 $，故$ A(4,0) $；令$ x=0 $，得$ y=3 $，故$ B(0,3) $。
2. 求点E的坐标：
因为B是AE中点，设$ E(x_E,y_E) $，由中点坐标公式：$\dfrac{4+x_E}{2}=0$，$\dfrac{0+y_E}{2}=3$，解得$ x_E=-4 $，$ y_E=6 $，即$ E(-4,6) $。
3. 求点D的坐标：
计算$ BE $长度：$ BE=\sqrt{(-4-0)^2+(6-3)^2}=5 $；
菱形BCDE中，$ BE=DE=5 $，且$ BC// DE $，又$ BC// x $轴，故$ DE// x $轴，点D纵坐标与E相同为6；
因DE平行x轴且长度为5，E横坐标为-4，故D横坐标为$-4-5=-9$，即$ D(-9,6) $。
4. 求k值：
点D在$ y=\dfrac{k}{x} $上，故$ k=(-9)×6=-54 $。
【答案】
$-54$
【知识点】
一次函数、中点坐标公式、菱形性质、反比例函数
【点评】
本题综合多个知识点，需逐步推导各点坐标，关键是利用菱形性质确定点D的位置，难度适中。
【难度系数】
0.5
9. 如图所示, 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ (常数 $k＞0$, $x＞0$) 图象经过点 $P,Q,R$, 分别过这三个点作 $x$ 轴、$y$ 轴的平行线. 若 $OE=ED=DC$, 图中的“十字形”阴影部分的面积为36,则 $k$ 的值为
27
.答案
9. 27 提示:因为$CD=DE=OE$,所以可设$CD=DE=OE=a$, 则点$P(\dfrac{k}{3a},3a)$,$Q(\dfrac{k}{2a},2a)$,$R(\dfrac{k}{a},a)$, 所以$CP=\dfrac{k}{3a}$,$DQ=\dfrac{k}{2a}$,$ER=\dfrac{k}{a}$. 因为图中所构成的“十字形”阴影部分面积为36,所以$\dfrac{k}{3a}· a+(\dfrac{k}{2a}-\dfrac{k}{3a})· 3a+(\dfrac{k}{a}-\dfrac{k}{2a})· a=36$, 解得$k=27$.
解析
【分析】首先根据OE=ED=DC，设它们的长度均为a，由此确定点P、Q、R的纵坐标；再利用反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为k的性质，求出各点的横坐标；接着将十字形阴影部分拆分为几个矩形，分别计算面积后，根据阴影总面积为36建立方程，求解k的值。
【解析】设OE=ED=DC=a，则点P的纵坐标为3a，点Q的纵坐标为2a，点R的纵坐标为a。
因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k＞0$，$x＞0$）的图象经过P、Q、R，所以各点的横坐标分别为：
$P(\dfrac{k}{3a},3a)$，$Q(\dfrac{k}{2a},2a)$，$R(\dfrac{k}{a},a)$。
十字形阴影部分的面积可拆分为三部分：
左侧竖条面积：$\dfrac{k}{3a} · a = \dfrac{k}{3}$；
中间交叉区域的额外部分面积：$(\dfrac{k}{2a}-\dfrac{k}{3a})· 3a = \dfrac{k}{2}$；
右侧横条的额外部分面积：$(\dfrac{k}{a}-\dfrac{k}{2a})· a = \dfrac{k}{2}$；
阴影总面积为$\dfrac{k}{3}+\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{2}=\dfrac{4k}{3}$，已知阴影面积为36，因此$\dfrac{4k}{3}=36$，解得$k=27$。
【答案】27
【知识点】反比例函数性质、矩形面积计算、坐标与图形
【点评】本题结合反比例函数的坐标特征，通过设参数拆分图形面积求解，核心是利用反比例函数横纵坐标乘积为k的性质，属于数形结合的中等难度题目，需要学生具备图形拆分和代数运算的能力。
【难度系数】0.5
【解析】设OE=ED=DC=a，则点P的纵坐标为3a，点Q的纵坐标为2a，点R的纵坐标为a。
因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k＞0$，$x＞0$）的图象经过P、Q、R，所以各点的横坐标分别为：
