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1. 九年级某班的每位同学都将自己的照片向全班其他同学各赠送一张作为留念,全班共送出1560张照片.如果全班有x名学生,根据题意,可列方程为
$x(x-1)=1560$
.答案
1. $x(x-1)=1560$
解析
【分析】
首先明确全班有x名学生，每位同学需要向除自己之外的其他同学赠送照片，因此每位同学送出的照片数为$(x-1)$张；全班共x名同学，总赠送的照片数等于每位同学送出的照片数乘以总人数，结合题目中“全班共送出1560张照片”的条件，即可列出对应方程。
【解析】
设全班有$x$名学生，由于每名学生不能给自己送照片，所以每名学生送出$(x-1)$张照片；全班共$x$名学生，因此总赠送照片数为$x(x-1)$张，根据题意总赠送数为1560张，故可列方程：$x(x-1)=1560$。
【答案】
$x(x-1)=1560$
【知识点】
一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程应用中的典型“互赠问题”，核心是理解“向其他同学赠送”意味着每人送的数量为总人数减1，需注意避免误列成$x(x+1)$或$x^2$的错误，属于基础应用题，考查学生对一元二次方程实际应用的基本理解。
【难度系数】
0.8
首先明确全班有x名学生，每位同学需要向除自己之外的其他同学赠送照片，因此每位同学送出的照片数为$(x-1)$张；全班共x名同学，总赠送的照片数等于每位同学送出的照片数乘以总人数，结合题目中“全班共送出1560张照片”的条件，即可列出对应方程。
【解析】
设全班有$x$名学生，由于每名学生不能给自己送照片，所以每名学生送出$(x-1)$张照片；全班共$x$名学生，因此总赠送照片数为$x(x-1)$张，根据题意总赠送数为1560张，故可列方程：$x(x-1)=1560$。
【答案】
$x(x-1)=1560$
【知识点】
一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程应用中的典型“互赠问题”，核心是理解“向其他同学赠送”意味着每人送的数量为总人数减1，需注意避免误列成$x(x+1)$或$x^2$的错误，属于基础应用题，考查学生对一元二次方程实际应用的基本理解。
【难度系数】
0.8
2. 某超市一月份的营业额为100万元,已知第一季度的总营业额为700万元,如果第一季度的月平均增长率为x,那么依题意可列出的方程是
$100+100×(1+x)+100×(1+x)^2=700$
.答案
2. $100+100×(1+x)+100×(1+x)^2=700$
解析
【分析】首先明确第一季度包含1月、2月、3月三个月，已知1月营业额为100万元，月平均增长率为x，需依次表示出2月、3月的营业额，再根据“第一季度总营业额=三个月营业额之和”的等量关系列出方程。
【解析】1月营业额为100万元；2月营业额是在1月基础上增长x，即$100(1+x)$万元；3月营业额是在2月基础上再增长x，即$100(1+x)×(1+x)=100(1+x)^2$万元；第一季度总营业额为700万元，因此将三个月营业额相加等于700，可列出方程：$100 + 100(1+x) + 100(1+x)^2 =700$。
【答案】$100+100×(1+x)+100×(1+x)^2=700$
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题是一元二次方程应用中的基础题型，核心是掌握增长率问题中各月营业额的计算逻辑，明确季度包含的月份数，属于列方程的常规考查题。
【难度系数】0.6
【解析】1月营业额为100万元；2月营业额是在1月基础上增长x，即$100(1+x)$万元；3月营业额是在2月基础上再增长x，即$100(1+x)×(1+x)=100(1+x)^2$万元；第一季度总营业额为700万元，因此将三个月营业额相加等于700，可列出方程：$100 + 100(1+x) + 100(1+x)^2 =700$。
【答案】$100+100×(1+x)+100×(1+x)^2=700$
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题是一元二次方程应用中的基础题型，核心是掌握增长率问题中各月营业额的计算逻辑，明确季度包含的月份数，属于列方程的常规考查题。
【难度系数】0.6
3. 已知三个连续奇数的平方和是371,设第二个奇数为x,则依题意可得到的方程是
$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=371$
.答案
3. $(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=371$
解析
【分析】要列出方程，需先明确三个连续奇数的关系：相邻奇数相差2，若第二个奇数为x，则第一个奇数比x小2，第三个奇数比x大2；再根据“三个数的平方和是371”，将三个奇数的平方相加等于371，即可得到方程。
【解析】已知第二个奇数为x，因为相邻奇数相差2，所以第一个奇数为$x-2$，第三个奇数为$x+2$；根据三个数的平方和是371，可列方程为：$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=371$。
【答案】$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=371$
【知识点】一元二次方程应用，连续奇数的表示
【点评】本题核心是利用连续奇数的数量关系表示出三个数，再根据平方和的条件列方程，属于基础题型，关键是掌握相邻奇数的差值规律。
