【例1】下列函数中,变量y是x的反比例函数的为 ()

A.$y=\frac{x}{2}$
B.$xy=2$
C.$y=\frac{2}{x+1}$
D.$y=-\frac{1}{x^{2}}$

B

【分析】首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数称为反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k≠0$）的形式。解题时需将每个选项的函数表达式整理后，对照定义逐一判断是否符合要求。
【解析】根据反比例函数的定义逐一分析选项：
1. 选项A：$y=\frac{x}{2}$可整理为$y=\frac{1}{2}x$，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，排除；
2. 选项B：由$xy=2$变形可得$y=\frac{2}{x}$，其中$k=2≠0$，完全符合反比例函数的定义，该选项正确；
3. 选项C：$y=\frac{2}{x+1}$的分母为$x+1$，不是单独的$x$，不符合反比例函数定义，排除；
4. 选项D：$y=-\frac{1}{x^2}$的分母为$x^2$，不是一次项$x$，不符合反比例函数定义，排除。
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的基本概念，属于初中数学函数部分的基础题型，侧重对概念的准确理解与辨析，难度较低，只要牢记反比例函数的表达式形式即可轻松解答。
【难度系数】0.8

1. 在反比例函数 $y=\frac{4}{x}$的图象上的点的坐标可以为 ()
A. $(1,-4)$
B. $(4,-1)$
C. $(2,4)$
D. $(2\sqrt{2},\sqrt{2})$

1. D

【分析】要判断一个点是否在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，需依据反比例函数图象上点的坐标特征：若点$(x,y)$在$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象上，则$xy=k$。本题中$k=4$，只需计算各选项点的横、纵坐标乘积，看是否等于4即可。
【解析】对于选项A：$1×(-4)=-4≠4$，该点不在图象上；对于选项B：$4×(-1)=-4≠4$，该点不在图象上；对于选项C：$2×4=8≠4$，该点不在图象上；对于选项D：$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=2×2=4$，满足$xy=4$，该点在图象上。
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标与比例系数的关系，只要掌握“点在函数图象上则横纵坐标乘积等于比例系数”这一规律，就能快速解题。
【难度系数】0.8

2. 已知点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$都在反比例函数 $y=-\frac{1}{x}$的图象上,且$x_{1}＜0＜x_{2}$,则$y_{1}$、$y_{2}$的关系是 ()
A. $y_{1}＞y_{2}$
B. $y_{1}＜y_{2}$
C. $y_{1}+y_{2}=0$
D. $y_{1}-y_{2}=0$

2. A

【分析】要比较$y_1$和$y_2$的大小，需先根据反比例函数的$k$值判断函数图像所在象限，再结合点的横坐标正负确定对应纵坐标的正负，进而比较大小。首先回忆反比例函数性质：当$k＜0$时，图像分布在第二、四象限；第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负。已知$x_1＜0＜x_2$，对应点$A$在第二象限，点$B$在第四象限，即可得出$y_1$和$y_2$的正负关系，从而比较大小。
【解析】对于反比例函数$y = -\frac{1}{x}$，其中$k=-1＜0$，因此函数图像分布在第二、四象限。
因为$x_1 ＜ 0$，所以点$A(x_1,y_1)$在第二象限，第二象限内点的纵坐标为正，故$y_1 ＞ 0$；
因为$x_2 ＞ 0$，所以点$B(x_2,y_2)$在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负，故$y_2 ＜ 0$；
因此$y_1 ＞ y_2$，答案选A。
【答案】A
【知识点】反比例函数的图像、反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数的图像与性质，核心是根据$k$的符号确定函数所在象限，再结合点的坐标特征判断纵坐标的正负，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6

【例2】已知正比例函数$y_{1}=ax$的图象经过点$(1,-1)$,反比例函数$y_{2}=\frac{b}{x}$的图象位于第一、三象限,则一次函数$y=ax+b$的图象一定不经过 ()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

C

【分析】要确定一次函数$y=ax+b$的图象不经过的象限，需先求出$a$、$b$的符号，再根据一次函数的性质判断。首先利用正比例函数过已知点求$a$，再由反比例函数所在象限确定$b$的符号，最后分析一次函数图象经过的象限。
【解析】1. 求$a$的值：将点$(1,-1)$代入正比例函数$y_1=ax$，得$-1 = a×1$，解得$a=-1$；2. 确定$b$的符号：反比例函数$y_2=\frac{b}{x}$的图象位于第一、三象限，根据反比例函数性质，当比例系数大于0时图象在第一、三象限，故$b＞0$；3. 判断一次函数图象：一次函数为$y=-x + b$，其中斜率$k=-1＜0$，常数项$b＞0$，根据一次函数图象性质，斜率为负、常数项为正的直线经过第一、二、四象限，因此一定不经过第三象限。
【答案】C
【知识点】正比例函数性质、反比例函数性质、一次函数图象与系数的关系
【点评】本题是基础题，综合考查了正比例函数、反比例函数的性质及一次函数图象的判断，需熟练掌握各函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】0.6

3. 已知$P(a,b)$是反比例函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上异于点$(-1,-1)$的一个动点,则$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$的值为 ()

A.2
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

3. B

【分析】
要解决本题，需先利用反比例函数图象上点的坐标特征得到a、b的关系，再对所求分式通分化简，代入关系计算结果。步骤为：1. 根据反比例函数解析式，由点P(a,b)在图象上得ab=1；2. 对分式$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$通分合并；3. 将ab=1代入化简后的式子，计算得出结果。
【解析】
∵点$P(a,b)$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{1}{a}$，即$ab=1$。
对所求式子通分：
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{(1+b)+(1+a)}{(1+a)(1+b)}=\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}$
将$ab=1$代入上式：
原式$=\frac{2+a+b}{1+a+b+1}=\frac{2+a+b}{2+a+b}=1$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数性质、分式化简求值
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与分式化简，核心是利用反比例函数上点满足解析式得到$ab=1$，再通过分式通分代入化简，属于基础题型，考查学生对反比例函数和分式运算的基本掌握。
【难度系数】
0.7