$P(\dfrac{k}{3a},3a)$，$Q(\dfrac{k}{2a},2a)$，$R(\dfrac{k}{a},a)$。
十字形阴影部分的面积可拆分为三部分：
左侧竖条面积：$\dfrac{k}{3a} · a = \dfrac{k}{3}$；
中间交叉区域的额外部分面积：$(\dfrac{k}{2a}-\dfrac{k}{3a})· 3a = \dfrac{k}{2}$；
右侧横条的额外部分面积：$(\dfrac{k}{a}-\dfrac{k}{2a})· a = \dfrac{k}{2}$；
阴影总面积为$\dfrac{k}{3}+\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{2}=\dfrac{4k}{3}$，已知阴影面积为36，因此$\dfrac{4k}{3}=36$，解得$k=27$。
【答案】27
【知识点】反比例函数性质、矩形面积计算、坐标与图形
【点评】本题结合反比例函数的坐标特征，通过设参数拆分图形面积求解，核心是利用反比例函数横纵坐标乘积为k的性质，属于数形结合的中等难度题目，需要学生具备图形拆分和代数运算的能力。
【难度系数】0.5
10. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象与正比例函数 $y=-\dfrac{2}{3}x$ 的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为 $(-3,m)$.
(1) 分别求出 $m$ 和 $k$ 的值.
(2) 将直线 $AB$ 向上平移后,与反比例函数图象交于 $C,D$ 两点,与 $x$ 轴、$y$ 轴分别相交于点 $F,E$,若 $S_{△ ABC}=12$,求直线$CD$ 的函数表达式.
(1) 分别求出 $m$ 和 $k$ 的值.
(2) 将直线 $AB$ 向上平移后,与反比例函数图象交于 $C,D$ 两点,与 $x$ 轴、$y$ 轴分别相交于点 $F,E$,若 $S_{△ ABC}=12$,求直线$CD$ 的函数表达式.
答案
10. 解:(1) 因为点$A(-3,m)$在$y=-\dfrac{2}{3}x$上,所以$m=-\dfrac{2}{3}×(-3)=2$. 因为点$A(-3,2)$在$y=\dfrac{k}{x}$上,所以$2=\dfrac{k}{-3}$,所以$k=-6$.
(2) 因为正比例函数与反比例函数图象分别关于原点对称,所以点$A(-3,2)$与点$B$关于原点对称,所以点$B(3,-2)$. 设直线$CD$的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x+b$. 令$x=0$,得$y=b$,所以点$E(0,b)$. 令$y=0$,得$0=-\dfrac{2}{3}x+b$,解得$x=\dfrac{3b}{2}$,所以点$F(\dfrac{3b}{2},0)$. 所以$OE=b$,$OF=\dfrac{3b}{2}$,所以$S_{△ EOF}=\dfrac{1}{2}· OE· OF=\dfrac{1}{2}· b·\dfrac{3b}{2}=\dfrac{3b^2}{4}$. 易得$EF=\sqrt{OE^2+OF^2}=\sqrt{b^2+(\dfrac{3b}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{13}b}{2}$. 设点$O$到直线$EF$的距离为$d$,因为$S_{△ EOF}=\dfrac{1}{2}· EF· d$,所以$\dfrac{3b^2}{4}=\dfrac{1}{2}·\dfrac{\sqrt{13}b}{2}· d$,解得$d=\dfrac{3b}{\sqrt{13}}$. 因为$AB$与$CD$平行,所以直线$AB$与$CD$的距离即为$d$. 易得$AB=\sqrt{(-3-3)^2+(2+2)^2}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}$,因为$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}· AB· d=12$,所以$\dfrac{1}{2}×2\sqrt{13}×\dfrac{3b}{\sqrt{13}}=12$,解得$b=4$. 所以直线$CD$的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x+4$.