【难度系数】0.7
【解析】已知第二个奇数为x，因为相邻奇数相差2，所以第一个奇数为$x-2$，第三个奇数为$x+2$；根据三个数的平方和是371，可列方程为：$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=371$。
【答案】$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=371$
【知识点】一元二次方程应用，连续奇数的表示
【点评】本题核心是利用连续奇数的数量关系表示出三个数，再根据平方和的条件列方程，属于基础题型，关键是掌握相邻奇数的差值规律。
【难度系数】0.7
4. 如图,用48 m长的篱笆靠墙围成一个面积是$300\ \mathrm{m}^2$的长方形鸡场,鸡场有一个2 m的门,设与墙垂直的边长为x m,所列方程是
$x(50-2x)=300$
.答案
4. $x(50-2x)=300$
解析
【分析】
要列出方程，需先确定长方形鸡场的长和宽。已知与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$，篱笆总长48m，还有一个2m的门（门处无需篱笆）。由于是靠墙围，篱笆围了两个垂直于墙的边和一个平行于墙的边，需结合门的长度计算平行于墙的边长，再根据长方形面积公式建立方程。
【解析】
设与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$，则两个垂直于墙的边总长度为$2x\ \mathrm{m}$。因为篱笆总长48m，且有一个2m的门（门处不需要篱笆），所以平行于墙的边长为$(48 + 2 - 2x)\ \mathrm{m} = (50 - 2x)\ \mathrm{m}$。根据长方形面积=长×宽，已知面积为$300\ \mathrm{m}^2$，可列方程为：$x(50 - 2x)=300$。
【答案】
$x(50-2x)=300$
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是正确表示长方形的长和宽，需注意门的长度对篱笆总长的影响，避免忽略门的部分导致计算错误。
【难度系数】
0.5
要列出方程，需先确定长方形鸡场的长和宽。已知与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$，篱笆总长48m，还有一个2m的门（门处无需篱笆）。由于是靠墙围，篱笆围了两个垂直于墙的边和一个平行于墙的边，需结合门的长度计算平行于墙的边长，再根据长方形面积公式建立方程。
【解析】
设与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$，则两个垂直于墙的边总长度为$2x\ \mathrm{m}$。因为篱笆总长48m，且有一个2m的门（门处不需要篱笆），所以平行于墙的边长为$(48 + 2 - 2x)\ \mathrm{m} = (50 - 2x)\ \mathrm{m}$。根据长方形面积=长×宽，已知面积为$300\ \mathrm{m}^2$，可列方程为：$x(50 - 2x)=300$。
【答案】
$x(50-2x)=300$
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是正确表示长方形的长和宽，需注意门的长度对篱笆总长的影响，避免忽略门的部分导致计算错误。
【难度系数】
0.5
5. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第一档的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.
(1) 若生产的是第三档的产品,则每件利润为
(2) 若生产第x档的产品一天的总利润为1120元,则该产品的质量档次为
(1) 若生产的是第三档的产品,则每件利润为
10
元;(2) 若生产第x档的产品一天的总利润为1120元,则该产品的质量档次为
六
档.答案
5. (1) 10 (2) 六
解析
【分析】
要解决这道题，需明确产品档次与每件利润、日产量的关系：每提高1个档次，每件利润增加2元，日产量减少5件。第(1)问直接根据档次差计算利润；第(2)问先写出第x档的每件利润和日产量表达式，再根据“总利润=每件利润×日产量”列一元二次方程，求解后结合档次范围筛选合理答案。
【解析】
(1) 第一档每件利润为6元，第三档比第一档高$3-1=2$个档次，因此每件利润为：
$6 + 2×(3-1) = 6 + 4 = 10$（元）
(2) 设生产第$x$档的产品，第$x$档比第一档高$(x-1)$个档次，则：
每件利润为$6 + 2(x-1) = 2x + 4$元，
日产量为$95 - 5(x-1) = 100 - 5x$件，
根据总利润为1120元，列方程：
$(2x + 4)(100 - 5x) = 1120$
化简方程：
两边同除以5得：$(2x + 4)(20 - x) = 224$
展开并整理：$-2x^2 + 36x + 80 = 224$
即$x^2 - 18x + 72 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 12) = 0$
解得$x_1 = 6$，$x_2 = 12$
因产品档次共10个，$x=12$不符合要求，舍去，故该产品质量档次为6档。
【答案】
(1) 10；(2) 六
【知识点】
一元二次方程的应用，利润问题
【点评】