(2) 因为正比例函数与反比例函数图象分别关于原点对称,所以点$A(-3,2)$与点$B$关于原点对称,所以点$B(3,-2)$. 设直线$CD$的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x+b$. 令$x=0$,得$y=b$,所以点$E(0,b)$. 令$y=0$,得$0=-\dfrac{2}{3}x+b$,解得$x=\dfrac{3b}{2}$,所以点$F(\dfrac{3b}{2},0)$. 所以$OE=b$,$OF=\dfrac{3b}{2}$,所以$S_{△ EOF}=\dfrac{1}{2}· OE· OF=\dfrac{1}{2}· b·\dfrac{3b}{2}=\dfrac{3b^2}{4}$. 易得$EF=\sqrt{OE^2+OF^2}=\sqrt{b^2+(\dfrac{3b}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{13}b}{2}$. 设点$O$到直线$EF$的距离为$d$,因为$S_{△ EOF}=\dfrac{1}{2}· EF· d$,所以$\dfrac{3b^2}{4}=\dfrac{1}{2}·\dfrac{\sqrt{13}b}{2}· d$,解得$d=\dfrac{3b}{\sqrt{13}}$. 因为$AB$与$CD$平行,所以直线$AB$与$CD$的距离即为$d$. 易得$AB=\sqrt{(-3-3)^2+(2+2)^2}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}$,因为$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}· AB· d=12$,所以$\dfrac{1}{2}×2\sqrt{13}×\dfrac{3b}{\sqrt{13}}=12$,解得$b=4$. 所以直线$CD$的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x+4$.
解析
【分析】
第(1)问：已知点A在正比例函数图象上，将A点坐标代入正比例函数可求出m的值，再将A点坐标代入反比例函数即可求出k的值；第(2)问：利用反比例函数与正比例函数图象关于原点对称的性质，求出点B的坐标，直线AB平移后斜率不变，据此设出直线CD的表达式，再根据AB与CD平行，将△ABC的面积转化为以AB为底、两平行线间距离为高的三角形面积，结合面积公式求出参数b，进而得到直线CD的表达式。
【解析】
(1) 因为点$A(-3, m)$在正比例函数$y=-\dfrac{2}{3}x$的图象上，将$x=-3$代入得：
$m=-\dfrac{2}{3}×(-3)=2$，故点A的坐标为$(-3, 2)$。
又因为点$A(-3, 2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，代入得：
$2=\dfrac{k}{-3}$，解得$k=-6$。
(2) 因为反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，所以点$A(-3,2)$与点B关于原点对称，因此点B的坐标为$(3, -2)$。
直线CD是直线AB平移得到的，故直线CD的斜率与直线AB相同，设直线CD的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x + b$。
计算AB的长度：$AB=\sqrt{(-3-3)^2 + (2 - (-2))^2}=\sqrt{(-6)^2 + 4^2}=\sqrt{36 + 16}=2\sqrt{13}$。
直线AB的解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x$，直线CD的解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x + b$，两平行线间的距离为$d=\dfrac{|b|}{\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2 + 1^2}}=\dfrac{3|b|}{\sqrt{13}}$。
已知$S_{△ABC}=12$，△ABC的面积等于以AB为底、两平行线间距离为高的三角形面积，即：
$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}×AB×d=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{13}×\dfrac{3|b|}{\sqrt{13}}=3|b|$。
由$3|b|=12$，且直线CD向上平移，故$b＞0$，解得$b=4$。
因此直线CD的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x + 4$。
【答案】
(1) $m=2$，$k=-6$；(2) $y=-\dfrac{2}{3}x + 4$
【知识点】
反比例函数性质，一次函数平移，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了反比例函数、正比例函数的性质，以及一次函数平移和平行线间距离的应用，需掌握函数图象的对称性和平行线间距离的计算方法，通过面积公式建立方程求解参数，是一道综合性较强的函数应用题。
【难度系数】
0.5
第(1)问：已知点A在正比例函数图象上，将A点坐标代入正比例函数可求出m的值，再将A点坐标代入反比例函数即可求出k的值；第(2)问：利用反比例函数与正比例函数图象关于原点对称的性质，求出点B的坐标，直线AB平移后斜率不变，据此设出直线CD的表达式，再根据AB与CD平行，将△ABC的面积转化为以AB为底、两平行线间距离为高的三角形面积，结合面积公式求出参数b，进而得到直线CD的表达式。
【解析】
(1) 因为点$A(-3, m)$在正比例函数$y=-\dfrac{2}{3}x$的图象上，将$x=-3$代入得：
$m=-\dfrac{2}{3}×(-3)=2$，故点A的坐标为$(-3, 2)$。
又因为点$A(-3, 2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，代入得：
$2=\dfrac{k}{-3}$，解得$k=-6$。
(2) 因为反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，所以点$A(-3,2)$与点B关于原点对称，因此点B的坐标为$(3, -2)$。
直线CD是直线AB平移得到的，故直线CD的斜率与直线AB相同，设直线CD的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x + b$。
计算AB的长度：$AB=\sqrt{(-3-3)^2 + (2 - (-2))^2}=\sqrt{(-6)^2 + 4^2}=\sqrt{36 + 16}=2\sqrt{13}$。
直线AB的解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x$，直线CD的解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x + b$，两平行线间的距离为$d=\dfrac{|b|}{\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2 + 1^2}}=\dfrac{3|b|}{\sqrt{13}}$。
已知$S_{△ABC}=12$，△ABC的面积等于以AB为底、两平行线间距离为高的三角形面积，即：
$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}×AB×d=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{13}×\dfrac{3|b|}{\sqrt{13}}=3|b|$。
由$3|b|=12$，且直线CD向上平移，故$b＞0$，解得$b=4$。
因此直线CD的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x + 4$。
【答案】
(1) $m=2$，$k=-6$；(2) $y=-\dfrac{2}{3}x + 4$
【知识点】
反比例函数性质，一次函数平移，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了反比例函数、正比例函数的性质，以及一次函数平移和平行线间距离的应用，需掌握函数图象的对称性和平行线间距离的计算方法，通过面积公式建立方程求解参数，是一道综合性较强的函数应用题。
【难度系数】
0.5
11. 如图, 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 与一次函数 $y=$$mx+n$ 的图象相交于 $A(a,1)$ 和 $B(-1,3)$两点.
(1) 求这两个函数的表达式.
(2) 如图, 直线 $OA$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象的另一个交点为点 $C$, 点 $M$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 第四象限的图象上, 当$△ ACM$ 的面积为 8 时, 求点 $M$ 的坐标.
(3) 在第(2)问的条件下, 若 $P$ 为 $x$ 轴上的点, 则在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 第四象限的图象上是否存在点 $Q$, 使得以 $A, C, P$, $Q$ 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在, 请求出所有符合条件的点 $Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求这两个函数的表达式.
(2) 如图, 直线 $OA$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象的另一个交点为点 $C$, 点 $M$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 第四象限的图象上, 当$△ ACM$ 的面积为 8 时, 求点 $M$ 的坐标.
(3) 在第(2)问的条件下, 若 $P$ 为 $x$ 轴上的点, 则在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 第四象限的图象上是否存在点 $Q$, 使得以 $A, C, P$, $Q$ 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在, 请求出所有符合条件的点 $Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
11. 解:(1) 将点$B(-1,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=-3$,所以反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$. 代入点$A$,得$a=-3$. 所以点$A(-3,1)$,将点$A$,$B$代入$y=mx+n$,得$\begin{cases}-3m+n=1,\\-m+n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=4,\end{cases}$所以一次函数的表达式为$y=x+4$.