本题是结合实际生产的利润应用题，核心是建立档次与利润、产量的数量关系，考查一元二次方程的建模与求解，需注意解的实际意义（档次范围），难度适中，适合初中阶段学生练习。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需明确产品档次与每件利润、日产量的关系：每提高1个档次，每件利润增加2元，日产量减少5件。第(1)问直接根据档次差计算利润；第(2)问先写出第x档的每件利润和日产量表达式，再根据“总利润=每件利润×日产量”列一元二次方程，求解后结合档次范围筛选合理答案。
【解析】
(1) 第一档每件利润为6元，第三档比第一档高$3-1=2$个档次，因此每件利润为：
$6 + 2×(3-1) = 6 + 4 = 10$（元）
(2) 设生产第$x$档的产品，第$x$档比第一档高$(x-1)$个档次，则：
每件利润为$6 + 2(x-1) = 2x + 4$元，
日产量为$95 - 5(x-1) = 100 - 5x$件，
根据总利润为1120元，列方程：
$(2x + 4)(100 - 5x) = 1120$
化简方程：
两边同除以5得：$(2x + 4)(20 - x) = 224$
展开并整理：$-2x^2 + 36x + 80 = 224$
即$x^2 - 18x + 72 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 12) = 0$
解得$x_1 = 6$，$x_2 = 12$
因产品档次共10个，$x=12$不符合要求，舍去，故该产品质量档次为6档。
【答案】
(1) 10；(2) 六
【知识点】
一元二次方程的应用，利润问题
【点评】
本题是结合实际生产的利润应用题，核心是建立档次与利润、产量的数量关系，考查一元二次方程的建模与求解，需注意解的实际意义（档次范围），难度适中，适合初中阶段学生练习。
【难度系数】
0.5
6. 如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,$AB=16\ \mathrm{cm}$,$AD=8\ \mathrm{cm}$,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;点Q以2 cm/s的速度向点D移动.当P、Q两点从出发开始
2或$\frac{22}{5}$
s时,点P和点Q的距离是10 cm.答案
6. 2或$\frac{22}{5}$
解析
【分析】
要解决该矩形背景下的动点问题，需通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。首先设运动时间为$ t $秒，分别表示出动点$ P $、$ Q $的位置，将两点的距离转化为直角三角形的斜边长度，结合勾股定理列方程，最后验证解的合理性即可。
【解析】
设运动时间为$ t $秒（$ t ≥ 0 $）。
由题意知：点$ P $速度为$ 3\ \mathrm{cm/s} $，则$ AP = 3t\ \mathrm{cm} $；点$ Q $速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，则$ CQ = 2t\ \mathrm{cm} $。
过$ Q $作$ QE ⊥ AB $于$ E $，则$ QE = AD = 8\ \mathrm{cm} $，水平方向上$ PE = |AB - AP - (CD - CQ)| $，因$ AB = CD = 16\ \mathrm{cm} $，故$ PE = |16 - 3t - (16 - 2t)| = |5t - 16|\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ PEQ $中，根据勾股定理：
$ PQ^2 = PE^2 + QE^2 $
已知$ PQ = 10\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ 10^2 = (5t - 16)^2 + 8^2 $
化简得：
$ (5t - 16)^2 = 36 $
开方得：
$ 5t - 16 = \pm 6 $
分两种情况：
① 当$ 5t - 16 = 6 $时，解得$ t = \frac{22}{5} $；
② 当$ 5t - 16 = -6 $时，解得$ t = 2 $。
验证：点$ P $到$ B $的时间为$ \frac{16}{3} \approx 5.33\ \mathrm{s} $，点$ Q $到$ D $的时间为$ 8\ \mathrm{s} $，$ t=2 $和$ t=\frac{22}{5}=4.4 $均在运动范围内，符合题意。
【答案】
$ 2 $或$ \frac{22}{5} $
【知识点】
矩形性质、勾股定理、动点问题
【点评】
本题是矩形与动点结合的综合题，核心是构造直角三角形用勾股定理建立方程，需注意解的合理性，验证时间是否在运动区间内，避免漏解。
【难度系数】
0.5
要解决该矩形背景下的动点问题，需通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。首先设运动时间为$ t $秒，分别表示出动点$ P $、$ Q $的位置，将两点的距离转化为直角三角形的斜边长度，结合勾股定理列方程，最后验证解的合理性即可。
【解析】
设运动时间为$ t $秒（$ t ≥ 0 $）。
由题意知：点$ P $速度为$ 3\ \mathrm{cm/s} $，则$ AP = 3t\ \mathrm{cm} $；点$ Q $速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，则$ CQ = 2t\ \mathrm{cm} $。