(2) 如图,连接$OM$,因为直线$OA$与反比例函数交于点$C$,所以点$A$,$C$关于原点对称,所以点$C(3,-1)$,所以$O$是$AC$的中点. 因为$△ ACM$的面积为$8$,所以$△ OCM$的面积为$4$. 设点$M(t,-\dfrac{3}{t})$,过点$M$,$C$分别作$MN⊥ x$轴于点$N$,$CD⊥ x$轴于点$D$, 所以$S_{△ COM}=S_{梯形CDNM}+S_{△ ONM}-S_{△ ODC}=S_{梯形CDNM}=\dfrac{1}{2}×|3-t|×(1+\dfrac{3}{t})=4$.
当$t＞3$时,解得$t=9$,所以点$M(9,-\dfrac{1}{3})$;
当$0＜t＜3$时,解得$t=1$,所以点$M(1,-3)$.
综上所述,点$M$的坐标为$(9,-\dfrac{1}{3})$或$(1,-3)$.
(3) 存在点$Q$. 设点$P(x,0)$,$Q(b,-\dfrac{3}{b})$.
当$AP$为平行四边形对角线时,$1=-\dfrac{3}{b}-1$,解得$b=-\dfrac{3}{2}$,所以点$Q(-\dfrac{3}{2},2)$;当$AC$为平行四边形对角线时,$-\dfrac{3}{b}=0$,无解;当$AQ$为平行四边形对角线时,$1-\dfrac{3}{b}=-1$,解得$b=\dfrac{3}{2}$,所以点$Q(\dfrac{3}{2},-2)$. 因为点$Q$在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$第四象限的图象上,所以点$Q(\dfrac{3}{2},-2)$.
解析
【分析】
1. 求函数表达式：利用反比例函数上的点满足解析式，先代入B点求k，再求A点坐标，再用A、B两点代入一次函数解析式，解方程组得系数。
2. 求点C与M：反比例函数关于原点对称，直线OA与反比例交点A、C关于原点对称，得C坐标；利用O是AC中点，△ACM面积为8，得△OCM面积为4，设M坐标，通过梯形面积公式列方程求解M。
3. 平行四边形问题：利用平行四边形对角线中点重合，分三种对角线情况，列方程求Q坐标，筛选第四象限的解。
【解析】
(1) 将$B(-1,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=-1×3=-3$，故反比例函数表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$；将$A(a,1)$代入$y=-\dfrac{3}{x}$，得$1=-\dfrac{3}{a}$，解得$a=-3$，即$A(-3,1)$。将$A(-3,1)$、$B(-1,3)$代入$y=mx+n$，得方程组：
$\begin{cases}-3m+n=1\\-m+n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=4\end{cases}$，故一次函数表达式为$y=x+4$。
(2) 直线OA与反比例交于A、C，A与C关于原点对称，得$C(3,-1)$，O是AC中点，由$S_{△ ACM}=8$得$S_{△ OCM}=4$。设$M(t,-\dfrac{3}{t})$，过M作$MN⊥x$轴于N，过C作$CD⊥x$轴于D，梯形CDNM面积为$\dfrac{1}{2}×|3-t|×(1+\dfrac{3}{t})=4$。
当$t＞3$时，方程为$\dfrac{1}{2}(t-3)(1+\dfrac{3}{t})=4$，解得$t=9$，得$M(9,-\dfrac{1}{3})$；
当$0＜t＜3$时，方程为$\dfrac{1}{2}(3-t)(1+\dfrac{3}{t})=4$，解得$t=1$，得$M(1,-3)$；
故M坐标为$(9,-\dfrac{1}{3})$或$(1,-3)$。
(3) 存在Q，设$P(x,0)$，$Q(b,-\dfrac{3}{b})$，利用平行四边形对角线中点重合：
① AP为对角线：$\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\dfrac{3}{b}-1}{2}$，解得$b=-\dfrac{3}{2}$，$Q(-\dfrac{3}{2},2)$，不在第四象限，舍去；
② AC为对角线：$\dfrac{-\dfrac{3}{b}}{2}=0$，无解；
③ AQ为对角线：$\dfrac{1-\dfrac{3}{b}}{2}=-\dfrac{1}{2}$，解得$b=\dfrac{3}{2}$，$Q(\dfrac{3}{2},-2)$，在第四象限，符合；