过$ Q $作$ QE ⊥ AB $于$ E $，则$ QE = AD = 8\ \mathrm{cm} $，水平方向上$ PE = |AB - AP - (CD - CQ)| $，因$ AB = CD = 16\ \mathrm{cm} $，故$ PE = |16 - 3t - (16 - 2t)| = |5t - 16|\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ PEQ $中，根据勾股定理：
$ PQ^2 = PE^2 + QE^2 $
已知$ PQ = 10\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ 10^2 = (5t - 16)^2 + 8^2 $
化简得：
$ (5t - 16)^2 = 36 $
开方得：
$ 5t - 16 = \pm 6 $
分两种情况：
① 当$ 5t - 16 = 6 $时，解得$ t = \frac{22}{5} $；
② 当$ 5t - 16 = -6 $时，解得$ t = 2 $。
验证：点$ P $到$ B $的时间为$ \frac{16}{3} \approx 5.33\ \mathrm{s} $，点$ Q $到$ D $的时间为$ 8\ \mathrm{s} $，$ t=2 $和$ t=\frac{22}{5}=4.4 $均在运动范围内，符合题意。
【答案】
$ 2 $或$ \frac{22}{5} $
【知识点】
矩形性质、勾股定理、动点问题
【点评】
本题是矩形与动点结合的综合题，核心是构造直角三角形用勾股定理建立方程，需注意解的合理性，验证时间是否在运动区间内，避免漏解。
【难度系数】
0.5
7. 某商户购进的某种电子产品的进价是每个50元,根据市场调研发现,当销售单价是80元时,每周可卖出160个.若销售单价每降低2元,则每周可多卖出20个.设销售单价降低x元.
(1) 每周可卖出
(2) 要使该商户每周销售该电子产品的利润达到5280元,且更有利于减少库存,则销售单价应降低多少元?
素养拓展
(1) 每周可卖出
$10x+160$
个;(2) 要使该商户每周销售该电子产品的利润达到5280元,且更有利于减少库存,则销售单价应降低多少元?
素养拓展
答案
7. (1) $10x+160$ (2) 8元
解析
【分析】
首先分析第(1)问：销售单价每降低2元多卖20个，降低x元时，多卖出的数量为$\frac{x}{2} × 20 = 10x$个，加上原销量160个即可得到总销量。第(2)问：总利润=单个利润×销量，单个利润为（售价-进价），售价是$(80-x)$元，进价50元，故单个利润为$(30-x)$元，结合第(1)问的销量列方程，解方程后根据“更有利于减少库存”（销量越大越好，x越大销量越大）筛选解。
【解析】
(1) 销售单价降低x元时，多卖出的数量为$\frac{x}{2} × 20 = 10x$个，因此每周可卖出的数量为$160 + 10x = 10x + 160$个。
(2) 设销售单价降低x元，单个电子产品的利润为$(80 - x - 50) = 30 - x$元，每周销量为$10x + 160$个，根据总利润=单个利润×销量，列方程：
$(30 - x)(10x + 160) = 5280$
展开整理得：
$-10x^2 + 140x - 480 = 0$
两边同除以$-10$得：
$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得$x = 6$或$x = 8$。
因为要减少库存，销量随x增大而增大，故选择$x = 8$。
【答案】
(1) $10x + 160$；(2) 8元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售利润类一元二次方程应用题，核心是掌握总利润的计算关系，需根据题目要求筛选方程的解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.5
首先分析第(1)问：销售单价每降低2元多卖20个，降低x元时，多卖出的数量为$\frac{x}{2} × 20 = 10x$个，加上原销量160个即可得到总销量。第(2)问：总利润=单个利润×销量，单个利润为（售价-进价），售价是$(80-x)$元，进价50元，故单个利润为$(30-x)$元，结合第(1)问的销量列方程，解方程后根据“更有利于减少库存”（销量越大越好，x越大销量越大）筛选解。
【解析】
(1) 销售单价降低x元时，多卖出的数量为$\frac{x}{2} × 20 = 10x$个，因此每周可卖出的数量为$160 + 10x = 10x + 160$个。
(2) 设销售单价降低x元，单个电子产品的利润为$(80 - x - 50) = 30 - x$元，每周销量为$10x + 160$个，根据总利润=单个利润×销量，列方程：
$(30 - x)(10x + 160) = 5280$
展开整理得：
$-10x^2 + 140x - 480 = 0$
两边同除以$-10$得：
$x^2 - 14x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x - 8) = 0$
解得$x = 6$或$x = 8$。
因为要减少库存，销量随x增大而增大，故选择$x = 8$。
【答案】
(1) $10x + 160$；(2) 8元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售利润类一元二次方程应用题，核心是掌握总利润的计算关系，需根据题目要求筛选方程的解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.5