故Q坐标为$(\dfrac{3}{2},-2)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$，一次函数表达式为$y=x+4$；
(2) 点$M$的坐标为$(9,-\dfrac{1}{3})$或$(1,-3)$；
(3) 存在，点$Q$的坐标为$(\dfrac{3}{2},-2)$；
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、平行四边形性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，涉及函数表达式求解、对称性质、三角形面积计算、平行四边形中点性质等知识点，需分情况讨论，考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.5
1. 求函数表达式：利用反比例函数上的点满足解析式，先代入B点求k，再求A点坐标，再用A、B两点代入一次函数解析式，解方程组得系数。
2. 求点C与M：反比例函数关于原点对称，直线OA与反比例交点A、C关于原点对称，得C坐标；利用O是AC中点，△ACM面积为8，得△OCM面积为4，设M坐标，通过梯形面积公式列方程求解M。
3. 平行四边形问题：利用平行四边形对角线中点重合，分三种对角线情况，列方程求Q坐标，筛选第四象限的解。
【解析】
(1) 将$B(-1,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=-1×3=-3$，故反比例函数表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$；将$A(a,1)$代入$y=-\dfrac{3}{x}$，得$1=-\dfrac{3}{a}$，解得$a=-3$，即$A(-3,1)$。将$A(-3,1)$、$B(-1,3)$代入$y=mx+n$，得方程组：
$\begin{cases}-3m+n=1\\-m+n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=4\end{cases}$，故一次函数表达式为$y=x+4$。
(2) 直线OA与反比例交于A、C，A与C关于原点对称，得$C(3,-1)$，O是AC中点，由$S_{△ ACM}=8$得$S_{△ OCM}=4$。设$M(t,-\dfrac{3}{t})$，过M作$MN⊥x$轴于N，过C作$CD⊥x$轴于D，梯形CDNM面积为$\dfrac{1}{2}×|3-t|×(1+\dfrac{3}{t})=4$。
当$t＞3$时，方程为$\dfrac{1}{2}(t-3)(1+\dfrac{3}{t})=4$，解得$t=9$，得$M(9,-\dfrac{1}{3})$；
当$0＜t＜3$时，方程为$\dfrac{1}{2}(3-t)(1+\dfrac{3}{t})=4$，解得$t=1$，得$M(1,-3)$；
故M坐标为$(9,-\dfrac{1}{3})$或$(1,-3)$。
(3) 存在Q，设$P(x,0)$，$Q(b,-\dfrac{3}{b})$，利用平行四边形对角线中点重合：
① AP为对角线：$\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\dfrac{3}{b}-1}{2}$，解得$b=-\dfrac{3}{2}$，$Q(-\dfrac{3}{2},2)$，不在第四象限，舍去；
② AC为对角线：$\dfrac{-\dfrac{3}{b}}{2}=0$，无解；
③ AQ为对角线：$\dfrac{1-\dfrac{3}{b}}{2}=-\dfrac{1}{2}$，解得$b=\dfrac{3}{2}$，$Q(\dfrac{3}{2},-2)$，在第四象限，符合；
故Q坐标为$(\dfrac{3}{2},-2)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$，一次函数表达式为$y=x+4$；
(2) 点$M$的坐标为$(9,-\dfrac{1}{3})$或$(1,-3)$；
(3) 存在，点$Q$的坐标为$(\dfrac{3}{2},-2)$；
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、平行四边形性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，涉及函数表达式求解、对称性质、三角形面积计算、平行四边形中点性质等知识点，需分情况讨论，考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.5
